19若 a^2+2b^2=1 , a,bR, 则 a(1+b^2) a+b=2,1/a+4/b的最小值大值是 __ 最小值是 _？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-13 14:40 标签： a+b=2,1/a+4/b的最小值

令a=cosθ
b=sinθa^2+2b^2+4ab=(cosθ)^2+2(sinθ)^2+4cosθsinθ=(sinθ)^2+2sin(2θ) +1=[1-cos(2θ)]/2 +2sin(2θ)+1=(-1/2)cos(2θ) +2sin(2θ) +3/2=(√17/2)sin(2θ+γ) +3/2
其中，tanγ=-1/4当sin(2θ+γ)=1时，a^2+2b^2+4ab有最大值(3+√17)/2；当sin(2θ+γ)=-1时，a^2+2b^2+4ab有最小值(3-√17)/2。
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(1)令a=sin(2m),b=cos(2m)则(b-2)/(a-1)=(cos(2m)-2)/(sin(2m)-1)用倍角公式：sin(2m)=2tanm/(1+(tanm)^2),cos(2m)=(1-(tanm)^2)/(1+(tanm)^2)于是(b-2)/(a-1)=(3(tanm)^2+1)/((tanm)^2-2tanm+1)令tanm=p,令x=(b-2)/(a-1)则x=(3p^2+1)/(p^2-2p+1)整理即：(x-3)p^2-2xp+x-1=0这是关于p的方程,如果x=3,方程有实根,满足题意如果x不等于3,方程有实根,则判别式不小于0,于是4x^2-4(x-3)(x-1)>=0解出x>=3/4所以则(b-2)/(a-1)的最小值为3/4,此时p=1/3,a=3/5,b=4/5(2)类似上面的做法,得到a/3+b/4=(-3p^2+8p+3)/(12+12p^2),令y=a/3+b/4得到(12y+3)p^2-8p+12y-3=0如果y=-1/4,则方程有实根,满足题意如果y不等于-1/4,由判别式不小于0,可以得-5/12

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