它怎么就确定常数abc的值a=2分之1c,应该是a=根号下c²-b²=根号a呀,用勾股定理解释其中的原因,说明白点

上边式子后面那个积分下界是x,上堺是b;
如果a=1那么分子就可以等价于1/6x^3,分母由于ln(1+t^3)/t等价于t^2,又积分一次应该等价于t^3,如果这样算c=1/6和用洛必达法则先求导做出的答案不一样.为什么鈈可以像我那样直接把上限都用等价无穷小替换?
写错了一个字:为什么不可以像我那样直接把上下都用等价无穷小替换

原创 董唯元 返朴 收录于话题#众妙の门20个

前段时间收到一位热心读者的邮件信中提到,如果认定1-1+1-1……=1/2为事实就会得出1+2+3+……=-1/12这样难以令人理解的结论。这位读者所提及的洎然数求和问题恰巧在量子理论和弦理论中都起到颇为重要的作用。从真空的能量到时空的维度数量,都与自然数之和有着微妙的联系在这个小小的数学魔术里面,甚至还隐含着时空不连续的秘密

数学老师曾告诉我们,只有收敛的级数才能求解无穷项之和然而在┅些科普书中,却会遇到一个神奇的求和:

所有自然数之和怎么会是负数而且还是个分数?这到底是人性的扭曲还是道德的沦丧?

想偠理解这个古怪的结论我们先来看一个简单的例子:1, -1, 1, -1, ……这个序列可以求无穷项之和吗?意大利数学家格兰迪(Dom Guido Grandi)早在1703年就开始认真琢磨这个问题,可以说这是所有发散级数求和研究的起点,这个序列后来就被命名为“格兰迪级数”

意大利数学家格兰迪丨图源:维基百科

也许有小伙伴猜测,这个序列中1和-1的数量既然同样多那么总和就应该等于0。可惜这样的猜测是错误的无穷集就像个再生能力很強的变形虫,部分与整体同样多我们从序列中拿走任意个1或者-1之后,剩下的1和-1数量仍然相同如果所剩下的1和-1加和为零的话,那么岂不昰总的求和仅由先取出的1或-1的数量决定——也就是任意整数这显然太不靠谱了,看来压根不能依靠比较1和-1的数量来求和

还有个办法,僦是借助收敛的级数寻找线索我们知道,在|q|<1时

现在我们粗暴地让q=-1,于是就出现了

这个结果似乎还能令人接受可是,q=-1毕竟是个“不合法”的条件我们需要更合理的途径来安抚内心的不安。如果把这个级数的前n项和记做A(n)我们现在动手来求 A(∞)。

哈!根据这个等式我们叒一次得到了 A(∞)=&frac12; 的结果。这回貌似没有明显违法的地方了警察来了也不怕。可是总还是感觉哪里不对。

可以看出A(n)在1和0之间来回跳动按照极限的定义,

这个极限不存在当我们写下A(∞)这个符号时,它究竟指代什么还没有清楚的定义。其实这也是发散级数求和的基础问題:如何定义发散级数的和

相关的定义不止一种。大体来说主要有切萨罗求和与阿贝尔求和两类,另外拉马努金和黎曼等人也发展出許多更一般性的理论中间还掺有源自欧拉的诸多贡献。那些数学语言虽严格但催眠和劝退的副作用也不小,所以本文不打算纠结于那些从集合论谈起的基础定义只使用非常“物理”的视角来定义: A(∞)表示所有 A(n)的平均值。

以“平均值”定义的求和方式使许多发散级数嘟可以进行求和。例如

这个级数也可以用同样的方法直接用眼睛瞪出结果。我们用B(n)表示前n项和即

把这些B(n)所对应的点画在图上之后,完铨不需要动笔计算用眼睛就可以直接看出所有B(n)的平均值是1/4。

如果只看图还不放心我们也可以借助前面 A(∞)=&frac12; 的结论来推算 B(∞):

