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在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是33，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是______．
题型：填空题难度：中档来源：不详
如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S-AC-B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=2，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=12AC，在△SBD中，BD=12AC=12×2=1，在△SAC中，SD2=SA2-AD2=22-12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2-2SDoBDcos∠SDB=3+1-2×3×1×33=2，满足SB2=BD2=SD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为2的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=3×2，R=62，球的表面积S=4π×64=6π．故答案为：6π．
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据魔方格专家权威分析，试题“在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦..”主要考查你对&&二面角&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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半平面的定义：
一条直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．
二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。
&直二面角：
平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。 二面角的平面角具有下列性质：
a．二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．b．从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．c．二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥α，平面AOB⊥α.求二面角的方法：
(1)定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过解三角形，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．(2)三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．(3)垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．(4)射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小．(5)向量法：设二面角的平面角为θ．①如果那么②设向量m、n分别为平面α和平面β的法向量是相等还是互补，根据具体图形判断。
对二面角定义的理解：
根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．&
发现相似题
与“在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦..”考查相似的试题有：
627814627065407885618647328344266896在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8．则三棱锥S-ABC体积的最大值为_______百度知道
在三棱锥S-ABC中，已知SA=4，SB≥7，SC≥9，AB=5，BC≤6，AC≤8．则三棱锥S-ABC体积的最大值为______
BC≤6，已知SA=4，AB=5，SC≥9，SB≥7在三棱锥S-ABC中
提问者采纳
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分析：要求SC与AB所成角的余弦值,通过平移找到SC与AB所成角,解三角形即可．如图,过点C作CD∥AB,过点A作AD∥BC交CD于点D,连接SD、SC,则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角．∵四边形ABCD是平行四边形,CD=根号17&,SA=2倍根号3,SD=根号(SA^2+AD^2)&=根号(12+13)&=5,∴在△SDC中,由余弦定理得cos∠SCD=根号17&/&17& &故余弦值为17分之根号17
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首先看直观图,∵SA⊥平面ABC,BC∈平面ABC,∴SA⊥BC,∵BC⊥AC,AC∩SA=A,∴BC⊥平面SAC,∵SC∈平面SAC,∴BC⊥SC,∴△ABC,△BCS,△SAC都是RT△,把平面SAC和平面SCB绕SC展平成一个平面,在平面内连结AB,交SC于D点,则AD+BD就是最小值,如右平面图所示,在三角形ACB中,根据余弦定理,AB^2=AC^2+BC^2-2*AC*BC*cos&ACB,AB=√5,AC=1,BC=√2,cos&ACB=-√2/2,&ACB=135°,〈SCB=90°,〈SCA=45°,〈SAC=90°,△SAC是等腰RT△,SA=AC=1,SC=√2,SC=BC=√2,△SCB也是等腰RT△,SB=2,选取SB中点O,则O点是二直角三角形SAB、SCB的外接圆圆心,SO=OB=OC=OA,即是外接球的球心,R=SB/2=1,∴球体积=4πR^3/3=4π/3.
将平面SAC和平面SCB拼接在一起，也就是将平面SCB放倒，是两个平面成为一个平面，画出AB连线，用余弦定理计算出角ACB的大小为145度，因为角SCB为90度，所以角SCA为45度。因为SA⊥面ABC，SA⊥AC因为SA与AC交与一点，所以BC⊥平面SAC，所以CB⊥SC椎体所有三角形均为直角三角形所以计算出SA=1，SC=√2，SB=2。因为AB的垂直平分线交SB的中点O，通过证明三...
将平面SAC和平面SCB拼接在一起，画出AB连线，用余弦定理计算出角ACB的大小为145度，因为角SCB为90度，所以角SCA为45度。（因为SA⊥面ABC，所以椎体所有三角形均为直角三角形）所以计算出SA=1，SC=√2，SB=2。SB中点E即为S-ABC外接球的球心（到S、A、B、C点的距离均为1，SB的一半）所以球的半径为1，体积为4π/3(3分之4π)。...
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与二面角有关的立体几何综合题1.半平面的定义：一条把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面．2.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 3.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。 一个平面角的大小可用它的平面的大小来衡量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。二面角大小的取值范围是［0，180°］。4.直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角。5.二面角的平面角具有下列性质：（1）二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即l⊥平面AOB．（2）从二面角的平面角的一边上任意一点（异于角的顶点）作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边（或其反向延长线）上．（3）二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面AOB⊥\alpha ，平面AOB⊥\alpha 6.立体几何二面角的求法： （1）定义法：通过二面角的平面角来求；找出或作出二面角的平面角；证明其符合定义；通过，计算出二面角的平面角．上述过程可概括为一作（找）、二证、三计算”．（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．（3）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直．（4）射影法：利用面积射影定理求二面角的大小；{s}'=s\cdot \cos \alpha 其中s为二面角一个面内的面积，{s}'是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，\alpha 为二面角的大小．（5）向量法：设二面角的平面角为\theta ．a.如果PA\subset \alpha ,PB\subset \beta ,P\in l,有PA\bot l，PB\bot l，那么;b.设向量\overset{\lower0.5em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}}} {m}、\overset{\lower0.5em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}}} {n}分别为平面\alpha 和平面\beta 的法向量，则，\theta 与是相等还是互补，根据具体图形判断。7.对二面角定义的理解：根据这个定义，两个平面相交成4个二面角，其中相对的两个二面角的大小相等，如果这4个二面角中有1个是直二面角，则这4个二面角都是直二面角，这时两个平面互相垂直．按照定义，欲证两个平面互相垂直，或者欲证某个二面角是直二面角，只需证明它的平面角是直角，两个平面相交，如果交成的二面角不是直二面角，那么必有一对锐二面角和一对钝二面角，今后，两个平面所成的角是指其中的一对锐二面角．并注意两个平面所成的角与二面角的区别．
【与平面垂直的判定】如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直．记作l⊥α．直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理&一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：a，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b=>l⊥α．
异面及其所成的角1．异面直线定义：两直线不同在任何一个平面内，没有公共点2．异面直线及其所成的角：（1）定义：设a,b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a'∥a，b'∥b，把a'与a'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）。（2）范围：\left({0,{\frac{2}{π}}}\right]3.异面直线所成角的求法：（1）利用定义构造角，可固定一条，另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。&（2）证明作出的角即为所求角；&（3）利用来求角。
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=AC=BC=\sqr...”，相似的试题还有：
如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB=1，SB=\sqrt{3}．(1)求证：BC⊥SC；(2)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．
如图所示，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面ABC，AC⊥AB，SA=SB=AB=2，AC=1(1)求异面直线AB与SC所成的角的余弦值；(2)在线段AB上求一点D，使CD与平面SAC成45°角．
如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=BC=AC=\sqrt{2}SB=\sqrt{2}SC，O为BC中点．(1)求证：SO⊥平面ABC(2)在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为\frac{\sqrt{15}}{5}？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．