第四五小题_百度知道
第四五小题
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出门在外也不愁&>&&>&第四、五、六章习题参考答案
第四、五、六章习题参考答案_28900字
机械振动4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点4.2基本概念1．简谐振动
离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。简谐振动的运动方程 x?Acos(?t??2．振幅A
作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T
作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。4．频率?
单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即T?1?5．圆频率?
作简谐振动的物体在2?秒内完成振动的次数，它与频率的关系为??2??2?? T6．相位和初相位
简谐振动的运动方程中?t??项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位?7．简谐振动的能量
作简谐振动的系统具有动能和势能。1212kx?kAcos2(?t??)
221112动能Ek?mv2?m???Asin(?t??)??m?2A2sin2(?t??222弹性势能Ep?弹簧振子系统的机械能为E?Ek?Ep?11m?2A2?kA2
228．阻尼振动
振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。9．受迫振动
系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振
驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。4.3基本规律1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（??0）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。EE?12kA2EkOEtxOt图4.1
弹簧振子的动能和势能随时间的变化2．简谐振动的合成若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即x1?A1cos(?t??1) x2?A2cos(?t??2合振动仍是一个角频率为?的简谐振动。 合位移x?x1?x2?Acos(?t??合振动的振幅A?合振动的初相tan??A1sin?1?A2sin?2A1cos?1?A2cos?2振动加强：????2??1??2kπ， (k?0 ， 1 ， 2,)
A?A1?A2 振动减弱：????2??1??(2k?1)π， (k? 1, 2, 3)
A?A1?A2 当?2??1取其他值时
A1?A2?A?A1?A2若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。 若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。4.4学习指导1．重点解析简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型： （1）已知简谐振动表达式求有关物理量（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式x?Acos(?t??)加以比较，结合有关公式求得各物理量。对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A、?、?,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。其中角频率?由系统的性质决定,?2?. 振幅A可由初始条件求出，A?；或从振动曲线上直接看出。初相?有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到tan???v0,这里?有两个?x0值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。例
如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。 分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A、?、?。利用振动曲线可以看出A?4?10?2m，t=0时刻，质点位移x0??用这些信息可以确定?、?。 解：方法1
解析法 t=0时，x0??A，于是有2A A，t=0.5s时，x=0。利2x0?Acos??图4-23解得：????4由t=0时刻对应的曲线斜率dx?0可知，所以质点速度v0?0，即： dtv0??A?sin??03所以????4为求?，先写出质点振动方程3x?4?10?2cos(?t??)m4将t=0.5s，x=0代入上式得co?3??)?0，同样结合该点的速度方24图4-3向可以得到???2，所以质点的振动方程是?3x?4?10?2cos(t??)m24方法2：旋转矢量法由振动曲线可知，t=0时刻，质点位移x0??3转矢量如图4-3所示，由图可知????。4A，质点速度v0?0，对应的旋2t=0.5s时，x=0，v?0。此运动状态对应矢量OP，即旋转矢量由t=0时的OM经0.5s转至OP，共转了质点的振动方程是??，??rad?s?1?rad?s?1 40.52??3x?4?10?2cos(t??)m242．难点释疑 疑难点1 旋转矢量自Ox轴的原点O作一矢量A，使它的模等于振动的振幅A，并使矢量A在Oxy平面内绕点O作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率?相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量A的矢端在Ox轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox轴上的简谐振动。旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。图4-4表4-1
旋转矢量A与简谐振动的物理量之间的对应关系旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为所需的时间是T吗？走过该距离的一半4TT吗？振子从平衡位置出发经历时运动的位移是多少？ 88解析
从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是时间?t??，所需的2?T? 2?4振子的速度v???Asin(?t??)不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距TA。振子从平衡位置运动到处（OM 位置）时，振幅82??T? 矢量转过了的角度，即?t?6?126ATTA即振子从平衡位置运动到所用的时间是，而不是。振子从运动到平衡12282?T?。 位置所用的时间是?t?3?6T振子从平衡位置出发经历时运动的位移是8离的一半所需的时间不是x?Acos(?T???)?Acos(?)?A 8242图4-5疑难点2
当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化？解析
弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时，振动周期不变，因为对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即T?2?A，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA，所以振幅加倍时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为E?时振动能量变为原来4倍12kA，所以振幅加倍24.5习题解答4.1 两根轻弹簧和一质量为m的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k1和k2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为?等于[
] (A) k1?k2)/m/?2??1 习题4.1图2?? (C) m/(k1?k2)2??2?) 解析：正确答案（B）两弹簧k1和k2串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设k1和k2的形变量分别为Δx1和Δx2，k的形变量为 Δx，则有Δx＝Δx1+Δx2，亦即111?? kk1k2k?k1k2k1?k2据此可确定系统的固有频率为???2??4.2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度?，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为［
解析：正确答案（C）由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是0。选（C）4.3 用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A，周期为T，初相???动曲线为［］?3，则振习题4.3图解析：正确答案（A）?A由已知条件可知：初始时刻振动的位移是y?Acos(?)?，速度是32v???Asin(?t??)?A，方向是向y轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜2率是正值。4.4 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： [
]22（A）x?2cos(?t??)cm3322（B）x?2cos(?t??)cm3342（C）x?2cos(?t??)cm3342（D）x?2cos(?t??)cm33习题4.4图t?0??2?3解析：正确答案（D）由振动图像可知，初始时刻质点的位移是?A，且向24????3x/cm2y轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是?，振3A2动曲线上给出了质点从?到A的时间是1s，其对应的相位从?变化到2?，232?2??rad?s?1?4?rad?s?1。 所以它的角速度??1342简谐振动的振动方程为x?2cos(?t??334.5 质点作简谐振动，已知振动周期为T，则其振动动能变化的周期是[
2T 解析：正确答案（B）质点作简谐振动的动能表达式是Ek?简谐振动周期的1。 21m?2A2sin2(?t??)，可见其变化的周期是24.6 设某人一条腿的质量为m，长为l，当他以一定频率行走时最舒适，试用一种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为[
] （ABCD解析：正确答案（D）可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。此人的一条腿可看成是一个质量为m，长为l的细长杆，它绕端1l点的转动惯量J?ml2,根据复摆的周期公式T?2?h?。故频率32??4.7 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为［
］3（A）?2（B）?1（C）?2（D）0解析：正确答案（B）习题4.7图由振动曲线可知，这是两个同振动方向，同频率简谐振动，它们的相位差是?，Acos(?t)和x2?Acos(?t??)，它们的振幅不同，对于这样2A两个简谐振动，可用旋转矢量法，很方便求得合运动方程是x2?cos(?t??)。2运动方程分别是x1?4.8
