2016年高中数学 第二章 统计 2.1.2系统抽样学案 新人教A版必修3_文档库
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2016年高中数学 第二章 统计 2.1.2系统抽样学案 新人教A版必修3
2．为了对生产线上的产品质量进行检验，质检人员每隔5分钟抽一件产品进行检验，这种抽样方法是________．
解析：可看作是等距离的系统抽样．
答案：系统抽样
3．从1 003名学生的成绩中，按系统抽样抽取50名学生的成绩时，需先剔除3个个体，这样每个个体被抽取的可能性就不相等了，你认为正确吗？
解：不正确．因为总体个体数不能被50整除，需剔除3个个体，按照简单随机抽样的方
3法，在总体中的每个个体被剔除的概率是相等的，都是1 003
1 000；在剩余的1 000个个体中，采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是1 003
501 0005050，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍相等，都是＝. 所1 01 003以系统抽样是公平的、均等的．
1．在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样的步骤为：
(1)采用随机的方法将总体中个体编号；
(2)将整体编号进行分段，确定分段间隔k (k ∈N ) ；
(3)在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号L ；
(4)按照事先预定的规则抽取样本．
2．在确定分段间隔k 时应注意：分段间隔k 除的方法剔除部分个体，以获得整数间隔k
系统抽样的概念
某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额．采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，,,抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是(
A ．抽签法
B ．随机数法
C ．系统抽样法
D ．其他的抽样方法
[解析] 上述抽样方法是将发票平均分成若干组，每组50张．从第一组抽取15号，以
*后各组抽取15＋50n (n ∈N ) 号，符合系统抽样的特点．
[互动探究] 本例中的分段间隔为多少？
解：因为15号， 65号，115号，165号，,,每两个之间的间隔为50，所以分段间隔为 - 2 - N n
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某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人
某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级2007名学生中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（　　）
A．不全相等
B．均不相等
D．无法确定
考点：；．
分析：在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，每个个体被抽到包括两个过程，这两个过程是相互独立的．
解答：解：∵在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，∴每个个体被抽到包括两个过程，一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的，∴每人入选的概率p==，故选C．
点评：在系统抽样过程中，为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）．
从2008名学生中选取100名组成合唱团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人被剔除的概率为（&&& ）。1/251
只要抽样方法是公平的，跟那种抽样无关 答案是
1、基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。&2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。&3、如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；&（2）每个基本事件的发生都是等可能的；&那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．&4、古典概型的概率：&如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。5、古典概型解题步骤：&（1）阅读题目，搜集信息；&（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；&（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；&（4）用公式求出概率并下结论。一、选择题
1．为了了解某市高三毕业生升学考试中数学成绩的情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中下列说法正确的是(　　)
A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生
B．个体指的是1000名学生中的每一名学生
C．样本容量指的是1000名学生
D．样本是指1000名学生的数学升学考试成绩
[解析]　因为是了解学生的数学成绩的情况，因此样本是指1000名学生的数学成绩，而不是学生，故选D.
2．下列抽样中，不是系统抽样的是(　　)
A．从标有1～15号的15个球中，任选3个作样本，按从小号到大号排序，随机选点i0，以后i0＋5，i0＋10(超过15则从1再数起)号入样
B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间前，质检人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品进行检验
C．搞某一项市场调查，规定在商场门口随机抽取一个人进行询问调查，直到抽到事先规定的调查人数为止
D．电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)的座号为14的观众留下来座谈
[解析]　C选项不符合系统抽样的定义，故选C.
3．(文)老师为研究男女同学数学学习的差异情况，对某班50名同学(其中男同学30名，女同学20名)采取分层抽样的方法，抽取一个样本容量为10的样本进行研究，某女同学甲被抽到的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
[解析]　在分层抽样中，任何个体被抽取的概率均相等，所以某女同学甲被抽到的概率P＝＝.
(理)从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率(　　)
A．不全相等
B．均不相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
[解析]　三种抽样方法的共同点是总体中每个个体被抽到的概率相等．
4．(文)为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，那么总体中应随机剔除的个体数目是(　　)
[解析]　因为＋2，所以应随机剔除2个个体，故选A.
(理)某班由24名女生和36名男生组成，现要组织20名学生外出参观，若这20名成员按性别分层抽样产生，则参观团的组成方法共有(　　)
[解析]　由分层抽样的定义可知，要在男生中选出的人数为20×＝12(人)．女生选出的人数为20×＝8(人)．所以组成方法有CC种．
5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这600名学生分住在三个营区．从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区．三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．26,16,8
B．25,17,8
C．25,16,9
D．24,17,9
[解析]　根据系统抽样的特点可知抽取的号码间隔为＝12，在第营区恰好有25组，故抽取25人，在第营区共有195人，共有16组多3人，因为抽取的第一个数是3，所以营区共抽取17人，剩余50－25－17＝8人需从营区抽取．
6．某班有50人，其中男生30名，女生20名，现调查平均身高，已知男、女生身高明显不同，抽取一个容量为10的样本，则抽出的男、女生人数之差为(　　)
[解析]　分层抽样，按3020＝32分层抽样，男人抽6人，女人抽4人．
二、填空题
7．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为________．
[解析]　本题考查抽样方法中的分层抽样．
由于总共24个城市，抽取6个，则丙组中抽取×8＝2个．
8．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用系统抽样方法从中抽取容量为20的样本，则三级品a被抽到的可能性为________．
[解析]　每一个个体被抽到的概率都是样本容量除以总体，即＝.
