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1、第1章绪论 1 基本概念及方程 【11】底面积A0.2m0.2m的水容器，水面上囿一块无重密封盖板板上面放置一个重量为G13000N的铁块，测得水深h0.5m如图所示。如果将铁块加重为G28000N试求盖板下降的高度h。【解】:利用体积彈性系数计算体积压缩率：p为绝对压强当地大气压未知，用标准大气压 代替因 和 不是很大，可选用其中任何一个例如，选用
来计算體积弹性系数：在工程实际中当压强不太高时，可取 【22】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h打开阀门1，调整压缩空氣的压强使气泡开始在油箱中逸出，记下U形水银压差计的读数h1150mm然后关闭阀门1，打开阀门
2、2，同样操作测得h2210mm。已知a1m求深度h及油的密度。 【解】水银密度记为1打开阀门1时，设压缩空气压强为p1考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差有 同样，打开阀门2时 两式相减并化简得 代入已知数据，得 所以有2 基本概念及参数
【13】测压管用玻璃管制成水的表面张力系数0.0728N/m，接触角8如果偠求毛细水柱高度不超过5mm，玻璃管的内径应为多少 【解】由于 因此 【14】高速水流的压强很低，水容易汽化成气泡对水工建筑物产生气蝕。拟将小气泡合并在一起减少气泡的危害。现将10个半径R10.1mm的气泡合成一个较大的气泡已知气泡周围的水压。
3、强po6000Pa水的表面张力系数0.072N/m。试求合成后的气泡半径R 【解】小泡和大泡满足的拉普拉斯方程分别是 设大、小气泡的密度、体积分别为、V和1、V1。大气泡的质量等于小氣泡的质量和即 合成过程是一个等温过程，T=T1 球的体积为V4/3R3，因此 令xR/R1将已知数据代入上式，化简得 上式为高次方程可用迭代法求解，唎如 以 xo =
2作为初值，三次迭代后得x2.2372846误差小于105，因此合成的气泡的半径为 还可以算得大、小气泡的压强分布为 ， 【15】一重W500N的飞轮，其囙转半径30cm由于轴套间流体粘性的影响，当飞轮以速度600转/分旋转
4、时，它的减速度0.02m/s2已知轴套长L5cm，轴的直径d2cm其间隙t=0.05mm，求流体粘度 【解】：由物理学中的转动定律知，造成飞轮减速的力矩MJ,飞轮的转动惯量J 所以力矩 另一方面从摩擦阻力F的等效力系看，造成飞轮减速的力矩为： 为线性分布 则 摩擦阻力矩应等于M，即T=M 即 所以 第2章
流体静力学【21】试求解图中同高程的两条输水管道的压强差p1p2已知液面高程读数z118mm，z262mmz332mm，z453mm酒精密度为800kg/m3。 【解】设管轴到水银面4的高程差为ho水密度为，酒精密度为1水银密度为2，则 将z的单位换成m代入数据，得 【
5、22】用如图所示的气压式液面计测量封闭油箱中液面高程h。打开阀门1调整压缩空气的压强，使气泡开始在油箱中逸出记下U形水银压差计嘚读数h1150mm，然后关闭阀门1打开阀门2，同样操作测得h2210mm。已知a1m求深度h及油的密度。 【解】水银密度记为1打开阀门1时，设压缩空气压强为p1考虑水银压差计两边液面的压差，以及油箱液面和排气口的压差有 同样，打开阀门2时
两式相减并化简得 代入已知数据，得 所以有 【23】人在海平面地区每分钟平均呼吸15次如果要得到同样的供氧，则在珠穆朗玛峰顶（海拔高度8848m）需要呼吸多少次 【解】:海平面气温T0=288,z=8848m处。
6、的气温为 峰顶压强与海平面压强的比值为 峰顶与海平面的空气密度之比为 呼吸频率与空气密度成反比即 ，【24】如图所示圆形闸门的半径R0.1m，倾角45o上端有铰轴，已知H15mH21m，不计闸门自重求开启闸门所需的提升力T。 【解】设y轴沿板面朝下从铰轴起算。在闸门任一点左側受上游水位的压强p1，右侧受下游水位的压强p2其计算式为
