矩阵的行列式、矩阵的余子式、求A的逆矩阵

可以用来解二元二次方程组，把方程组转化为矩阵，逆矩阵的重要性

向量组合被转化为方程组

撕开问题的面纱，发现他们是同一类问题。找到求解的新方法。

A矩阵的行列式为0的时候，没有逆矩阵。

向量的加法、减法、乘法在坐标系中有什么体现
加、减法就是向量组成的三角形，收尾相连的两条向量相加等于第三条向量。

用向量集表示 一条直线。

二维空间的向量集合，线性无关的可以span一个二维空间

线性相关在二维空间意味着什么？ 其中一个向量，可有由其他向量组合标示出来，也就是他们的和是0（他们的系数至少有一个不为0）。
线性无关在二维空间意味着什么？存在张成。

R2 至少2个向量组成张成空间？？？？
R3 至少3个向量组成张成空间？？？？？ 2个可以张成一个R3空间么？

1. 向量元素*t的结果还在该集合内
2. 集合内向量相加的结果还在集合内

向量的长度 的平方 等于该向量的点积（||A||平方 = A*A）

乘积，用于矩阵相乘，表示为C=A*B，A的列数与B的行数必须相同，C也是矩阵，C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数。Cij为A的第i行与B的第j列的点积

点积，用于向量相乘，表示为C=A*B，A与B均为向量，C为标量，也称标量积、内积、数量积等。

根据法向量 和 该平面其中一个点 ，求R3空间该平面的表达方式

？？？外积公式只能用在 R3空间？？？

外积可以得到AB的非零正交向量，也就是他们平面的法向量

R3空间中 向量外积 = 向量长度相乘 * 夹角正弦值

两个向量的外积是 这两个向量组成的平行四边形的面积

？？有个问题：在多维空间时，矩阵 和 向量 两个领域的交集在哪里？？？
？？？？矩阵可以转化为向量运算么？？？？？？

只有0 = 0 ，并且存在自由向量时，才存在无数个解

列向量的转置，变成了行向量，也就是矩阵的形式，所有矩阵用的乘积，本质上还是向量的点积，将矩阵中行向量逆转置为原始的列向量，变成向量相乘。好奇妙。原来矩阵乘法和 向量积是这样的关系

求矩阵的最简式可以通过消元法。增广矩阵。将增广矩阵转化为行简化阶梯形

矩阵乘以向量是0向量 --> 增广矩阵 --> 行简化阶梯形 ---> 将N元一次等式转化为张成空间的表达方式？

算是学习了一种新方法，如何将N元一次等式转化为张成空间的表达方式？必须过哪些点？这些点组成的张成空间，就是表达式对应的空间

A* B = 0是线性无关的必要条件是 只有B向量为0时，等式才成立，所有要求A肯定是个无任何自由项，也就是从左上角到右下角为1，其他都为0的矩阵。

如果A的零空间是0向量，说明A的行简化阶梯形是无自由变量的。比如只有对角线位置是1。

矩阵存在自由变量时，会有很多解

就是 把矩阵的每一列看成一个向量，向量组成的空间，或者向量组成的Span()张成空间，属于自己的另一种表达方式

自由变量 和 主变量。存在自由变量代表有很多解

如何理解矩阵？矩阵和空间的关系？给出了一个新角度，也就是转化为列空间，由每一列组、成一个向量，有N列，怎对应N个向量，最后矩阵组成的空间就是Sapn(N)，同时可以对Span(N)求证是否线性无关、线性有关的话可以去除哪些向量（尝试去掉多余的向量）？求空间的基底。这样来看待问题。