三、解答题
9．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本．如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n.
[解析]　总体容量为6＋12＋18＝36(人)．
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为，分层抽样的比例是，抽取工程师人数为×6＝人，技术员人数为×12＝人，技工人数为×18＝人，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为，因为必须是整数，所以n只能取6.即样本容量为n＝6.
一、选择题
1．(1)某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本；(2)从10名同学中抽取3名参加座谈会．
.简单随机抽样方法；.分层抽样方法．
问题和方法配对正确的是(　　)
A．(1)(2)Ⅱ　　　　　
B．(1)(2)Ⅰ
C．(1)(2)Ⅰ
D．(1)(2)Ⅱ
[解析]　(1)中各类家庭差异明显，故应用分层抽样．
(2)中总体容量较小，可采用抽签法，故应用简单随机抽样．
2．(文)某单位共有老、中、青年职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为(　　)
[解析]　本小题主要考查分层抽样等基础知识．
由题意知青、中、老年职工的人数分别为160、180、90，
三者比为16?18?9，
样本中青年职工32人，
老年职工人数为18，故选B.
(理)某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别 A B C
产品数量(件)
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染得看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息，可得C产品的数量是(　　)
[解析]　设样品的容量为x，则×，所以x＝300，
所以A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件)．
设C产品的样本容量为y，则y＋(y＋10)＝170，
所以y＝80，
所以C产品的数量为×80＝800(件)．
二、填空题
3．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家．
[答案]　20
[解析]　本题考查统计中的抽样方法．属简单题，关键是清楚每一层的抽取比例都一样是.
由于所有超市共计200＋400＋家，需抽取100家，则抽取比例为，所以中型超市抽取400×＝20家．
4．(文)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品．其相应产品数量之比为23:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型产品有16件，那么此样本的容量n＝________.
[答案]　80
[解析]　设分别抽取B、C型号产品m1，m2件，则由分层抽样的特点可知＝＝，m1＝24，m2＝40，
n＝16＋m1＋m2＝80.
(理)某工厂有甲、乙、丙、丁四类产品的数量成等比数列，共计3000件，现要用分层抽样的方法从中抽取150件进行质量检测，其中乙、丁两类产品抽取的总数为100件，则甲类产品共有________．
[答案]　200
[解析]　设抽取的150件中甲有a件，则有a＋aq＋aq2＋aq3＝150，aq＋aq·q2＝100，，a(1＋q2)＝50，，得q＝2，a＝10，
甲类产品共有3000×＝200(件)．
三、解答题
5．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施抽取．
[分析]　(1)机构改革关系到各种人不同的利益；(2)不同层次的人员情况有明显差异，故采用分层抽样．
[解析]　用分层抽样方法抽取．
具体实施抽取如下：
(1)20:100＝15，
＝2，＝14，＝4，
从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
(2)因副处级以上干部与工人的人数较少，他们分别按1～10编号，1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人，4人；对一般干部70人采用00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．
(3)将2人，4人，14人的编号对应的人汇合在一起就取得了容量为20的样本．
6．某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2012年应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
[解析]　(1)将18名志愿者编号，编号为1,2,3，…，18.
(2)将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签．
(3)将18个号签放入一个不透明的盒子，充分搅匀．
(4)从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号．
(5)所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员．
随机数表法
(1)将18名志愿者编号，编号为01,02,03，…，18.
(2)在随机数表中任选一数作为开始，按某一确定的方向读数，例如选出第8行第1列的数7.
(3)从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01～18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得18,06,15,03,09,01.
(4)找出以上号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．
7．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级 初二年级 初三年级
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
(1)求x的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
(3)已知y≥245，z≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
[分析]　本题考查概率统计及简单随机抽样的基本知识．
[解析]　(1)＝0.19，x＝380.
