在圆锥曲线什么时候设点上有一个点为定值过这个点做的两条线的那条线是否也过定点，为什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-17 15:25 标签： 圆锥曲线什么时候设点
这是有射影几何背景的。@王筝 说得对，可以推广为斜率乘积为定值；不过他也说得不太对，斜率和射影几何并非八竿子打不着。我可以给一个射影证明。为了负数有平方根，直线和二次曲线总有两个交点，我们在复射影平面上考虑问题。设两条动直线l1,l2斜率乘积是a，考虑过那个点的斜率为正负根号a的两条直线，设为m1,m2。那么拿直线x=1（射影坐标就是x=z）截一下l1,m1,l2,m2就会发现交点构成调和点列，故l1,m1,l2,m2是调和线束。于是我们可以将原问题推广为以下的射影几何命题：给定圆锥曲线c上一点O和过O的直线m1,m2，则过O的满足与m1,m2成调和线束的两条动直线l1,l2与圆锥曲线的另一个交点连线过定点。这个用调和四边形的知识很容易解决。设m1,m2,l1,l2与圆锥曲线的另一个交点分别是A1,A2,X1,X2,，则A1X1A2X2对圆锥曲线c成调和四边形，所以X1X2必过直线A1A2对圆锥曲线c的极点（这个事实可以直接用射影坐标计算得到，也可以把圆锥曲线c射影变换成圆再用古典几何知识证明），这个点不依赖于l1,l2。证毕。这个问题是可以在纯几何框架下得到解决的，以下是可以利用的几何变换：设 S,T 是任意两定点， l 是任意定直线。任取一点 P, 作 PT 交 l 于 Z, 又作 TE\parallel PS 交 SZ 于 E, 则称 E 是 P 的焦投影， S 是投影焦点， T 是投影辅点， l 是投影准线。设 PP',QQ' 是圆锥曲线上张这曲线上某定点 S 成直角的两弦，记它们的交点为 O, 取 S 为投影焦点， O 关于这圆锥曲线的极线为投影准线实施一个焦投影。设 PP' 变为 pp', QQ' 变为 qq', pp',qq' 将都是直径，它们依然张投影辅点 T 成直角，于是这些直径是相等的，由此可以断定，圆锥曲线在前述焦投影下变为一个圆， O 在这焦投影下变为了这圆的圆心，由于它在变换所得的像中是个定点，于是在原像中也是不动的。

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