矩阵是空间么？是一个什么样的空间？矩阵的生成空间是啥？

零空间的维数也叫零度。零度等于A空间行简化梯度性中自由列的个数，A空间的维数是主列的个数。两个正好是互补的。零度的计算方式是，求出零空间（NullSpace）。

主元、主列、基底、非主列、线性独立就是线性无关的意思

基底列 和 主列个数保持一致

实数函数 或者 标量函数

满足线性的两个条件。1、满足分配率 2、满足乘系数不变。如果存在升次则属于非线性。N元N次方程。

矩阵向量乘法 是满足 线性变换的

有时候可以把转换T就看做是 那个矩阵（线性变换都可以重写为 一个矩阵*向量，向量是变量）。ker(T) = N(A) A就是那个矩阵空向量

加深了对 线性变换的理解，一个矩阵向量 。 T(x) = Ax。或者直接看成T = A即可。T就是那个矩阵，所以就有了 T(x) + S(x) = (T+S)x

例子中是能直接得到最终T的。如果思路是，把过程包含2部分，每部分对应一个T、S，就变成了T(S(x))。如何合并T\S为一个线性变换方程呢？

变换相加S+T，在空间中意味这啥？

反向求A矩阵时，可以借助矩阵的每一列的基向量。神奇。就这样旋转。借助基向量。也就是单位矩阵的每一列

绕X轴旋转、绕Y、绕Z，分别对应三个转换完成3D的操作

投影到直接的转化式子是如何 改写为 线性组合（也就是矩阵向量积的方式）。思路都是借助非线性组合的表达式，通过对单位矩阵中每列基向量做转化，最终求得矩阵的方式得到的。

T(S(x))复合后的也满足线性变换

完全是人为的创造了一个概念。矩阵相乘就是线性变换的复合

复合被定义了一个新的名字就是 A*B （矩阵相乘）

因为是线性的 所以存在 唯一解

满射（映上onto函数） 就是上域等于值域

***可逆函数的上域和值域必须一致么？****

增广矩阵的解存在三种情况，1. 无解，也就是最后一行全是零但是结果不为零 2.只有当为0时，才有唯一的解，也就是无自由项，全都是主列时 3.有自由项存在很多非0解，是线性相关的

逆函数必须满足两个条件。1、映上 2、一对一

如果T是一个onto满射到Rm空间，那么T的rank秩必须是m，也就是T的基向量个数必须是m个，自由向量。T的矩阵张成的空间必须是Rm。

视频里只说了，A的零空间不为0零向量的情况，也就是A矩阵无法张成该空间。如果是0向量呢？如果可以张成一个空间呢？

齐次方程式就是求Ax= 0 。
非齐次方程式 Ax= b，是非齐次方程

A的行列简化式必须是一个 单位方阵

是线性变换就能写成 A*x向量的形式

矩阵的行列式、矩阵的余子式、求A的逆矩阵

可以用来解二元二次方程组，把方程组转化为矩阵，逆矩阵的重要性

向量组合被转化为方程组

撕开问题的面纱，发现他们是同一类问题。找到求解的新方法。

A矩阵的行列式为0的时候，没有逆矩阵。

向量的加法、减法、乘法在坐标系中有什么体现
加、减法就是向量组成的三角形，收尾相连的两条向量相加等于第三条向量。

用向量集表示 一条直线。

二维空间的向量集合，线性无关的可以span一个二维空间

线性相关在二维空间意味着什么？ 其中一个向量，可有由其他向量组合标示出来，也就是他们的和是0（他们的系数至少有一个不为0）。
线性无关在二维空间意味着什么？存在张成。

R2 至少2个向量组成张成空间？？？？
R3 至少3个向量组成张成空间？？？？？ 2个可以张成一个R3空间么？

1. 向量元素*t的结果还在该集合内
2. 集合内向量相加的结果还在集合内

向量的长度 的平方 等于该向量的点积（||A||平方 = A*A）

乘积，用于矩阵相乘，表示为C=A*B，A的列数与B的行数必须相同，C也是矩阵，C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数。Cij为A的第i行与B的第j列的点积

点积，用于向量相乘，表示为C=A*B，A与B均为向量，C为标量，也称标量积、内积、数量积等。

根据法向量 和 该平面其中一个点 ，求R3空间该平面的表达方式

？？？外积公式只能用在 R3空间？？？

外积可以得到AB的非零正交向量，也就是他们平面的法向量

R3空间中 向量外积 = 向量长度相乘 * 夹角正弦值

两个向量的外积是 这两个向量组成的平行四边形的面积

？？有个问题：在多维空间时，矩阵 和 向量 两个领域的交集在哪里？？？
？？？？矩阵可以转化为向量运算么？？？？？？

只有0 = 0 ，并且存在自由向量时，才存在无数个解

列向量的转置，变成了行向量，也就是矩阵的形式，所有矩阵用的乘积，本质上还是向量的点积，将矩阵中行向量逆转置为原始的列向量，变成向量相乘。好奇妙。原来矩阵乘法和 向量积是这样的关系