(2)初三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，
现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：×500＝12名．
(3)设初三年级女生比男生多的事件为A，初三年级女生、男生数记为(y，z)
由(2)知y＋z＝500，且y、zN，
基本事件空间包含的基本事件有：(245,255)、(246,254)、(247,253)，…，(255,245)共11个，
事件A包含的基本事件有：(251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245)共5个，
某学校从高三全体500名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查，现将500名学生从1到500进行编号，求得间隔数，即每10人抽取一个人，在1~10中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从125~140的数中应取的数是
A．126B．136C．126或136D．126和136
当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层。&利用分层抽样抽取样本，每一层按照它在总体中所占的比例进行抽取。&注：（1）分层抽样适用于差异明显的几部分组成的情况；&（2）在每一层进行抽样时，在采用简单随机抽样或系统抽样；&（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样具有良好的代表性；&（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛。
2．从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率为（　　）
A．不全相等
B．均不相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为
本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等．
解答：解：由题意知本题是一个系统抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率是样本容量除以总体个数，从2004名学生中选取50名组成参观团，因为不能整除，要剔除一部分个体，在剔除过程中每个个体被抽到的概率相等∴得到每个个体被抽到的概率是故选C．
点评：本题考查系统抽样和简单随机抽样，不管用什么方法抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，本题是一个基础题．
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* * 复习引入
统计的基本思想方法是用样本估计总体，即通常不是直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体，上节课我们学习了一种常用的抽样方法：简单随机抽样。
* * 知识回顾 1、简单随机抽样包括________和____________. 抽签法 随机数表法 2、在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性是（
）。 A.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最大 B.与第几次抽样有关,第一次抽的可能性最小 C.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性相等 D.与第几次抽样无关,与抽取几个样本无关 C * * 简单随机抽样的特点： （1）要求被抽取的样本的总体个数不多，样本个数也较少； （2）它是从总体中逐个不放回地抽取n个个体作为样本； （3）它是一种不放回抽样； （4）它是一种等概率抽样。 那么当总体个数较多时，适宜采用什么抽取方法？ * * 2.1.2
系统抽样 * * 【探究】某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见，打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查，除了用简单随机抽样获取样本外，您能否设计其他抽取样本的方法？
我们按照下面的步骤进行抽样: 第一步:将这500名学生用随机的方式进行编号; 第二步:对编号按顺序进行分段.由于k=500/50=10,这个间隔定为10;每10个一段，分成50段。 第三步:从号码为1-10的第一段中用简单随机抽样的方法确定第一个个体编号,假如为6号; 第四步:从第6号开始,每隔10个号码抽取一个,得到6,16,26,36,…,496.这样就得到一个样本容量为50的样本. * *
当总体元素个数很大时，样本容量就不宜太少，采用简单随机抽样太麻烦。这时，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分中抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样． 【说明】系统抽样有以下特征： （1）当总体容量N较大时，采用系统抽样． （2）将总体平均分成几部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样. （3）一定的规则通常指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号． * * 系统抽样的步骤 ①采用随机的方式将总体中的N个个体编号． ③在第1段中用简单随机抽样确定起始的个体编号s； ④按照一定的规则抽取样本（通常是将s加上间隔k，得到第2个编号s+k,第3个编号s+2k，…,第n个编号s+(n-1)k,这样就得到容量为n的样本）. ②确定分段间隔k，对编号进行分段k＝[
]([x]表示不超过x的最大整数). 系统抽样实际上是将总体均分后的每一部分进行抽样时,采用的是简单随机抽样. * * 练习1：我校有800名学生参加英语单词竞赛， 为了解考试成绩，现打算从中抽取一个 容量为40的样本，如何抽取？ 804 当总体中的个体数正好能被样本容量整除，可以用它们的比值作为进行系统抽样的间隔．如果不能整除，那应该怎么办，使在整个抽样过程中，每个个体被抽取的概率相等？ 可用简单随机抽样，先从总体中剔除余数部分的个体，使剩下的个体数能被样本容量整除，然后再按照系统抽样方法往下进行． * * 设某校共有118名教师，为了支援西部的教育事业，现要从中随机地抽出16名教师组成暑期西部讲师团．请您用系统抽样法选出讲师团成员．
解：(1) 对这118名教师进行随机编号
(2) 计算间隔k=118/16=7.375，不是整数．从总体中随机剔除3，46，59，57，112，93六名教师，然后再对剩余的112教师进行编号，分段。
(3) 在1~7之间随机取一个数字，如选5，将5加上间隔7得到第二个个体编号12，再加7得到第三个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本． 课本59页练习2 * * 1、适用于总体容量较大的情况 2、剔除多于个体及第一段抽样都用简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联系 3、是等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都是n/N。 系统抽样的特点： * * 系统抽样与简单随机抽样的关系 当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅拌，可采用抽签法（也可用随机数法）； 当总体容量较大，样本容量较小时 可采用随机数法；
当总体容量较大，样本容量也较大时 采用系统抽样法。
* * 4．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是(　　) A．5,10,15,20,25
B．3,13,23,33,43 C．1,2,3,4,5
D．2,4,8,16,32 答案：B * * * * 6
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第1部分 第一章 § 2
分层抽样与系统抽样
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