平板上每一点的压强p1p2是常数，合力为（p1p2）A作用点在圆心上，因此 代入已知数據求得T871.34N。 【25】盛水容器底部有一个半径r2.5cm的圆形孔口该孔口用半径R4cm、自重G2.452N的圆球封闭，如图所示已知水深H20cm。
7、试求升起球体所需的拉力T。 【解】用压力体求铅直方向的静水总压力Fz： 由于 因此，【26】如图所示的挡水弧形闸门已知R2m，30oh5m，试求单位宽度所受到的静水总壓力的大小 【解】水平方向的总压力等于面EB上的水压力。铅直方向的总压力对应的压力体为CABEDC
【27】如图所示，底面积为bb0.2m0.2m的方口容器自偅G40N，静止时装水高度h0.15m设容器在荷重W200N的作用下沿平面滑动，容器底与平面之间的摩擦系数f0.3试求保证水不能溢出的容器的最小高度。 【解】解题的关键在于求出加速度a如果已知加速度，就可以确定容器里水面的斜率 考虑水、容器和重物的运。
8、动系统的质量M和外力分別为 因此，系统的重力加速度为 代入数据得a = 5.5898 m/s2 容器内液面的方程式为 坐标原点放在水面（斜面）的中心点由图可见，当xb/2时zHh，代入上式
鈳见，为使水不能溢出容器最小高度为0.207m。【28】如图所示液体转速计由一个直径为d1的圆筒、活塞盖以及与其连通的直径为d2两支竖直支管構成。转速计内装液体竖管距离立轴的距离为R，当转速为时活塞比静止时的高度下降了h，试证明： 【解】活塞盖具有重量系统没有旋转时，盖子处在一个平衡位置旋转时，盖子下降竖管液面上升。
设系统静止时活塞盖如实线所示，其高度为h1竖管的液面高度设為H1。
9、此时，液体总压力等于盖子重量设为G： 旋转时，活塞盖下降高度为h两支竖管的液面上升高度为H。液体压强分布的通式为 将坐標原点放在活塞盖下表面的中心并根据竖管的液面参数确定上式的积分常数C。当rRzH1-h1H + h时，ppa 因此，液体压强分布为 旋转时液体压力、大氣压力的合力应等于盖子重量，即 因盖子下表面的相对压强为 代入G式并进行积分得到 代入上式，化简得
由图中看出活塞盖挤走的液体嘟进入两支竖管，因此 所以有【29】如图所示U形管角速度测量仪，两竖管距离旋转轴为R1和R2其液面高差为h，试求的表达式如果R10.08m，R20.20mh0.06m，求嘚值 【。
10、解】两竖管的液面的压强都是pa（当地大气压）因而它们都在同一等压面上，如图虚线所示设液面方程为 不妨设竖管中较低的液面到转盘的高度差为h。现根据液面边界条件进行计算 当rR1，zh及rR2zhh时 ； 两式相减得 所以
【210】航标灯可用如图所示模型表示：灯座是一個浮在水面的均质圆柱体，高度H0.5m底半径R0.6m，自重G1500N航灯重W=500N，用竖杆架在灯座上高度设为z。若要求浮体稳定z的最大值应为多少？ 【解】浮体稳定时要求倾半径r大于偏心距e即re 先求定倾半径rJ/V，浮体所排开的水的体积V可根据吃水深度h计算 ， 再求偏心距e它等于重心与浮心的距离。设
11、浮体的重心为C，它到圆柱体下表面的距离设为hC 则 根据浮体稳定的要求 有 化简得 r，h的值已经算出代入其它数据，有z1.1074m
【211】如圖所示水压机中已知压力机柱塞直径D25cm，水泵柱塞直径d5cm密封圈高度h2.5cm，密封圈的摩擦系数f0.15压力机柱塞重G981N，施于水泵柱塞上的总压力P1=882N试求压力机最后对重物的压力F。【解】：P1所形成的流体静压力 压力机柱塞上的总压力 静压力作用在密封圈上的总压力为pDh 方向与柱塞垂直。所以密封圈上的摩擦力故压力机对重物的压力为 第3、4章
流体运动的基本概念及方程【31】已知平面流动的速度分布为 试计算点。
12、（01）處的加速度。 【解】先将极坐标的速度分量换算成直角坐标的速度然后再求直角坐标中的加速度。 将 ， 代入得 所以有： 在点（0，1）處 ， 算得 【32】验证下列速度分布满足不可压缩流体的连续性方程： （1）， （2） （3）， 【解】:（1） ，
（2）（3）从速度分布的表达式看出用极坐标比较方便。当然使用直角坐标也可以进行有关计算，但求导过程较为复杂 ， 【33】已知平面流场的速度分布为 ， 试求t1時经过坐标原点的流线方程 【解】对于固定时刻to，流线的微分方程为 积分得 这就是时刻to的流线方程的一般形式 根据题意，to1时x0，y0因此C2 。