求矩阵的最简式可以通过消元法。增广矩阵。将增广矩阵转化为行简化阶梯形

矩阵乘以向量是0向量 --> 增广矩阵 --> 行简化阶梯形 ---> 将N元一次等式转化为张成空间的表达方式？

算是学习了一种新方法，如何将N元一次等式转化为张成空间的表达方式？必须过哪些点？这些点组成的张成空间，就是表达式对应的空间

A* B = 0是线性无关的必要条件是 只有B向量为0时，等式才成立，所有要求A肯定是个无任何自由项，也就是从左上角到右下角为1，其他都为0的矩阵。

如果A的零空间是0向量，说明A的行简化阶梯形是无自由变量的。比如只有对角线位置是1。

矩阵存在自由变量时，会有很多解

就是 把矩阵的每一列看成一个向量，向量组成的空间，或者向量组成的Span()张成空间，属于自己的另一种表达方式

自由变量 和 主变量。存在自由变量代表有很多解

如何理解矩阵？矩阵和空间的关系？给出了一个新角度，也就是转化为列空间，由每一列组、成一个向量，有N列，怎对应N个向量，最后矩阵组成的空间就是Sapn(N)，同时可以对Span(N)求证是否线性无关、线性有关的话可以去除哪些向量（尝试去掉多余的向量）？求空间的基底。这样来看待问题。

矩阵是空间么？是一个什么样的空间？矩阵的生成空间是啥？

零空间的维数也叫零度。零度等于A空间行简化梯度性中自由列的个数，A空间的维数是主列的个数。两个正好是互补的。零度的计算方式是，求出零空间（NullSpace）。

主元、主列、基底、非主列、线性独立就是线性无关的意思

基底列 和 主列个数保持一致

实数函数 或者 标量函数

满足线性的两个条件。1、满足分配率 2、满足乘系数不变。如果存在升次则属于非线性。N元N次方程。

矩阵向量乘法 是满足 线性变换的

有时候可以把转换T就看做是 那个矩阵（线性变换都可以重写为 一个矩阵*向量，向量是变量）。ker(T) = N(A) A就是那个矩阵空向量

加深了对 线性变换的理解，一个矩阵向量 。 T(x) = Ax。或者直接看成T = A即可。T就是那个矩阵，所以就有了 T(x) + S(x) = (T+S)x

例子中是能直接得到最终T的。如果思路是，把过程包含2部分，每部分对应一个T、S，就变成了T(S(x))。如何合并T\S为一个线性变换方程呢？

变换相加S+T，在空间中意味这啥？

反向求A矩阵时，可以借助矩阵的每一列的基向量。神奇。就这样旋转。借助基向量。也就是单位矩阵的每一列

绕X轴旋转、绕Y、绕Z，分别对应三个转换完成3D的操作

投影到直接的转化式子是如何 改写为 线性组合（也就是矩阵向量积的方式）。思路都是借助非线性组合的表达式，通过对单位矩阵中每列基向量做转化，最终求得矩阵的方式得到的。

T(S(x))复合后的也满足线性变换

完全是人为的创造了一个概念。矩阵相乘就是线性变换的复合

复合被定义了一个新的名字就是 A*B （矩阵相乘）

因为是线性的 所以存在 唯一解

满射（映上onto函数） 就是上域等于值域

***可逆函数的上域和值域必须一致么？****

增广矩阵的解存在三种情况，1. 无解，也就是最后一行全是零但是结果不为零 2.只有当为0时，才有唯一的解，也就是无自由项，全都是主列时 3.有自由项存在很多非0解，是线性相关的

逆函数必须满足两个条件。1、映上 2、一对一

如果T是一个onto满射到Rm空间，那么T的rank秩必须是m，也就是T的基向量个数必须是m个，自由向量。T的矩阵张成的空间必须是Rm。

视频里只说了，A的零空间不为0零向量的情况，也就是A矩阵无法张成该空间。如果是0向量呢？如果可以张成一个空间呢？

齐次方程式就是求Ax= 0 。
非齐次方程式 Ax= b，是非齐次方程

A的行列简化式必须是一个 单位方阵

是线性变换就能写成 A*x向量的形式