稍微调整等式右边的计算顺序,先让前面括号内第n项减去后面括号内第n项然后再做加和。

把自然数之和变成-1/12的魔术

当然画出点来再用眼睛直接瞪絀结果的方法,有时候也需要一些技巧就以全体自然数之和为例,我们同样地令C(n)代表前n项和

麻烦出现了!显然C(n)对应的点都分布在一根上揚的抛物线上没办法直接看出平均值,而且看起来压根就不存在有限的平均值!别急我们可以继续变形。

这样我们就把每个C(n)对应的点都拆成上式中绿色项和紫色项所对应的两个“半点”分别画出来,居然又可以凑成两条对称的曲线

当我们把无限个“半点”都辛苦画唍之后。就可以指着两根曲线中间的对称轴宣布:

因为所有C(n)的平均值就等于所有“半点”的平均值而两根曲线上的“半点”分布完全对稱,只在绿色曲线的开头位置差了一个无关紧要的0

除了看图猜值,我们也可以借助刚才的 B(∞)=&frac14; 那个结果再来计算一遍 C(∞)。

其实能够得箌 -1/12 这个结果的途径还有许多。例如神奇的Zeta函数

这个以复数s为变量的函数因著名的黎曼猜想及其与数论的紧密联系而被反复研究。数学家們可以写出这个函数的许多种变化形式其中一种解析延拓到全部复平面的形式是

用这个形式也可以计算出

既然经过这么多五花八门的方式,都殊途同归到 -1/12 这个结果我们是不是可以把 1+2+3+…=-1/12 这个式子堂而皇之地写进中学课本中呢?相信许多人会跟我一样对此仍惶恐不安。因為在前述所有推演过程中都埋藏着一个颇为隐蔽的问题,那就是等号的意义将

似乎理所当然,但其实两个式子中前面的“=”代表的昰“定义为”,而不是量值相等所以,更清楚的写法应该是

这样就能看出-1/12 这个数值,并不像1+1=2那样自然天成理所应当而是需要事先假萣“全体自然数之和是一个确定常数abc的值的数”,然后再精心挑选出一个逻辑自洽性最好的数值指定其为全体自然数之和。只不过当逻輯自洽性和直觉发生明显冲突的时候我们都会感觉惊诧,这在数学发展的道路上已经不是什么新鲜事了

前面的讨论中,我们直接无视叻数学极限概念粗暴地使用平均值当做发散级数的和。现在让我们重新捡起极限概念从另一个角度看看-1/12是怎么跑出来的。

对 C(n) 这个发散級数我们可以引入某个剪刀函数 f(x) 来压制那些趋向无穷大的项,从而使发散的趋势在某个特定的位置N附近停下来并最终收敛到某个极限S(N)。这样我们就用标准的极限概念构造出一个S(N)当N有限时,S(N)是个有限值而当N趋于无穷大时,S(N)就对应着全体自然数之和

可以充当剪刀的函數有许多,比如我们取

通过数值计算我们发现S(N)随着N的增加而奔向正无穷。这倒是符合我们先前的直觉了可是说好的-1/12呢?别急我们再紦S(N)用1/N展开看看。我们发现S(N)在大N的数值结果可以被下面的展开式很好的拟合

哈!居然又看到了这个-1/12,它是S(N)展开式中的常数项也就是说,茬S(N)中与N的变化无关的成分就是-1/12。当N足够大时那些含1/N的项都可以忽略,S(N)可以被看做一根最低点在-1/12处的抛物线

我们再取剪刀函数 f(x)=e-x 试试。此时

这个求和可以严格计算出来我们先对下面的等式两边求β的导数

同样在大N条件下做1/N展开,就得到

同样也出现了常数项-1/12而且也是根丅垂到-1/12处的抛物线

如果 f(x) 直接取为跳变函数,也就是在 n=N 处突然截断那么

就不会有-1/12这个常数项。

看起来除了跳变函数的突然截断,其他平滑的截断方式都能得到

这个有趣的结果这似乎是告诉我们,全体自然数之和即使注定无法摆脱走向无穷大的宿命却出于某种神秘的理甴一直对-1/12情有独衷。亦或可以说

发散项只是平庸无奇的底色,而-1/12才是刻写在底色上的性格内核

站在实用的视角来说,我们有时候需要潒使用收敛级数一样处理自然数之和所以就不得不找到某个确定常数abc的值的“缰绳”来驾驭。比如在研究真空能量的时候物理学家就遇到了全体自然数之和,而且非常希望这个和是个确定常数abc的值的数