质点作谐振动，周期为T，当它由平衡位置向x轴负方向运动时，从－所需要的时间为[
] （A）TTTT
（D）12468A处到-A处这段路程2解析：正确答案（B）A处221对应的相位是?，位移是-A处对应的相位是?，所以这段路程的相位差是?，33已知条件结合对应的旋转矢量图，它由平衡位置向x轴负方向运动时在－对应的时间是?3?TT? 2?64.9 弹簧振子作简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J，当振子处于最大位移的一半时其动能为[
（D）100J 解析：正确答案（C）物体做简谐振动时，振子势能的表达式是Ep?12kx，其动能和势能都随时间做2周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，12kA，动能为零，但其总机械能却保持不变。当振子处于21A1最大位移的一半时其势能为Ep'?k()2?kA2，所以此时的动能是22811133Ek?kA2?kA2?kA2?J?100?J?75J。28244势能达到最大值Ep?4.10一质点作简谐振动，速度最大值vm?0.05m?s?1，振幅A=2cm。若令速度具有正最大值的那一时刻为t=0,则振动表达式为
。 解析：y?0.02cos(2.5t)m速度的最大值vm?A??0.05m?s?1，A=0.02m，所以??vm0.05??2.5rad?s?1。 A0.02振动的一般表达式x?Acos(?t??)，现在只有初相位没确定，速度具有正最大值的时位于原点处，由旋转矢量法可知：??0，振动表达式为y?0.02cos(2.5t)m 4.11已知一个谐振子的振动曲线如图所示，求：（1）a、b、c、d、e各状态的相位分别为
。c'习题4.11图解析：0、??2?4?、、、3332??2?4?、、、3332结合旋转矢量图，振动曲线上的a、b、c、d、e对应旋转矢量图上的a’、b’、c’、d’、e’,所以其相位分别是0、4.12 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm，则该简谐振动的初相为
，振动方程为
。 解析：??，x?0.02cos(?t?44?是指t=0振动方程的一般表达式是x?Acos(?t??)，时对应的相位，也是初相位。由图可知t=0时的角度???t，所以该简谐振动的初相为。角速度是??。t44?代入振动方程可得x?0.02cos(?t?)。4是习题4.12图4.13 一单摆的悬线长l=1.5m,在顶端固定点的竖直下方0.45m处有一小钉，如图所示。设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比的近似值为
。 解析：0.84左右摆动能量应相同，应有11m?12A12?m?22A22，所22以A1?2???0.84 A2?14.14 质点按如下规律沿ox轴作简谐振动：x?0.1cos(8?t?2?m，求此振动的周期、振幅、3习题4.13图初相、速度最大值和加速度最大值。解析：本题属于由运动方程求解简谐振动各特征量的问题，可采用比较法求解。即将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x?Acos(?t??)作比较，即可求得各特征量，而速度和加速度的计算与质点运动学中由运动方程求解速度和加速度的计算方法相同。将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式x?Acos(?t??)作比较后可得：周期是0.25s, 振幅是0.1m, 初相位是加速度最大值am?A?2?63.17m??22?，速度最大值vm?A??2.51m?s?1，34.15 质点的振动曲线如图所示。试求： （1）振动表达式 （2）点P对应的相位（3）到达点P对应位置所需时间。解析：（1）根据振动曲线对应的旋转振幅矢量可知，初相?0??为????3习题4.15图，从t=0到t=1s时间内相位差?5???5??(?)??，所以角频率为?? 236?t65?可得振动表达式为y?0.06cos(?t?)m63(2)P点相对应的相位为0。?0?(?)??'?0.4s (3)到达P点所需时间为?t'???64.16
沿x轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m，速度的最大值vm?0.06m?s?1。若取速度为正的最大值时t=0。试求： （1）振动频率； （2）加速度的最大值； （3）振动的表达式。解析：速度的最大值vm?A??0.06m?s?1，A=0.04m???vm0.06??1.5rad?s?1， A0.04?3???Hz。2?4?（2）加速度的最大值am?A?2?0.09m?s?2。 （3）速度为正的最大值时t=0，由旋转矢量法可知：23?y?0.04cos(t?)m22????4.17 物体沿x轴作简谐振动,振幅为6.0cm，周期为2.0s，在 t=0时物体位于 3.0cm处且向负x方向运动．求：（1）初相位；（2）t＝1.0时，物体的位置、速度和加速度分析:初相位的确定可采用两种方法：旋转矢量法和解析法。解析； （1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为x?Acos(?t??),现在用旋转矢量法求解初相位。根据初始条件，初始时刻旋转矢量 A 的矢端应在图中的M位置，所以???3.2???adrs?T?12)依题意，A=0.06m，T=2.0s，则??.?质点的运动方程可写为x?0.06cos(?t?),3t=1.0s代入上式，可得：x?0.06cos(??)m??0.03m??3.0cm3dx?v???0.06?sin(?t?dt3?d2xa?2???2Acos(?t??)???2xdt把已知量代入上式可得：v?9.42?10?2m?s?1、a?0.296m?s?24.18 在一平板上放一质量为m=2kg的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T=0.5s，振幅A=4cm，求：（1）物体对平板的压力的表达式；（2）平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？解析：（1）设平衡位置为坐标原点，向上为正方向，t=0时刻，振动的相位为零，2??4?rad?s?1 T??则平板的运动方程是y?0.04cos(4?t)m物体的运动和平板相同。分析物体受力可知：N?mg?mad2xa?2???2Acos(?t??dt所以N??mg?m?2Acos(4?t根据牛顿第三定律可知物体对平板的压力与平板对物体的支持力是一对作用力与反作用力。所以物体对平板的压力N'??mg?m?2Acos(4?t) （2）当平板振动的最大加速度大于g时，物体能离开平板g??2AA?0.062m4.19一弹簧振子由弹性系数为k的轻弹簧和质量为M的物块组成，将弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m、速度为v0的子弹由下而上射入物块，且留在物块中。求子弹留在物块中系统的振幅与周期，并求出系统的总振动能量。解析：子弹击中物块后系统的角频率为??，所以周期习题4.19图为T?2???2。设子弹击中物块后系统获得速率为v，mv0. M?m由动量守恒定律可得v?子弹进入物块后，振子的平衡位置改变了，以新的平衡位置为坐标原点Ｏ，竖直向下为x轴正方向。以子弹进入物块的瞬间为计时零点，则t=0时刻，振子的初位移为x0??(x2?x1)，其中x1为子弹未进入物块时弹簧的伸长量，Mg?kx1;x2为子弹进入物块后弹簧的伸长量，(M?m)g?kx2，因此x0??M?mMm?)g??g kkk方法一：根据已知条件可得振子的振幅为：A???系统的总振动能量kv02vg2E?kA?(1?)?m(?22k(m?M)g22km?M方法2：子弹射入物块后，系统的机械能守恒，所以系统的总振动能量即为初始v时刻的振动能量，E?kx0?(m?M)v?m(?222km?M4.20
一物体质量为0.25 kg，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N?m－1，如果起始振动时具有势能0.06J和动能0.02J，求1) 振幅；2) 动能恰等于势能时的位移；
(3) 经过平衡位置时物体的速度。解析：物体做简谐振动时，振子势能的表达式是Ep?Ek?12kx，动能表达式是212mv。其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能21为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值Ep?kA2，动能为零，21但其总机械能却保持不变为E?kA2。21（1） 由于振动过程总机械能却保持不变，0.06?0.02??25?A2，A=0.08m。2（2） 动能恰等于势能时，也就是此时势能是总机械能的一半，Ep'?12112kx??kA，x?A??0.057m 222（3）通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，此时0.06?0.02?1?mv2， v?0.8m?s?1. 24.21一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg，系统振动频率为1000Hz，振幅为0.5cm，则其振动能量是多少？ 解析：简谐振动系统的能量E?1m?2A2，把已知量代入上式可得： 211E?m?2A2?m(2??)2A2?986.96J22??4.22一质点作简谐振动，其振动方程为x?6.0?10?2cos(t?)(SI)。求：34（1）当x值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解析：x?6.0?10?2m??4.24?10?2mt?T6?s?0.75s 884.23 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为x1?5?10?2cos(4t?)(SI3?x2?3?10?2sin(4t?)(SI6?画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。???2?解析：x2?3?10?2sin(4t?)?3?10?2cos(4t??)?3?10?2cos(4t?6623作两振动的旋转矢量图，如图所示。 由图得合振动的振幅和初相分别为 A＝(5-3)cm=2cm，???3?合振动方程为x?2?10?2cos(4t?)(m34.24
质量为m的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动方程分别为x?4.0?10?2co2??t?)(SI) 332??y?3.0?10?2cos(t?)(SI36试求：（1）质点的运动轨迹方程；（2）质点在任一位置时所受的作用力。解析：（1）由题意：x?4.0?10?2co2??t?)， 332??2???2??y?3.0?10?2cos(t?)?3.0?10?2cos(t??)?3.0?10?2sin(t?3633233以上两式化简后得：x2y2??1 0.（2）t时刻质点的位矢为r?xi?yj?4.0?10?2co2??2??t?)i?3.0?10?2cos(t?)j，所以加速度为 3336d2r2?a?2??()2rdt3因此质点在任一位置所受的作用力F??m2?2r 方向始终指向原点 34.25 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接缝处即受到一次振动，从而使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5ｍ，弹簧平均负重5.4×10４N，而弹簧每受9.8×103N的力将压缩1.6mm。试问火车速度多大时，振动特别强?9.8?103N?m?1?6.125?106N?m?1解析：由题意可得弹簧劲度系数k??31.6?10系统的振动角频率????s?1?33.34rad?s?1 火车的固有周期T?2???2?3.14?0.18s