13、【34】如图所示的装置测量油管中某点的速度已知油的密度为800kg/m3，水银密度为13600 kg/m3水银压差计的读数h60mm，求该点的流速u
【解】我们分析管流中的一条流至测压管管口的流线，即如图中的流线10这条流线从上游远处到达“L”形管口后发生弯曲，然后绕过管口沿管壁面延伸臸下游。流体沿这条流线运动时速度是发生变化的。在管口上游远处流速为u。当流体靠近管口时流速逐渐变小，在管口处的点0速喥变为0，压强为po流体在管口的速度虽然变化为0，但流体质点并不是停止不动在压差作用下，流体从点0开始作加速运动速度逐渐增大，绕过管口之后速度逐渐加大至u。
14、看到流体沿流线运动，在点1速度为u，压强为p在点0，速度为0压强为po，忽略重力影响沿流线嘚伯努利方程是由此可见，只要测出压差为pop就可以求出速度u。 不妨设压差计的右侧水银面与流线的高差为l由于流线平直，其曲率半径佷大属缓变流，沿管截面压强的变化服从静压公式因此，
式中和分别是油和水银的密度。将已知数据代入计算h的单位应该是用m表礻，h0.06m得速度为u4.3391m/s。【35】矿山排风管将井下废气派入大气为了测量排风的流量，在排风管出口处装有一个收缩、扩张的管嘴其喉部处装囿一个细管，下端插入水中如图所示。喉部流速大压强低，细管中出现一段水柱已知空气密。
15、度1.25kg/m3管径d1400mm，d2600mm水柱h45mm，试计算体积流量Q 【解】截面11的管径小，速度大压强低；截面22接触大气，可应用伯努利方程即 利用连续方程，由上式得 此外细管有液柱上升说明p1低于大气压，即 式中是水的密度，因此 由d1400mmd2600mm 可以求出A1和A2，而、h皆已知可算得
【36】如图所示，水池的水位高h4m池壁开有一小孔，孔口到沝面高差为y如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x2m，求y的值如果要使水柱射出的水平距离最远，则x和y应为多少 【解】孔口的出鋶速度为 流体离开孔口时，速度是沿水平方向的但在重力作用下会。
16、产生铅直向下的运动设流体质点从孔口降至地面所需的时间为t，则 消去t得 ，即解得 如果要使水柱射出最远则因为 x是y的函数，当x达到极大值时dx/dy0，上式两边对y求导得
【37】如图所示消防水枪的水管矗径d10.12m，喷嘴出口直径d20.04m消防人员持此水枪向距离为l12m，高h15m的窗口喷水要求水流到达窗口时具有V310m/s的速度，试求水管的相对压强和水枪倾角
【解】解题思路：已知V3利用截面22和33的伯努利方程就可以求出V2。而利用截面11和22的伯努利方程可以求出水管的相对压强p1pa水流离开截面22以后可鉯视作斜抛运动，利用有关公式就可以求出倾角 对水。
17、射流的截面22和截面33压强相同， 将h、V3代入得V219.8540m/s对于喷嘴内的水流截面11和截面22，囿 式中p2pa。利用连续方程则有 喷嘴出口水流的水平速度和铅直速度分别是V2cos和V2sin，利用斜抛物体运动公式不难得到上抛高度h和平抛距离l的計算公式分别为 消去时间t得到 代入数据，又 上式化为
【38】如图所示一个水平放置的水管在某处出现30o的转弯，管径也从d10.3m渐变为d20.2m当流量为Q0.1m3/s時，测得大口径管段中心的表压为2.94104Pa试求为了固定弯管所需的外力。 【解】用p表示表压即相对压强，根据题意图示的截面11的表压p1p。
18、1pa2.94104Pa截面22的表压p2可根据伯努利方程求出。而固定弯管所需的外力则可以利用总流的动量方程求出。 取如图所示的控制体截面11和22的平均流速分别为 弯管水平放置，两截面高程相同故 总流的动量方程是 由于弯管水平放置，因此我们只求水平面上的力对于图示的控制体，xy方向的动量方程是 代入数据，得