在量子场论的理论模型中,真空就像一张立体弹簧网由无数小弹簧横纵交织而成。而所谓粒子就是其中某些小弹簧的振动足够剧烈,以至于远远望去以为弹簧网中出现了什么异物似的但只要凑到近處就会看出,那里除了振动本身别无他物也就是说,粒子本质上就是真空的振动因此,当能量变化时粒子的数量不必受任何守恒律嘚约束,可以凭空增加或者减少不过,粒子能否产生或消失却与小弹簧的振动频率有关在振动频率为ω时,粒子数n与场的能量E之间存茬这样的关系:

从关系式可以看出,真空每攒够一份?ω大小的能量,就会产生出一个粒子;反之每减少一份就会擦除一个粒子或者干脆說,每个粒子其实就是个?ω大小的能量包。有趣的是n=0时它对应着真空里没有粒子的情况,此时能量是&frac12;?ω。也就是说,当真空的能量低到不能再低的时候,能量仍然不是0,这就是真空零点能。下面我们来具体计算一个有限空间内的真空能量看看它与全体自然数求和到底昰什么关系。

我们知道两端固定的弹簧上只能存在驻波,即波长的整数倍恰好等于两端距离的波因为只有这种波在来回反射过程中可鉯维持能量,其他形式的波都会自我消减导体对于电磁场也有一模一样的作用。在距离为L的两块金属板之间只能存在波长恰好为 λn=L/n 的電磁波,其中n是正整数每个这样的电磁波频率为

将所有频率的零点能累加起来,真空中总能量就是

就这样出现了现在你应该能够理解,物理学家们是多么希望

是个确定常数abc的值数值了吧更有意思的是,如果姑且憨憨地认为自然数之和就是-1/12的话我们甚至可以设计一个粅理实验来验证这个结论。

如下图这样放置三块相互平行的金属板使甲乙之间距离为a,乙丙之间距离为b

根据刚才的结论,我们知道甲乙之间的真空能量是

现在我们想知道当a<b时,中间位置的金属板乙会受到哪个方向的力根据能量对位置的偏导可以求解受力情况。结果发现:如果

的话金属板乙会受到一个向右的力;反之则受到向左的力。

其实实验装置还可以进一步简化,我们可以把最右边的丙拿箌无穷远处只留下甲和乙,然后测量甲乙之间是吸引还是排斥如果相互排斥,就说明

这个实验设想最早由荷兰物理学家卡西米尔(Hendrik Casimir)在1948年提出,当然提出实验的目的才不是测量自然数之和而是为了验证真空零点能的存在。事实上卡西米尔当年在提出这个实验的时候,就已经预言两金属板之间相互吸引也就是对应

的情况,因为他的理论推算过程已然采用了解析延拓后的黎曼Zeta函数1996年,华盛顿大学嘚Lamoreaux用实验证实了卡西米尔效应的存在论文发表在1997年1月的《物理评论快报》(PRL)上。

需要澄清的是卡西米尔效应的实验证实,只能说明嫃空零点能的存在但是并不能真的用来验证数学意义上的所有自然数之和。其实现实中的金属板只能阻拦有限频率范围内的电磁波,當频率大过某个数值时金属板就无法阻拦这种极高频率的波。所以从更精确的角度计算卡西米尔效应时需要考虑这种高频截断。不过具体计算会用到欧拉-麦克劳林公式和伯努利数这些催眠的内容本文就不再涉及了。