33.34因此，当火车在接轨处受到振动周期等于固有周期时，振动将最强，于是v?L12.5?m?s?1?69.4m?s?1时，振动将特别强烈。 T0.184.26 阻尼振动起始振幅为3.0cm，经过10s后振幅变为1.0cm，经过多长时间振幅将变为 0.30cm?解析：阻尼振动的振幅表达式是：A?A0e??t，代入数据可得：1.0?3.0e?10? 0.3?3.0e??t'解得： t’=20.96s 4 开放性习题6.27 请以“共振”为关键词，通过互联网了解物理学、社会学、管理学等领域里共振效应。(略第5章
机械波5.1基本要求1．理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系.2．理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．3．了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件. 4．理解驻波及其形成。5．了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.5.2基本概念 1．机械波机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。2.波线与波面
沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。 3．波长?
在波传播方向上，相位差为2?的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。4．周期T与频率?
一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。5．波速u
单位时间里振动状态（或波形）在介质中传播的距离。它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。6．平面简谐波的波动方程 在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波函数为y?Acos(?t2??x???或y?Acos??(t?x?)??? u?其中，“-”表示波沿x轴正方向传播；“+”表示波沿x轴负方向传播。 波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动，即给出x处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离开自己平衡位置的位移。7．波的能量
波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相112?x??) 等。任意体积元的dWP=dWk?dW??dVA2?2sin2(?t?22?8．平均能量密度、能流密度
一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用w表示。单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用I表示。 其中?1T?Twdt?wuTS11??2A2，I??wu??A2?2u 2TS29．波的衍射
波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射（绕射）。10．波的干涉
几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差????2??1?2πr2?r1?，????2kπ?k?0,1,2,...? 时，合振幅达到极大Amax?A1?A2，称为干涉相长?k?1,2,3...?振幅为极小，A?2πxcos?t。?????2k?1?πA1?A2，称为干涉相消。11．驻波
它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。 驻波方程：y?2Aco?12．半波损失
波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。13．多普勒效应
因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。5.3基本规律1．惠更斯原理
介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。如图5-1所示，t时刻的波面是半径为R1的球面 S1，按惠更斯原理，S1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以 S1面上各点为中心，以r?u?t为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S2就是（t+Δt）时刻的波面。2．多普勒效应
当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率?R和波源的频率?S不相同的现象称为多普勒效应。 当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为?R?u：机械波在介质中的传播速度u?vR?S。 uvS图5-1vS：波源相对于介质的速度 vR：观察者相对于介质的速度为观察者接近波源时，vR前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，vS前取“-”号，远离时，则取“+”号。5.4学习指导1重点解析下面将讨论本章的习题分类及解题方法：（1）已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等.通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。 （2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式基本步骤如下：（a）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。(b)在波线上建立坐标后，任取一点P，距原点为x，计算出p点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。设超前或落后的时间为t’，将原振动表达式中ｔ加上或减去t’，即得该波的表达式。也可计算出P点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为2?2??x，则将原振动表达式中的相位加上或减去?x。注意：超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原点。（3）已知波形曲线，建立波动表达式从波形曲线上确定有关的物理量。如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。例1
已知一平面波在t=0s时的波形曲线如图5-2所示，波沿x轴正向传播，已知波的周期T?3s.求（1）该波的波函数；（2）点P处质元的振动方程。分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量A、?、?。然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传播方向，写出波函数。将P点x坐标值代入波函数即可求P处质元的振动方程。解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅A?4?10?2m，T?3图5-2，则圆频率??2?2??rad?s?1 T3波沿x轴正向传播，显然v0?0，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋转矢量图如图5-3所示，则????3，于是原点处质元的振动方程为y?4?10?2co2??t?)m 332?2??t?x?)m 3?3为求波函数，要求出波长?或波速u。 先设波函数为y?4?10?2co由波形曲线可知t=0时刻，x=0.4m处，y??4?10?2m,代入波函数?4?10?2?4?10?2cos(?2??0.4?) ?32?5??t?x?)m 3332??t?)m 33?得??1.2m所以波函数为y?4?10?2co（2）P点 x=0.8m代入波函数即可求P处质元的振动方程是y?4?10?2co（4）波的干涉和驻波波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确定。驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点，而写出反射波是关键。例2
两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为4?x?8?t) 34?y1?4.00?10?2cos(x?8?t3y1?4.00?10?2co求(1)两波的频率、波长、波速 (2)两波节叠加后的节点位置 (3)叠加后振幅最大的那些点的位置 解：（1）与标准的波动方程y?Acos(?t2??x??)比较可得：频率??4Hz、波长??1.50m、波速u?????6.00m?s?1。4??x??(k??) 3231k?0,1,2,3) 则有：x??(k?424?x??k? （3）波腹位置：3（2）节点位置3则有：x??k4k?0,1,2,3（5）多普勒效应求解多普勒效应问题时，首先要分析波源和观察者的运动情况，以便应用不同公式进行处理。应特别注意公式中符号规则。对于有反射面的情况，反射面相当于一个“观察者”，分析反射波时相当于一个“波源”。2难点释疑疑难点1. 如何理解驻波，“半波损失”。两列振幅相同、振动方向相同、频率相同的相干波沿相反方向传播时，就叠加形成驻波。其表达式为：y?Acos(?t?2π?x)?Acos(?t?2π?x)?2Aco2π?xcos?t波节位置：x??(2k?1)波腹位置：x??k?2?4k?0,1,2,k?0,1,2,相邻两波节或波腹之间的距离为??，相邻波节间各点振动同相位，波节两侧范22围内媒质的振动相位差为π。驻波没有能量和相位的传播，这就是驻波中“驻”字的含义。但不断进行着动能和势能的相互转换，以及能量从波节到波腹和从波腹到波节的转移。半波损失是指波由波疏介质进入波密介质时，在反射点处，反射波与入射波叠加形成波节。相对于入射波，反射波相位突变π，相当于出现了半个波长的波程差。 疑难点2. 波动过程任一体积元的机械能不守恒。理想的谐振动系统是一个孤立系统，在振动过程中，质点受保守力作用，系统的动能、势能相互转换，总机械能保持不变。波动过程中，虽然质元也在做简谐振动，但质元振动的动能和势能却同时达到最大，同时减小变为零,和谐振动系统有着明显的不同。在学习过程中，很图5-4多学生感到很困惑，这是学习中的一个难点。问题的关键是要理解势能产生的原因：具有形变因而产生势能。从图5-4中可明确看到，质元在最大位移处几乎没有形变，在平衡位置处形变最大，故势能最大。5.5习题解答5.1 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻在传播方向上介质中某质元在负的最大位移处，则它的能量[
] (A) 动能为零，势能最大 (B) 动能为零，势能为零 (C) 动能最大，势能最大 (D) 动能最大，势能为零 解析：正确答案（B）介质中某质元的动能表达式dWk?能dWp?12??dVA2?2sin2(?t?x??)，质元的弹性势2?12??dVA2?2sin2(?t?x??)，所以在波动传播的介质中，任一体积元2?的动能、势能均随x,t作周期性变化，且变化是同相位的。体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能均最大。体积元的位移最大时，三者均为零。5.2 一平面简谐波的波动方程为y = 0.1cos(3?t－?x+?)