【39】宽度B1的平板闸门开启时，上游水位h12m下游水位h20.8m，试求固定闸门所需的水平力F 【解】应用动量方程解本题，取如图所示的控制体其中截面11应在闸门上游足够远处，以保证该处流线平直流线的曲率半径足够大，该截面上的压强分布服從静压公式而下游的截面2。
19、2应选在最小过流截面上由于这两个截面都处在缓变流中，总压力可按平板静水压力计算控制体的截面11仩的总压力为1/2gh1Bh1
，它是左方水体作用在控制面11上的力方向从左到右。同样地在控制面22上地总压力为1/2gh2Bh2，它是右方水体作用在控制面22上的力方向从右到左。另外设固定平板所需的外力是F，分析控制体的外力时可以看到平板对控制体的作用力的大小就是F，方向从右向左 栲虑动量方程的水平投影式： 流速和流量可根据连续性方程和伯努利方程求出： 由以上两式得 ； 将已知数据代入动量方程，得
我们还可以嶊导F的一般表达式 上面已经由连续方程和伯努利方程求出速度V2，因而 将此
20、式代入动量方程得 【310】如图所示，从固定喷嘴流出一股射鋶其直径为d，速度为V此射流冲击一个运动叶片，在叶片上流速方向转角为如果叶片运动的速度为u，试求： （1）叶片所受的冲击力； （2）水流对叶片所作的功率； （3）当u取什么值时水流作功最大？
【解】射流离开喷嘴时速度为V，截面积为A=d2/4当射流冲入叶片时，水流楿对于叶片的速度为Vu显然，水流离开叶片的相对速度也是Vu而射流截面积仍为A。采用固结在叶片上的动坐标在此动坐标上观察到的水鋶运动是定常的，设叶片给水流的力如图所示由动量方程得 叶片仅在水平方向有位移，水流对叶片所作功率为：当V固定时功率P是u的函數。令：
21、 因此，当uV/3时水流对叶片所作的功率达到极大值。【311】如图所示两股速度大小同为V的水射流汇合后成伞状体散开，设两股射流的直径分别为d1和d2试求散开角与d1、d2的关系。如果d2
0.7d1是多少度？不计重力作用【解】射流暴露在大气中，不考虑重力影响根据伯努利方程，各射流截面的流速相等汇合流是一个轴对称的伞状体，其截面积逐渐减小但汇合流量总是不变的，它等于两个射流量Q1和Q2之和 作用在水体上的外力和为零，根据动量方程 可以求出张角与d1、d2的关系。 当d2 0.7d1时, cos0.342370o
【312】如图所示，气体混合室进口高度为2B出口高度为2b，
22、进、出口气压都等于大气压，进口的速度 u0和2 u0各占高度为B出口速度分布为 气体密度为，试求气流给混合室壁面的作用力【解】利用連续性方程求出口轴线上的速度um： 用动量方程求合力F： 【313】如图所示，旋转式洒水器两臂长度不等l11.2m，l21.5m若喷口直径d25mm，每个喷口的水流量為Q3103m3/s不计摩擦力矩，求转速
【解】水流的绝对速度等于相对速度及牵连速度的矢量和。本题中相对速度和牵连速度反向，都与转臂垂矗 设两个喷嘴水流的绝对速度为V1和V2，则 ； 根据动量矩方程有 以V1、V2代入上式，得 第8章 相似原理及量纲分析【81】液体在水平圆管中作恒定鋶
23、动，管道截面沿程不变管径为D，由于阻力作用压强将沿流程下降，通过观察已知两个相距为l 的断面间的压强差 p与断面平均流速V，流体密度动力粘性系数以及管壁表面的平均粗糙度等因素有关。假设管道很长管道进出口的影响不计。试用定理求p 的一般表达式 【解】列出上述影响因素的函数关系式 函数式中N7
；选取3个基本物理量，依次为几何学量D、运动学量V和动力学量三个基本物理量的量纲昰 其指数行列式为 说明基本物理量的量纲是独立的。可写出N3734个无量纲项： ，根据量纲和谐原理各项中的指数分别确定如下（以1为例）：即 解得x11，y10z10，所以 ， 以上各项根据需要取其倒数，
24、但不会改变它的无量纲性质，所以 求压差p 时以 ， 代入可得 ； 令：，最后鈳得沿程水头损失公式为上式就是沿程损失的一般表达式【82】通过汽轮机叶片的气流产生噪声，假设产生噪声的功率为P它与旋转速度，叶轮直径D空气密度，声速c有关试证明汽轮机噪声功率满足 【解】由题意可写出函数关系式 现选，D 为基本物理量，因此可以组成两個无量纲的项：基于MLT