下面我们转到弦理论看看所有自然数之和是如何与維度的数量产生关系的。

前面提到两端固定的一根弹簧之上只能存在驻波,所有振动频率只能是最低频率的整数倍对一根两端完全自甴的弦来说,结论同样成立两端固定意味着端点速度为零,而两端自由则意味着端点的加速度为零二者之间的差别,无非就是傅里叶汾解时该写成

而已也就是说,长度为L的弦肯定有个像自然数序列一样的离散频率谱

另外,弦理论中的量子化方式与量子场论所使用的技术手段如出一辙所以同样存在

关系。这意味着能量最低的弦并不是完全静止而是具有

的能量,而且在每一个可以振动的维度上都囿这些能量。

注意仅具有最低能量的弦不会被当做粒子看待,只能被视为真空表现为一个光子的弦,至少需要高出基态能量一份大小?ω1的能量。这份能量在一个空间维度上以光速传播就是一个光子。根据相对论在这个光子传播的维度上,不再具有振动的自由度而剩下的空间维度里,弦都还具有基态能量

假设空间维度数是d,那么一个被激发成光子的弦所具有的最低总能量就是

注意到 ωn=nω1 这个光孓的总能量就变成了

相对论告诉我们,光子的最低能量应该是零所以跟相对论兼容的弦理论必须满足

推演到这里,我们就要祭出

这个大招求解出d=25,也就是空间维数必须是25维加上时间,总共26维时空

在超弦理论中,由于超对称因素的引入弦的基态能量提升为3倍,光子能量约束条件变成了

由此求出d=9加上一个时间维度,总共凑成10维的时空

以上就是玻色弦理论要求25+1维时空,以及超弦理论要求9+1维时空的故倳梗概希望读者能借助这些实例,对自然数之和在物理中的作用建立一些具像理解

为了保持话题的收敛性,前文论述中刻意略过了许哆有趣的细节例如在弦的基态振动模式中,如果存在

这就意味着仅在弦的一个振动模式里,就包含了无穷大的能量同样的,真空零點能的计算中也会不可避免地含有能量无穷大的成分。这显然都太不合适我们的理论模型需要有个边界,来防止这种在极高频率方向“紫外灾难”的发生

之所以能产生无限大的频率,就是因为我们允许存在无限小的波长那么自然就会意识到,可以消除“紫外灾难”嘚理论模型中空间必然存在有限的最小尺度。更直白地说就是空间不可能是连续的舞台,而必须是离散的梅花桩这个最小尺度究竟昰多少呢?一个天然的候选者当然就是普朗克长度。

如果某个粒子的波长比普朗克长度还要短那么这个粒子就会由于具备了太高的能量而把自己就地变成黑洞,而且这个黑洞所覆盖的区域又会超出普朗克长度于是,普朗克长度就成了现有理论中最为自然的时空基本像素

现在让我们抱持着离散时空的观念,重新审视卡西米尔效应实验首先,任何距离都必须是

的整数倍那么甲乙板间距离a和乙丙板间距离b,就变成了

其次,频率累加也不会一直延伸到无穷大而是会在 Na 和 Nb 附近停下来。我们相信在真实世界中停止方式应当是某种平滑截断,所以原先式子中的

我们发现甲乙板间的能量 Ea 分为两部分,其中一部分与 Na 呈正比另一部分则呈反比。乙丙板间的能量 Eb 也是同样情況

显然,呈正比的那部分能量在乙板左右产生的作用力始终相互抵消,只有第二部分呈反比的能量才对乙板产生了作用力。由此可見卡西米尔效应是在两个巨大的首项恰好相互抵消之后,在第二项上显现出的效应所以这种力异常微弱,只有把两个面积达平方米量級的金属板靠近到微米距离时才能产生可供测量的吸引力。

现在我们才算真正解释了卡西米尔效应与自然数之和的关系如果未来再遇箌有民科企图用这个实验来证明自然数之和是个负数,尽可以毫不犹豫地送他一个白眼

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原标题:《所有自然数之和是-1/12?它在物理学中还有特别的應用丨众妙之门》

厄,就是利用均值不等式列出a2+b2+c2與abc的关系,抱歉没说清.厄,

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