(SI)t = 0 时的波形曲线如图所示，则[
] (A) O点的振幅为－0.1m
(B) 波长为3mC) a、b两点间相位差为?/2
(D) 波速为9m/s
解析：正确答案（C） 波动方程的一般表达式是y?Acos(?t?2?习题5.2图?x??)，对比所给波动方程可知：各个质点的振幅都是0.1m，波长??2m，角频率??3?rad?s?1，所以波速u?a、b两点间距离差是???2π?2????3?m?s?1?3m?s?1。2?2??，对应的相位差是 4??r?2π?π?rad?rad。 ?425.3
某平面简谐波在t = 0.25s时波形如图所示,则该波的波函数为[
]x?A)y?0.5cos[4?(t?)?]cm82x?B)y?0.5cos[4?(t?)?]cm82x?C)y?0.5cos[4?(t?)?]cm82x?D)y?0.5cos[4?(t?)?]cm82y(cm) 习题5.3图解析：正确答案（A）x??波动方程的一般表达式是y?Acos??(t?)??)?，由图可知，u??A=0.5cm ,u?0.08m?s?1, 所以x 前系数取负值。t=0.25s时，y0?0，v0?0，此时的相位是?2已知条件代入方程可得：????2x?所以，波的波函数为y?0.5cos[4?(t?)?]cm825.4 一余弦波沿x轴负方向传播，已知x=-1m处振动方程为y?Acos(?t??)，若波速为ｕ，则波动方程为[
]??x????x?1??A)y?Acos???t?????
(B)y?Acos???t????? uu??????????x?1????x?1??(C)y?Acos???t?
(D) ??y?Acos?t?????????u?u???????解析：正确答案（C）x??沿x轴负方向传播的波动方程的一般表达式是y?Acos??(t?)??)?，本题中u??x=-1m处的相位是?t??，相位差与波程差之间的关系是???知任意x处的相位比x=-1m的相位多2π??r??u?r，可?ux?1)，所以任意x处的相位是?t????ux?1)??(t?x?1??。 u5.5 频率为100Hz，传播速度为300m?s?1的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π，则此两点相距[
(D)0.25m 解析：正确答案（A）相位差与波程差之间的关系是???2π??r，本题中??100Hz，u?300m?s?1，??u??300?3m?3m。?r??????m?1.5m。 1002π2π5.6 两列相干波沿同一直线反向传播形成驻波,则相邻波节间各质点的振动[ ]
(A)振幅相同,相位相同 (B)振幅不全相等,相位相同 (C)振幅相同,相位不同 (D)振幅不全相等,相位不同 解析：正确答案（B） 驻波方程为y?2Acos但相位相同。5.7 在波长为λ的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ［
(A2π?xcos?t，因此根据其特点，两波节间各点运动振幅不同，??3?
(D) ?442解析：正确答案（B） 驻波方程为y?2Acox??k?22π?xcos?t，波腹处质点就满足条件是：co2π?x?1，k?0,1,2,)相邻波腹间的距离是波长的一半，为?。 25.8 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者，观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340m?s?1）［
(D)695 Hz。
解析：正确答案（D）本题是多普勒效应的应用，机车汽笛是一个声源，观察者静止。所以观察者听到的声音的频率可用公式：?R?u?vR340?25S??750Hz?695Hz。选（D） u3405.9
t=0时刻波形曲线如左图所示，此时a点运动方向
，b点运动方向
，坐标为x的质点振动曲线如右图所示时，则a时刻运动方向
，b时刻运动方向
。习题5.9图解析：-y,＋y, ＋y,-y本题给出了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同。求解本题要弄清波动图和振动图的不同的物理意义。左图是波形曲线，由波型状态和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴负向，b点运动方向是沿y轴正向。右图是振动曲线，由曲线和传播方向可知，a点运动方向是沿y轴正向，b点运动方向是沿y轴负向。?5.10 一横波波函数为y?0.5cos[?(200t?10x)?]m，则频率?，波2长?=
解析：100HZ,0.2m,? 22?x??)，对比将已知波的表达式，可知波动方程的一般表达式是y?Acos(?t??频率?=100HZ, 波长?=0.2m, 初相?0=25.11波相干的条件是
。 解析：两列波相干的条件是频率相同、振动方向相同、相位差恒定。25.12频率为500Hz的波，其波速为350m?s?1，相位差为?的两点间距离3为
。 解析：0.23m相位差与波程差之间的关系是???2π??r，本题中??500Hz，u?350m?s?1，??u??350?0.72?7m?0.7m。?r?????m?m。 05.13 沿x轴正向传播的波，波速为2m?s?1，原点振动方程为y?0.6cos(?t)，试求1) 此波的波长。(4m2)波函数。3)同一质元在1s末和2s末这两个时刻的相位差(πrad) (4)xA?1m,xB?1.5m处两质元在同一时刻的相位差 解析：（1）由原点的振动方程知，振动周期T=2s . 所以此波的波长是??uT?2?2m?4m??x????x??（2）由原点的振动方程可得波函数y?0.6cos???t????0.6cos???t???(SI??u????2??（3）同一质元在两个时刻的相位差为?????t??(rad) （4）波线上两点在同一时刻的相位差为???B点比A点滞后。?u?x??2?0.5(rad)??4rad??x??5.14 一横波波函数为y?0.5cos?4??t?????，求：??2??(1) 振幅、波长、频率和初相位 (2)x=2m处质点在t=2s时振动的位移3)传播方向上时间间隔为1s的两质点的相位差 解析：（1）将给定的方程化为y?0.5cos(4?t?2?x??与标准形式的波动方程y?Acos(?t?2??x??)比较，可得振幅A=0.5m，波长??1m，角频率??4?rad?s?1，频率??初相位???rad（2）把x=2m，t=2s代入波函数，可得振动的位移?4??Hz?2Hz，2?2???2??y?0.5cos?4??2???????0.5m。2????（3）本题目中T?2???2?1?s，传播方向上时间间隔为1s的两质点之间的4?2距离是两个波长。对应的相位差是???2???x?2???2??4?rad5.15 一波源位于坐标原点向x轴正方向发射一横波，周期T=1s，波长?