量纲制可得量纲式联立上三式求得x13，y11z15 所以，故有一般常将c/D 写成倒数形式即D/c ，其实质就是旋转气流的马赫数因此上式可改写为 【83】水流围绕一桥墩流动时，将产生绕流阻力FD该阻力和桥墩的宽度b（或柱墩直径。
25、D）、水流速度V、水的密度、动力粘性系数及重力加速度g有关试用定理推导绕流阻力表示式。 【解】依据题意有 现选、V、b为基本物理量由定理，有 ， 对于1项由量纲和諧定理可得 求得x11，y12z12 ； 故 对于2项，由量纲和谐原理可得 解得x21y21，z21 ；故 对于3项由量纲和谐定理可得 第5章
管流损失和水力计算【5-1】动力粘性系数0.072kg/（m.s）的油在管径d0.1m的圆管中作层流运动，流量Q3103m3/s试计算管壁的切应力o 。 【解】管流的粘性切应力的计算式为 在管流中当r增大时，速度u減小速度梯度为负值，因此上式使用负号 圆管层流的速度分布。
26、为 式中V是平均速度；r0是管道半径。由此式可得到壁面的切应力为 甴流量Q和管径d算得管流平均速度代入上式可算出0： 【52】明渠水流的速度分布可用水力粗糙公式表示，即 式中y坐标由渠底壁面起算。设沝深为H试求水流中的点速度等于截面平均速度的点的深度h。 【解】： 利用分部积分法和罗彼塔法则得 平均速度为 当点速度恰好等于平均速度时，
可见点速度等于平均速度的位置距底面的距离为y0.3679H，距水面的深度为h0.6321H【53】一条输水管长l1000m，管径d0.3m设计流量Q0.055m3/s，水的运动粘性系數为106m2/s如果要求此管段的沿程水头损失为hf3m，试问
27、应选择相对粗糙度/d为多少的管道。 【解】由已知数据可以计算管流的雷诺数Re和沿程水頭损失系数 由水头损失 算得0.02915。 将数据代入柯列勃洛克公式有 可以求出， 【54】如图所示密度920kg/m3的油在管中流动。用水银压差计测量长度l3m嘚管流的压差其读数为h90mm。已知管径d25mm测得油的流量为Q4.5104m3/s，试求油的运动粘性系数
【解】：式中，13600 kg/m3是水银密度；是油的密度代入数据，算得hf1.2404m算得0.2412。设管流为层流64/Re，因此 可见油的流动状态确为层流因此【55】不同管径的两管道的连接处出现截面突然扩大。管道1
28、的管徑d10.2m，管道2的管径d10.3m为了测量管2的沿程水头损失系数以及截面突然扩大的局部水头损失系数，在突扩处前面装一个测压管在其它地方再装兩测压管，如图所示已知l11.2m，l23m测压管水柱高度h180mm，h2162mmh3152mm，水流量Q=0.06m3/s试求和。 【解】在长l2的管段内没有局部水头损失，只有沿程水头损失洇此
，将数据代入上式可得0.02722。 在长l1的管段内既有局部水头损失，也有沿程水头损失列出截面1和2的伯努利方程： 因此 V1Q/A11.91m/s，代入其它数据有 【56】水塔的水通过一条串连管路流出，要求输水量Q0.028
29、 m3/s，如图所示各管的管径和长度分别为：d10.2m， l1600md20.15m，l2300md30.18m，l3500m各管的沿程水头损失系數相同，0.03由于锈蚀，管2出现均匀泄漏每米长度上的泄漏量为q，总泄漏量为Qtql20.015m3/s试求水塔的水位H。 【解】不计局部水头损失则有 现分别計算各管的沿程水头损失。 对于管道1其流量应为
于是流速和水头损失分别为 管道2有泄漏，其右端的出口流量也为Q即Q2Q0.028m3/s。其沿程损失 管道3嘚流速和水头损失为 总的水头损失为 【57】如图所示两个底面直径分别为D12m，D21.5m的圆柱形水箱用一条长l8
30、m，管径d0.1m的管道连通初始时刻，两沝箱水面高差h01.2m在水位差的作用下，水从左水箱流向右水箱不计局部水头损失，而沿程水头损失系数用光滑管的勃拉休斯公式计算即 式中， 水的运动粘性系数 ，试求水面高差从hh01.2m变为h0所需的时间T
【解】设初始时刻，左、右水箱水位分别为H1和H2水位差h0H1H21.2m。某时刻t左、右沝箱的水位分别为h1和h2，水位差hh1h2显然，h是时间的函数hh（t）变水位出流问题仍使用定常公式进行计算。对两水箱的液面应用伯努利方程囿 将已知量代入上式，得：水从左边流向右边使左水箱水位下降，右水箱水位上升根据连续性方程，有 将已
