如何利用极限的有理运算法则证明思想证明等式成立？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-02 03:10 标签： 极限的有理运算法则证明

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展开全部lim(n→inf.)0.99…9 (小数点后n位) = 1。证明如下：对任给的 ε>0 (ε<1)，为使|0.999…9 (小数点后 n 位) - 1
= 0.000…01(小数点后 n 位) = (1/10)^n < ε，只需 n > -lnε/ln10，于是，取N = [-lnε/ln10]+1，则当 n>N 时，有|0.999…9 (小数点后n位) - 1
= (1/10)^n < (1/10)^N <= (1/10)^(-lnε/ln10) = ε，根据极限的定义，极限成立。扩展资料：极限思想方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是‘数学分析’与在‘初等数学’的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题（例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题），正是由于其采用了‘极限’的‘无限逼近’的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
收起展开全部我来个简单的。∵1/9=0.1111111……∴0.99999999...=9×(1/9)=1这根本就不用取极限，本身就等于1.展开全部你写错了，可以写0.99999...=1，或者lim(n→∞)9∑(k=1→n)0.1^k=1，但是那个lim0.999...=1就不太规范了下面证明第二个等式左边=lim(n→∞)9*0.1*(1-0.1^n)/(1-0.1)=0.9*(1-0)/(1-0.1)=1
展开全部展开全部　　正确的写法是　　　　 lim(n→inf.)0.99…9 (小数点后n位) = 1。　　证明如下：对任给的 ε>0 (ε<1)，为使　　　　|0.999…9 (小数点后 n 位) - 1
= 0.000…01(小数点后 n 位) = (1/10)^n < ε，只需 n > -lnε/ln10，于是，取N = [-lnε/ln10]+1，则当 n>N 时，有　　　　|0.999…9 (小数点后n位) - 1
= (1/10)^n < (1/10)^N <= (1/10)^(-lnε/ln10) = ε，根据极限的定义，极限成立。
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展开全部极限思想应用五例唐永
利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。
引例
两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”）
G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”：
猜想（把问题极端化）
如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。
证明（利用对称性）
由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。
从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说明极限思想的应用。
例1
已知0<x<y<a<1，则有（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
（02年高考）分析
当 时，由题意 ，此时 ，故可排除（A）、（B），当 时，由题意 ，此时 ，则 ，排除（C），故选（D）
例2
给出下列图象
其中可能为函数
的图象是
。分析
这道模拟试题得分率很低，许多学生做这道题时感到无从下手，通过与部分学生访谈知道，大部分学生都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数 ，但仍然不知如何处理。其实，这道题若从极限角度考虑，问题便迎刃而解。当 时， 时图象是上升的，排除④，再令a=b=c=0，y’>0不是恒成立的，排除②，选①③。
例3
已知数列{a<sub>n</sub>}中，a1=1，且对于任意正整数n，总有 ，是否存在实数a，b，能使得 对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。
分析
极限思想：
如果这样的 ，b存在的话，则
由 ，
对 两边取极限，得 ，
解得
若 0，则数列{ }应该是以1为首项，以 为公比的等比数列。
可知
，
显然， ，不合题意舍去；
若 ，将 代入
，可求得b=-3，
此时
，
同样验证 亦可得出矛盾。因此，满足题意的实数 ，b不存在。
例4
正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ，则 的取值范围是（
）
分析
如图1所示，正三棱锥S-ABC中， 是过底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段。当 时，相邻两个侧面的夹角趋近于 ，当 时，正三棱锥无限接近一个正三棱柱，显然相邻两个侧面的夹角无限接近 ，故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为（ ），故选（D）。
例5
已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设点P4的坐标为（x4，0），若1<x4<2，则 的取值范围是（
）
分析
如图2，显然当P1为BC中点时，则P2、P3和P4依次是CD、DA和AB的中点，故 是一个极限值，选（C）。已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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