=10m，振幅A=0.5m，当t=0s时刻波源振动位移恰好为正方向最大值，求：（1）波函数；（2）t1=0.25s时，x=2.5m处质点位移；（3）t2=0.5s时，x=2.5m处质点的振动速度。解析：波函数动方程一般形式是y?Acos(?t?波长、角频率和初相位。（1）振幅A=0.5m，波长?=10m，角频率??2??2?rad?s?1，当t=0s时刻波源T2??x??)，要求波函数只要求振幅、振动位移恰好为正方向最大值,可知此时对应的的相位是0，即是初相位。波函数是y?0.5cos(2?t??5x（2）t1=0.25s时，x=2.5m代入波函数，即可得质点位移y?0.5cos(2?t??5x)?0.5cos(2??0.25??5?2.5)m?0.5m（3）t2=0.5s时，x=2.5m处质点的振动速度v??y?t??0.5?2?sin(2?t?x0,t0?5xx2,t2???m?s?15.16 如图所示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，设此简谐波的频率为250Hz，且此时质点P的运动方向向下，求1) 该波的波动方程。 (2) 在距原点为100m处质点的振动方程的表达式。
解析：由P点的运动方向，可判定该波向左传播。对坐标原点处质元，t=0时的位置，有y0?A??Acos?，v0?0，所以??rad 23习题5.16图?原点的振动方程为y0?Acos(500?t?)(SI3??x?)(SI) 波动方程为y0?Acos(500?t?1003?（2）在距原点为100m处质点的振动方程是y??Acos(500?t?)(SI3T5.17 如图所示为平面简谐波在t?时的波形曲线，求该波的波动方程。4习题5.17图解析：设x=0处质元的振动方程是y?Acos(?t??由图可知：A=0.1m,??速度方向为+y方向，2??u?165?(rad?s?1),t?TT时，y0?Acos(???)?0，44T3???? 423?T??????24?原点处质元的振动方程是y?0.1cos(165?t??)(SI) 该波的波动方程为y?0.1cos(165?t??2x??)(SI5.18 一平面简谐波以u=0.8m?s-1的速度沿x轴负方向传播。已知距坐标原点x=0.4m处质点的振动曲线如图所示。试求： (1) x=0.4m处质点的振动方程 (2) 该平面简谐波的波动方程 (3) 画出t=0时刻的波形图习题5.18图解析：（1）振动方程的表达式x?Acos(?t??)，由图可知振幅A=0.05m，T=1s,角频率??2??2?rad?s?1，t=0s时，位移是正的最大可知初相位??0。所以振动方T程是y?0.05cos(2?t)m（2）沿x轴负方向传播的平面简谐波的波动方程的表达式y?Acos(?t?2??x??其中A=0.05m，角频率??波动方程可写成2??2?rad?s?1，波长??u?T?0.8?1m?0.8m，所以T8y?0.05cos(2?t??x??)m5由x=0.4m处质点的振动方程可知，当t=0s, x=0.4m处质点的的相位是0， t=0s, x=0.4m代入波动方程可得相位表达式82??0???0.4???0.64????05???0.64?波动方程是8y?0.05cos(2?t??x?0.64?)m58（3）t=0代入波动方程可得y?0.05cos(?x?0.64?)m。图略55.19一平面波在介质中以u沿x轴正方向传播，已知A点振动方程y?Acos?t，A、B两质点相距为d，xA（1）以A点为坐标原点写出波动方程；（2）以B点为坐标原点写出波动方程。 解析：A点振动方程y?Acos?t，将t换成t?x就得到以A为原点的波动方程uxy?Acos?(t?udx2) 令x=d就得到B点振动方程y?Acos?(t?),将式中t换成t?就得到以Buu为原点的波动方程y?Acos?(t?x?du5.20 一平面简谐波,频率为300Hz,波速为340m?s－1,在截面积为3.00×10－2m2的管内空气中传播,若在10s内通过截面的能量为2.70×10－2J,求 (1) 通过截面的平均能流； (2) 波的平均能流密度； (3) 波的平均能量密度. 解析：W2.7?10?2?2.7?10?3J?s?1 （1）通过该截面的平均能流P??t10P2.7?10?3J?s?1?m?2?9.00?10?2J?s?1?m?2 （2）波的平均能流密度I???2S3.00?10（3）波的平均能量密度由于I?WuI9.00?10?2J?m?2?2.65?10?4J?m?2
所以W??u3405.21一正弦波沿直径为d的圆柱传播，波的平均能量密度为10?10?5J?m?3，频率为200Hz，波速为200m?s-1，求：（1）波的平均强度；（2）每两个相邻相面波带中含能量4?10?7J，求d。解析：本题要求能正确的理解波的平均能量密度、波的平均强度，及相互之间关系。（1）I????10?10?5?200J?m?2?s?1?2?10?2J?m?2?s?1??xd2d2u222W??dV??A?sin?(t?)?()dx?()， （2）?0?0u22?可得d?0.071m5.22 湖面上方 h=0.5m 处有一电磁波接收器,当某射电星从地面上渐渐升起时,接收器可测得一系列波强的极大值。已知射电星所发射的电磁波的波长λ=20cm,求第一个极大值时射电星的射线与铅垂线夹角θ。BC习题5.22图射体。电磁波的干涉与机械波的干涉有同样的规律,电磁波从空气射向水面而反射时有半波损失解析：接收器测得的电磁波是射电星所发射的信号直接到达接收器的部分与经湖面反射的部分相互干涉的结果。 解
计算波程差?r?AC?BC??2?AC(1?cos2?)??2AC???r?h?1?cos2?)? sin?22k?1)?4h极大时，?r?k?in??取k=1，20.0?10-2?1?arcsin?5.74?4?0.55.23 图示为声音干涉仪,用以演示声波的干涉。 S 为受电磁铁影响而振动的薄膜, D为声音探测器,如耳机或话筒。路径 SBD的长度可以变动,而路径 SAD 的长度是固定的, 干涉仪内是空气。现测知声音强度在 B的第一位置时为极小值100单位, 而渐增至 B 距第一位置为1.65×10- 2m 的第二位置时, 有极大值900单位。求: (1) 声源发出的声波频率:2) 抵达探测器的两波的相对振幅。 (空气中声速设为340m?s?1解析：声波沿路径 SBD和路径 SAD分别分别传到D处时产生干涉。 产生极小值时波程差?r?k? 产生极大值时波程差?r?(2k'?1习题5.23图?2根据条件可知?r'??r?2?1.65?10?2m,k’=k+1所以??6.6?10?2m??u??340?3?5?10Hz ?26.6?10（2）抵达探测器的两波的相对振幅是25.24 如图所示，S1和S2为相同的声源，当L1＝L2时，P点听到了较大的声音，若随着L1逐渐增加，当L1-L2为20.0cm,60.0cm和100.0cm时，在P点听到的声音最弱。求声源的频率。已知声速为340m?s?1。 解析：当L1＝L2时，P点听到了较大的声音，说明S1和S2为同相位的声源。当S1和S2中一方为波峰另一方为波谷到达P点，声音最135弱。故L1－L2为?，?，?等时，声音最弱。所以P点连续两次声音最小时，222u340Hz?850Hz