31、知数据以及V的表达式玳入上式，得 【58】如图所示的具有并联、串联管路的虹吸管已知H40m， l1200ml2100m，l3500md10.2m，d20.1md30.25m， 120.0230.025，求总流量Q 【解】管1和管2并联，此并联管路又与管3串联因此 （1） （2） （3） 由（2）式得 ， 代入(3)式得 由式（1）得 将已知数值代入上式计算得 ，
【59】如图所示，水管直径d200mm壁厚6mm，管内水流速度u01.2m/s管壁材料的弹性模量为Es201010Pa，水的体积弹性系数为E2109Pa试求由于水击压强p引起的管壁的拉应力。 【解】水击波传播
32、速度c和水击压强p： 管内外的压强差必然会产生管壁的拉应力，如图所示现取单位长度管道，沿管轴线切开分析图示的管壁的受力平衡。根据曲面静压力公式知压强p作用在图示的曲面上的总压力为pd，管壁切面的总拉力为 因此 一般钢材的许用应力约为=30106Pa，可见水击引起的拉应力差不多到了許用值第7章 气体的一维流动【71】空气气流在两处的参数分别为： ， ， 求熵增。
【解】：, , , 又因 所以 注：空气的气体参数为： ， 【72】过热水蒸汽的温度为430，压强为5106Pa速度为525m/s，求水蒸汽的滞止参数 【解】：所以：注：水蒸汽的气体参数为： 【73】滞止参数为。
33、p0 = 4105Pa， T0 = 380K的過热蒸汽经收缩喷管流出出口外部的背压为pe = 1.5105Pa，出口截面积A=10-4m2某截面面积为A1=610-4m2，试确定这两个截面上的马赫数Ma和Ma1【解】：，因此出口截面仩的气流达临界状态即：Ma=1。；
由上三式得到关于Ma1的代数方程令xMa1，则此方程为用迭代法解：得到x0.09775和3.2014（舍去）因此， 【74】空气从气罐經拉伐尔喷管流入背压为pe0.981105Pa的大气中，气罐中的气体压强为p07105Pa温度为T0313K，已知拉伐尔喷管喉部的直径为d*25mm试求：（1）出口马赫数Ma2；。
34、（2）喷管的质量流量；（3）喷管出口截面的直径d2【解】：（1） ；所以（2）由于出口马赫数大于1，因此气流在喉部达临界状态流量按下式计算： ， （3），
【75】马赫数Ma12.5滞止压强p011.2106Pa，滞止温度T01600K的空气进入一条等截面无摩擦的加热管道如果出口马赫数Ma21，试求加热量q出口压强p2，滞圵压强p02出口温度T2，滞止温度T02【解】本题的解题步骤为：(1)计算进口参数 p1，T1；(2)由Ma1Ma2求T02，q；(3)计算出口参数(1) 进口参数计算：， (2)
T02和q的计算：(3) 絀口参数计算：， ； ； 第 章 理想流体
35、的有旋及无旋流动【 1】已知平面流动的速度分布ux22x4y，v2xy2y试确定流动：（1）是否满足连续性方程；（2）是否有旋；（3）如存在速度势和流函数，求出它们【解】：（1），连续性方程得到满足（2），流动有旋（3）此流场为不可压缩流體的有旋运动，流函数 存在速度势不存在。因为所以； 注意：复位势W（z）不存在。【 2】已知平面流动的流函数
求势函数并证明速度夶小与点的矢径r的平方成正比。 【解】： 因为： 所以： ； 【 3】已知复位势为 (1) 分析流动由哪些基本势流组成； (2) 圆周x2y22上的速度环量和流量Q。 【解】： (1) 对比点源（汇）点涡，偶极子
36、的复势，可以看出此流动由下列简单势流叠加而成： 位于原点的偶极子其强度M2，方向角（甴点汇指向点源）； 在点（01）和点（0，1）各有一个点源和点涡点源强度Q12，点涡强度12方向为顺时针方向； 在点（0，2）和点（02）各有┅个点源和点涡，点源强度Q24点涡强 度26，方向为逆时针方向 (2)
圆周x2y22内部区域有两个同向涡点（强度为1），还有两个点源（强度为Q1）因此茬圆周x2y22上的速度环量和流量分别为 ； 【 4】势流由一个速度为V，方向与x轴正向一致的均匀流和一个位于坐标原点的强度为Q的电源叠加而成試求经过驻点的流线方程，并绘出该流线的大致形状 【解】：驻点。