L1增加的距离为?，由已知数据得??40cm。声源频率为????0.4习题5.24图5.25如图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面，波长是?。AB为波的反射平面，反射时无相位突变?。O点位于A点的正上方，AO=h。ox轴平行于AB。求ox轴上干涉加强点的坐标。（限于x>0）习题5.25图解析：沿ox轴传播的波与从AB面上的P点反射来的波在x处相遇，两波的波程差是?r?x代入干涉加强的条件，有?r?x?k?,k?1,2,2h4h2?k2?2k?1,2,3,可得x?2k?,??（当x=0时，由4h2?k2?2?0，可得k?2h?）5.26 如图，一角频率为?，振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播。设在t=0时该波在原点O处引起的振动使介质质点由平衡位置向y轴的负方向运动。M 是垂直于x轴的波密介质反射面。已知OO'?71?，PO'??（?为该波波长），设44反射波不衰减，求：（1）入射波与反射波的表达式；（2）P点的振动方程。习题5.26图解析：平面简谐波的波动方程的表达式y?Acos(?t?2??x??)，对于入射波，x前系数取负号，反射波取正号。题目已知条件是：t=0时该波在原点O处引起的振动使介质质点由平衡位置向y轴的负方向运动，由旋转矢量法可知相位是即是初相位，???，2?2。入射波表达式是y?Acos(?t?2??x??2。入射波在O’点的相位是?t?7?????t?3?，由于M是垂直于x轴的波密介质22反射面，波是从波密媒质反射回波疏媒质，在反射点反射时有相位π的突变。反射波的相位是?t?3?????t?2? 设反射波的表达式是y?Acos(?t?是?t?2?77??????t???? ?4215?，所以反射波的表22??x??)，则t时刻，反射波在O’点的相位比较以上反射波O’点的相位的两个表达式，可得???达式是y?Acos(?t?2?x?) ?2?（2）P点的振动是入射波与反射波在P点引起振动的合成。 入射波在P点引起振动表达式是y1?Acos(?t?2?3?51???)?Acos(?t??)??Acos(?t??) ?2222反射波在P点引起振动表达式是y2?Acos(?t?2?3?7?????)?Acos(?t?)??Acos(?t?) ?2222?所以y?y1?y2??2Acos(?t?25.27 一驻波波函数为y?0.02cos20xcos750t(m)，求 (1)形成此驻波的两行波的振幅和波速各为多少？ (2)相邻两波节间的距离多大？3)t?2.0?10?3s时，x?5.0?10?2m处质点振动的速度多大？ 解析：（1）将y?0.02cos20xcos750t(m)与驻波方程????37.5m?s?1 播速度u?2?y?2Aco2πxcos?t相比较可知A=0.01m,???10m，??750rad?s?1，所以，传（2）相邻两波节点之间的距离?x?（3）质元振动速度?2?0.157mv??y?t??2A?cox0,t02??in?tx0,t0??8.08m?s?15.28一辆机车以25m?s?1的速度驶近一位静止的观察者，如果机车的汽笛的频率为550Hz，此观察者听到的声音频率是多少？（空气中声速为340m?s?1）
解析：观察者不动，波源运动时，观察者接收到的频率为?R?u?'?u340?S??550Hz?594Hz u?vS340?255.29一声源的频率为1080Hz，相对地面以30m?s?1的速率向右运动。在其右方有一反射面相对地面以65m?s?1的速率向左运动。设空气中声速为331m?s?1。求： （1）声源在空气中发出的声音的波长； （2）反射回的声音的频率和波长。 解析：（1）波源运动时，波长将发生变化。 声源在空气中发出的声音的波长??u?vS??331?30m?0.（2）声源向右运动，反射面也在运动，则反射面相当于观察者。波源和观察者在他们的连线上相向运动时?R?u?vR331?65?S??1080Hz u?vS331?30求解反射回的声音的频率时，反射面相当于声源，观察者不动。则?R'?u?R???1080Hz?1768Hz u?vS331?65331?30u对应的波长是?'???331m?0.5.30 频率为f=400Hz的音叉以v?2m?s?1的速率远离一名观测者同时又朝一面大墙运动。求：（1）观察者所听到的未经反射的声音的频率；（2）所听到经反射后声音的频率；（3）每秒能听到几次拍的声音，已知声速为340m?s?1。 解析：（1）此时的情景是声源远离观察者运动。 观察者所听到的未经反射的声音的频率?R?（2）此时的情景是声源靠近观察者运动。 所听到经反射后声音的频率?R'?u340?S??400Hz?402Hz u?vS340?2u340S??400Hz?398Hz u?vS340?2（3）拍频是?R'??R?4.7Hz，每秒能听到4.7次拍的声音4 开放性习题5.31请以“波浪能量”和“海洋能利用”为关键词，通过互联网了解我国利用海洋能发电的现状。 （略）第6章
波动光学6.1基本要求1．理解相干光的条件及获得相干光的方法.2．掌握光程的概念以及光程差和相位差的关系，了解半波损失，掌握半波损失对薄膜干涉极大值和极小值条件的影响。3．能分析杨氏双缝干涉条纹及薄膜等厚干涉条纹的位置 4．了解迈克耳孙干涉仪的工作原理5．了解惠更斯－菲涅耳原理及它对光的衍射现象的定性解释.6．了解用波带法来分析单缝夫琅禾费衍射条纹分布规律的方法，会分析缝宽及波长对衍射条纹分布的影响.7．了解衍射对光学仪器分辨率的影响.8．掌握光栅方程，会确定光栅衍射谱线的位置，会分析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响.9．理解自然光与偏振光的区别. 10．理解布儒斯特定律和马吕斯定律. 11．了解线偏振光的获得方法和检验方法. 6.2基本概念 1．相干光若两束光的光矢量满足频率相同、振动方向相同以及在相遇点上相位差保持恒定，则这两束光为相干光。能够发出相干光的光源称为相干光源。 2．光程光程是在光通过介质中某一路程的相等时间内，光在真空中通过的距离。若介质的折射率为n，光在介质中通过的距离为L，则光程为nL。薄透镜不引起附加光程差。光程差?与相位差??的关系???3．半波损失光在两种介质表面反射时相位发生突变的现象。当光从光疏介质（折射率较小的2π??。介质）射向光密介质（折射率较大的介质）时，反射光的相位较之入射光的相位跃变了?，相当于反射光与入射光之间附加了半个波长的光程差，所以称为半波损失。4．杨氏双缝干涉杨氏双缝干涉实验是利用波阵面分割法来获得相干光的。用单色平行光照射一窄缝S，窄缝相当于一个线光源。S后放有与其平行且对称的两狭缝S1和S2，两缝之间的距离很小。两狭缝处在S发出光波的同一波阵面上，构成一对初相位相同的等强度的相干光源，在双缝的后面放一个观察屏，可以在屏幕上观察到明暗相间的对称的干涉条纹，这些条纹都与狭缝平行，条纹间的距离相等。 5．薄膜干涉薄膜干涉是利用分振幅法来获得相干光的。由单色光源发出的光经薄膜上表面的反射光和经薄膜下表面反射再折射形成的光是相干光，它们在薄膜的反射方向产生干涉。薄膜干涉的应用有增透膜，增反膜等。 6．劈尖两片叠放在一起的平板玻璃，其一端的棱边相接触，另一端被细丝隔开，在两块平板玻璃的表面之间形成一空气薄层，叫做空气劈尖。自空气劈尖上下两面反射的光相互干涉。形成明暗交替、均匀分布的干涉条纹。 7．牛顿环一块曲率半径很大的平凸透镜与一平玻璃相接触，构成一个上表面为球面，下表面为平面的空气劈尖。由单色光源发出的光经劈尖空气层的上下表面反射后相互干涉，形成明暗相间且间距不等的同心圆环，因其最早是被牛顿观察到的，故称为牛顿环。 8．迈克尔孙干涉仪用互相垂直的两平面镜形成等效空气层，分振幅法产生相干光。条纹移动数目N与反射镜移动的距离?d之间的关系为?d?N??29．夫琅和费单缝衍射单色平行光垂射到单缝上，在屏上形成一组平行于单缝的直条纹，中央明纹最宽最亮，宽度是其它明纹的二倍。 分析方法：半波带法 10．圆孔衍射 艾里斑圆孔的夫琅和费衍射图样中央为一亮斑，称为爱里斑，周围为一些同心明暗环。爱里斑的半角宽度为??1.2211．最小分辨角 光学仪器的分辨本领?D瑞利判据规定：两个物体通过光学仪器孔径衍射后，当一个爱里斑中心刚好落在另一个爱里斑的第一级暗环上时，两个爱里斑刚好能够分辨，仪器的最小分辨角?0?1.22在光学中,将1?D?0定义为光学仪器的分辨本领,即1D1.22??012．衍射光栅?任何具有空间周期性的衍射屏都可以看成光栅。1 ， 2,) 主极大的位置由光栅方程决定(a?b)sin???k? (k?0 ，13．自然光普通光源中各原子发光是独立的，每个波列的振幅、相位和振动方向都是随机的，在垂直于光的传播方向的平面内，在同一时刻沿各个方向振动的光矢量都有。平均说来，光矢量具有均匀的轴对称分布，各方向光矢量振动的振幅相同，这种光称为自然光。 14．线偏振光光矢量只在一个固定平面内沿一个固定方向振动，这种光就是一种完全偏振光，叫线偏振光。 15．部分偏振光是介于偏振光与自然光之间的一种光，例如把一束偏振光与一束自然光混合，得到的光就属于部分偏振光。在垂直于光传播方向的平面内，各方向的光振动都有，但它们的振幅不相等。6.3基本规律1． 惠更斯—菲涅耳原理菲涅耳根据波的叠加和干涉原理，提出了“子波相干叠加”的概念，对惠更斯原理作了物理性的补充。菲涅耳认为，从同一波面上各点发出的子波是相干波。在传播到空间某一点时，各子波进行相干叠加的结果，决定了该处的波振幅。2． 杨氏双缝干涉当波长为?的单色光入射到缝间距为d的双狭缝后，在距狭缝为D的屏幕上会形成两缝透过的相干光叠加后的干涉条纹，以两缝中心垂线与屏幕的交点为坐标原点，则明暗条纹的位置应满足下列条件?D?k?,k?0,1,2,??dxk????(2k?1)D?,k?1,2,3,?2d?明纹 暗纹相邻两条明纹或暗纹的间距为?x?D? d3． 薄膜干涉将一波长为?的扩展光源照射到一厚度为d、折射率为n2、置于折射率为n1介质的薄膜上，薄膜上下两表面的反射光在相遇点的光程差为Δr?2?2其中i为入射光线与薄膜表面法线之间的夹角。由此可得出薄膜干涉的明暗纹条件加强)?k?,k?1,2,3? Δr?2???2?(2k?1),k?1,2,3(减弱)?2?公式中?是在表面产生的附加光程差，是否要这一项，要根据薄膜及上下表面两2侧介质的折射率来考虑。4．等厚干涉劈尖反射光干涉极大（明纹）和极小（暗纹）的条件是：（光线垂直入射i?0）?k?,??Δ?2nd????2?(2k?1),?2k?1,2,3k?1,2,3(明纹)(暗纹相邻明（或暗）条纹中心之间的距离（简称条纹间距）相等?l?lk?1?lk??d??? 2n?在劈尖上方观察干涉图形是一些与棱边平行的、均匀分布、明暗相间的直条纹。 牛顿环的明暗纹条件（光线垂直入射i?0）?k?,?Δ?2nd????2?(2k?1),?2?k?1,2,3k?1,2,3(明纹)(暗纹牛顿环明（暗）半径分别为k?1,2,3,)明纹r?(k?0,1,2,)暗纹5．单缝夫琅和费衍射利用半波带法可得单缝夫琅和费衍射明暗纹条件??????asin?k??????0?2k中央明纹中心??k?暗纹中心明纹中心k?1,2,3 ?2?(2k?1)?2中央明纹角宽度和线宽度分别为??中央?2?x中央?2?a f? a其余明纹角宽度和线宽度分别为af??x? a6． 光栅的夫琅和费衍射主极大的位置由光栅方程决定a?b)sin???k? (k?0 ， 1 ， 2,) ????忽略单缝衍射时，光栅衍射条纹为等间距、等亮度、相邻两条明纹间有宽广暗区的明亮尖锐条纹。但由于单缝衍射的存在，衍射光强对光栅条纹光强起调制作用，使明纹的亮度不再相同，并且会出现缺级现象，缺级的条件为?同时满足asin???k'?a?b)sin???k?即当衍射角?同时满足光栅衍射极大和单缝衍射暗纹条件时，相应的光栅衍射极大将缺失。缺级条件是：a?bk? ak'也就是说，a+b与a的比等于整数比时便有缺级现象。7．马吕斯定律，I为通过检偏器后的光强，I0为入射于检偏器的光I?I0cos2?（对线偏振光）强，?为光振动方向与偏振化方向的夹角。8．布儒斯特定律当自然光从折射率为n1的各向同性介质向折射率为n2的各向同性介质入射时，若入射角i0满足tani0?n2 n1则反射光变成完全偏振光，且其光振动的方向垂直于入射面，这一规律称为布儒斯特定律，这一特定的入射角i0称为布儒斯特角或起偏振角。此时，反射线与折射线相互垂直。i0???9006.4学习指导1重点解析（1）双缝干涉条纹的计算研究双缝干涉问题，主要是计算两束相干光的光程差，根据干涉明暗条纹的条件，就可以得到条纹的形态和分布。例1
在杨氏双缝干涉实验中，设双缝之间的距离为d=0.2mm，屏与双缝间的距离D＝1.00m。（1） 当波长??589.0nm的单色光垂直入射时，求10条干涉条纹之间的距离。（2） 若以白光入射，将出现彩色条纹，求第二级光谱的宽度。分析：在杨氏双缝干涉实验中，如果入射光为单色光，则干涉条纹为等距分布的明暗相间的直条纹。n条条纹之间的距离为(n?1)?x?(n?1)D?。如果入射光为d白光，中心零级明纹极大处为白色，其它各级条纹均因波长不同而彼此分开，具有一定的宽度，第k级干涉条纹的宽度为?x?kD(?max??min) d解：（1）在杨氏双缝干涉的图样中，其干涉条纹为等距分布的明暗相间的直条纹。相邻条纹之间的距离为D1.00?589?10?9?3?x???m?2.95?10m ?3d0.2?1010条干涉条纹之间有9个间距，所以10条干涉条纹之间的距离为?x'?9?x?2.66?10?2m（2）第二级彩色条纹光谱宽度是指第二级紫光明纹中心位置到第二级红光明纹中心位置之间的距离。杨氏双缝干涉明纹的位置为x?kD? d所以第二级光谱的宽度为?x?kD1.00?9?3???2??(760?400)?10m?3.6?10m ?3d0.2?10（2）薄膜干涉条纹的计算在计算薄膜干涉的光程差时，特别要注意反射光的半波损失问题。当光从折射率为n1的媒质中垂直（或近于垂直）入射到折射率为n2的媒质，若n2>n1,则在界面上的反射光有半波损失。例2