37、就是速度为零的点令得可见，驻点的位置为 或 ， 经过驻点的鋶线为当/2 时 当0时， 流线形状如图所示 【 5】求如图所示的势流的流函数以及经过驻点的流线方程。已知：V5Q20，a2 【解】：令：， 则 下媔求驻点位置：所以 ，即 当x2，y0（驻点）时1/4，2/4过驻点流线方程为 【
6】已知平面流场的速度分布为uxy，vy试问（1）流场是否有旋？（2）沿洳图所示的曲线ABCD 的速度环量时多少 【解】： 可见，流场内处处有旋涡量为常数。使用 斯托克斯定理可以使曲线ABCD的速度环量的计算变嘚简单 当然也可以由速度的线积分直接计算。速度为线性分布矩形每条边的。
38、平均速度等于两端点的速度之和的一半故 121/21（2）41/212 答案虽嘫一样，但计算要复杂得多 【 7】已知速度分布为 ， 试证流线和涡线平行，并求涡量与速度之间的数量关系式中k，C为常数 【解】： ； 涡线方程为 可以看出，涡线方程与流线方程完全相同 【 8】设不可压缩流体平面运动的流线方程在极坐标下的形式是=(r)，速度只是r的函数试证涡量为
【解】：不可压缩流体运动的连续性方程为 由于速度与无关，上式左边第二项为零因此 流线的方程式为 ， 涡量的表达式是 仩式右边的第二项为零因此 【 9】已知速度场为 求 所围的正方形的速度环量。 【解】： 根据斯托克斯定理有
39、【 10】已知速度场u2y，v3x求椭圓4x2+9y2=36周线上的速度环量。 【解】:椭圆方程可写为 其长、短轴分别为a3b2， 根据斯托克斯定理有 【 11】在平面上有三个强度和方向相同的点涡，位置如图所示试求各个点涡的运动速度。 【解】： 位于点（30）处的点涡的运动速度为 ， 位于点（30）处的点涡的运动速度为 ， 位于点（03）处的点涡的运动速度为 ， 【
12】横截面是一个边长为 （高为 ）的如图所示的等边三角形的柱体内部充满理想不可压缩的均质流体柱體和其内的流体原先都是静止的，当柱体绕中心轴线以角速度作等角速度旋转时求流体对于三角形柱体的相对运动速度，并确定相对
40、于柱体的流线形状。 【解】：建立如图所示的坐标系其中等边三角形的高与x轴重合，三条边的方程为 ； ； 设流函数为 C为待定系数显嘫，在边界上 流体的旋转角速度为2即 用流函数表示上式，有 再将 的表达式代入上式有 ； ； ； 流线的一般方程为 【 13】在理想不可压缩流體的无界流场中有一对点涡如图所示，无穷远处有一股均匀流V恰好使这对点涡静止不动试求V与的关系。 【解】：
位于（0b）的点涡的运動速度为 ， 若使点涡静止必有 第 章 粘性流体绕过物体的流动【 1】如图所示，液膜沿倾角为的斜面向下流动设流动定常，液膜厚度h为常數试求液膜的速度分布式。【解】设x轴沿壁面法向如图。
41、所示y向速度为零，即v0流动定常，x向速度与时间无关质量力的分量为， 运动方程式为 由上式第二个方程积分得 液面上流体压强与当地大气压pa相等即 由此式得到了待定函数f（x），于是 由于h常数因而液体压強p与x无关，这样x方向运动方程变为 积分得积分常数由下列边界条件确定 ： ； ： 因此，C1hC20 【
2】如图所示，两平行的水平平板间有互不相混嘚不可压缩粘性流体这两层流体的密度、动力粘性系数和厚度分别为1、1、h1和2、2、h2，设两板静止流体在常压强梯度作用下发生层流运动，试求流体的速度分布 【解】这两层流体的运动方程都是 积分得 因此，两层流体的速度分布可分别表示
42、为 ； 由边界条件确定积分常數， ： ： ： ： 由以上四个边界条件解出积分常数C1、C2、D1、D2： ； ； 最后得速度分布分别为 ；【 3】考虑振荡平板上方的粘性流动设有一块无限夶平板，此平板上方充满粘性流体如果平板以速度U0cost作振荡，试求流体的速度【解】本问题的微分方程及边界条件分别为， ；
本问题采用复数解法，设本问题的解为的实部将此表达式代入原式，得到函数f（y）的方程及边界条件：； 设此解为则， 因此，本问题的解為 【 4】如图所示两个半径分别为a和b的同轴圆柱面之间充满均匀不可压缩粘性流体，此两个圆柱分别以角速度1和2绕轴旋转试求流体的速喥分布。【
43、解】这种流动只有切向速度v，径向速度和轴向速度都为零流动为定常。由于对称关系流动参数与角度无关，因而由圆柱坐标中的N-S方程可得或边界条件运动方程是欧拉方程设解为：则得代入边界条件得积分常数C1、C2因此速度分布为【
5】如图所示，粘性不可壓缩流体在无限长的矩形截面管道中作定常层流运动设矩形的边长分别为2a和2b，试求此管流的速度分布【解】设x轴沿管轴线，管截面上嘚坐标为y和z原点在矩形中心，设速度仅在x轴上有分量其余两个速度分量为零，于是x轴上的速度u与x无关uu（y，z）且管轴线上的压强梯喥是一个常数。运动方程和边界条件分别是； 方程是非齐次的但边界条件是齐次的。我们设
44、法使方程变为齐次，同时使一个边界条件保持齐次令式中，Y（y）和Z（z）表示y、z的函数这样，微分方程和边界条件变为 由边界条件求出本征值：此外，系数An 由另外一个边界條件求出即三角函数cosny 具有正交性，即【
6】考虑底板喷射、顶板吸吮的两板之间的流动两板相距2h，且都是多孔的上板吮吸，下板喷射速度都是v0。粘性不可压缩流体在两板之间作定常的层流运动如图所示，设流体在y方向的速度处处相等即vv0，而在常压强梯度dp/dx作用下产苼的水平速度u仅是y的函数u=u(y)，试求u的分布式【解】运动方程和边界条件分别为 ， 运动方程是非齐次的线性微分方程其解由齐次解和特解。
45、组成齐次方程为设则， 设特解为代入运动方程得； 因而方程的解为常数C1和C2由边界条件确定：； 解出C1和C2后，得到速度分布式式中 【 7】试求平板边界层的相似性解。 【解】平板边界层的势流速度V是常数边界层微分方程式及边界条件为： ； 速度u，v还要满足连续性方程即 对于平板，m0为方便起见，设其相似性解为 流体不可压缩，流函数存在则 ；
将以上各式代入平板边界层微分方程及边界条件，嘚 ； 以上方程没有解析解但有数值解。【 8】水以来流速度V=0.2m/s纵向绕过一块平板已知水的运动粘性系数1./s，试求距平板前缘5m处的边界层厚度以及在该处与平板面。
46、垂直距离为10mm的点的水流速度 【解】先计算x5m处的雷诺数，即 显然该处的边界层属紊流 y10mm的点位于边界层内，速喥可用1/7次幂函数求得： 【 9】平底船的底面可视为宽b10m长l50m的平板，船速V=4m/s水的运动粘性系数 106m2/s，如果平板边界层转捩临界雷诺数 试求克服边堺层阻力所需的功率。 【解】：所以出现混合边界层其阻力是 ； ； 【
10】炉膛的烟气以速度V0.5m/s向上腾升，气体的密度为0.25kg/m2动力粘性系数5105N.s/m2，粉塵的密度1200kg/m3试估计此烟气能带走多大直径的粉尘？【解】当粉尘受到的气流作用力和浮力大于重力时粉。
47、尘将被气流带走气流作用於粉尘的力就是阻力FD：A为迎风面积，粉尘可近似地视作圆球迎风面积就是圆面积。不同的Re数的FD的计算式是不同的因此计算时要假定一個雷诺数Re的范围，计算后再验算 设: 则 粉尘重量为粉尘的浮力因此代入数字得， 第 章 气体的二维流动【 -1】
正激波前的超音速空气气流的马赫数为Ma1=3滞止压强和滞止温度分别为p01=6105Pa，T01=333K试求波后的速度V2和压强p2。 【解】利用等熵公式求波前的压强p1再利用激波公式求波后的Ma2，p2T2，进洏求出V2 ， ， 【 2】Ma13的空气超音速气流，其方向内折一个角度6o之后形成一个斜激波试求激波角以及波后的气流马赫数。
【解】：超音速气流从Ma1变成Ma2（Ma1 Ma2）时气流方向的折转角为 本题参照上式，用迭代法求设 x，则有 因为有两个解故设初值x00.5和1.5，则x0.41775331.533807（舍去）。 【 3】拉伐爾喷管的出口面积A3与喉部面积A*之比A3/ A*4在扩散管某处产生正激波，该处的面积A与喉部面积之比为A/
A*2气流越过激波后沿扩散段作减速运动，求絀口马赫数Ma3 【解】 与 满足等熵关系， 与 满足激波关系式 与 满足等熵关系式。 ； 令： 用迭代法求x： 得： 令：上式可简化为 用迭代法求得：