一油轮漏出的油(折射率n1 = 1.20)污染了某海域，在海水(n2 = 1.30)表面形成了一层薄薄的油污。1)如果太阳正位于海域上空，一直升飞机的驾驶员从机上向下观察，他所正对的油层厚度为460nm，则他将观察到油层呈什么颜色?2)如果一潜水员潜入该区域水下，又将观察到油层呈什么颜色?解
这是一个薄膜干涉问题。太阳光垂直照射在海面上，驾驶员和潜水员看到的分别是反射光的干涉结果和透射光的干涉结果。（1）由于油层的折射率n1小于海水的折射率n2但大于空气的折射率，所以在油层上，下表面反射的太阳光均发生π的相位跃变。两反射光之间的光程差为:?r?2n1d当?r?k?，即??2n1d，k=1,2,,,. k把n1=1.20,d=460nm代入，干涉加强的光波波长为k?1，?1?2n1d?1104nmk?2，?2?n1d?552nmk?3，?3?2n1d?368nm 3其中，波长为 ?2?552nm的绿光在可见范围内，所以驾驶员看到薄膜呈绿色。（2）此题中透射光的光程差为：?t?2n1d??2?k?k?1,2,3k?1，?1?2208nmk?2，?2?736nmk?3，?3?441.6nmk?4，?4?315.4nm所以潜水员看到薄膜呈紫红色（3）单缝衍射和光栅衍射条纹的计算；单缝夫琅禾费衍射和光栅衍射条纹的计算要记住单缝衍射明暗条纹的条件：???2k??k???2asin?k????(2k?1)???2暗纹中心k?1,2,3明纹中心从形式上看，似乎与干涉的明暗条件相反，二者是矛盾的。事实上，从叠加的意义看是完全一致的。对于光栅衍射，主要在明纹的条件，即光栅方程a?b)sin???k? (k?0 ， 1 ， 2,例3
波长为600nm的单色光垂直入射到宽度a=0.10mm的单缝上，观察夫琅禾费衍射图样，透镜焦距f=1.0m，屏在透镜的焦平面处，求（1） 中央明纹的宽度。（2） 第二级暗纹到中央明纹的距离。解：(1)中央明纹的宽度指在屏上两侧第一暗纹的间距，由单缝衍射暗纹公式asin??k?令k=1，得
sin??tan??x1 f其中x1是第一级暗纹到中央明纹中心的距离，中央衍射明纹的宽度是?x?2x1?2f?a代入已知数据得?x?12mm2)第k级暗纹到中央明纹的距离为kf? a当k=2时得到第二级暗纹到中央明纹的距离x2?2f（4）光学仪器分辨率的计算 ?a?12mm光学仪器分辨率的计算根据瑞利判据得到光学仪器最小分辨角?0?1.22?D例4
用肉眼观察1.0km远处的物体，问能分辨物体的细节尺寸是多大？若用通光孔径为5.0cm的望远镜观察，问能分辨物体的细节尺寸是多大？设人眼瞳孔的直径是5.0mm，光的波长为500nm。解：人眼的最小分辨角500?10?9?4?0?1.22?1.22?rad?1.22?10rad D5.0?10?3?设人眼分辨物体的细节尺寸是d，则?0?d Ld??0L?1.0?103?1.22?10?4m?0.122m望远镜的最小分辨角500?10?9?0'?1.22?1.22?rad?1.22?10?5rad ?2D'5.0?10?望远镜分辨物体的细节尺寸是d'??0'L?1.0?103?1.22?10?5m?1.22?10?2m（5）马吕斯定律和布儒斯特定律的应用马吕斯定律和布儒斯特定律的应用是光的偏振现象中的两个规律。马吕斯定律是指线偏振光通过偏振片后光强变化的规律。注意：自然光通过偏振片后，光强变化关系不满足此定律。若不考虑偏振片对光的吸收，则透出的偏振光的强度是自然光强度的一半。布儒斯特定律是指反射起偏的入射角必须满足布儒斯特角（起偏振角）的规律。反射光的偏振方向垂直于入射面。2难点释疑疑难点1
在观察干涉、衍射的实验装置时，经常放入透镜，是否会产生附加光程差？解析
如图6-1(a)所示，平行光通过薄透镜后会聚于焦点F上形成一个亮点，这是因为平行光波前上各点A,B,,,E的相位相同，到达焦点F后的相位仍然相同，a图6-1因而相互加强，产生亮点，这说明各光线AaF，BbF,,，EeF所经历的光程也相等，虽然光线AaF比光线CcF经过的几何路程长，但光线CcF在透镜中经过的路程比光线AaF长，折算成光程，两者光程相等，其他光线也一样。对于图AaF'，6.5(b)所示的平行光斜入射，然后会聚于F'点的情况，通过类似讨论可知，BbF',,，EeF'各光线的光程也都相等。因此，使用薄透镜不引起附加光程差。
从理论上讲，透镜的等光程性是费马原理的自然结果，它告诉我们，实际光线的光程总是取极值或是恒定值的，在一束平行光中有无数条光线，其光程都取极大值或极小值是不可能的，因而只能取恒定值，即它们必须具有相同的光程。疑难点2
关于等厚干涉是否计入附加光程差?？ 2在等厚干涉中，经过薄膜上表面反射的光和从下表面反射并透射出去的光形成相干光，在它们相遇的地方发生干涉现象。根据薄膜介质的折射率与薄膜上下介质的折射率的大小关系，我们可以判断是否需计入附加光程差?。如图6-2所示，2设光从折射率为n1的介质中垂直（或近于垂直）入射到折射率为n2的薄膜上，表6-1图6-2薄膜下面的介质的折射率为n3，则是否计入附加光程差疑难点3
半波带法为避免复杂计算，将单缝上两束光的光程差为半个波长的区域划分为一个半波带，如图6-3所示。如单缝恰好能划分为偶数个半波带，则相邻两半波带对应位置的光束两两叠加干涉相消，整个单缝的衍射结果为暗纹，此时，缝两端A、B两点对应光束的光程差为?如表6-1所示。 2asin???k?k?1,2,3。如单缝恰好能划分为奇。图6-3 ?数个半波带，即asin???(2k?k?1,2,32此时会剩下一个半波带无法抵消，结果出现的是明条纹。注意的是，显然半波带的划分与衍射角?有关。另外，许多情况下不能划分偶数或奇数个半波带，则对应屏上的是不明不暗区域。6.5习题解答6.1 在双缝干涉实验中，若单色光源 S 到两缝 S1、S2距离相等，则观察屏上中央明条纹位于图中O处。现将光源S向下移动到示意图中的S’位置，则［
］A) 中央明条纹也向下移动，且条纹间距不变B) 中央明条纹向上移动，且条纹间距不变C) 中央明条纹向下移动，且条纹间距增大D) 中央明条纹向上移动，且条纹间距增大解析：正确答案（B）由S发出的光到达S1、S2的光程相等，它们传到屏上中央O处，光程差??0，形成明纹，当光源由S向下移动S’时，由S’到达S1、S2的两束光产生了光程差，为了习题6.1图保持原中央明纹处的光程差为0，它将上移到图中0’处，使得由S’沿S1、S2传到0’处的两束光的光程差仍为0。而屏上各级明纹位置只是向上平移。因此条纹间距不变。6.2 在相同的时间内，一束波长为λ的单色光在空气中和在玻璃中[
]（A）传播的路程相等，走过的光程相等（B）传播的路程相等，走过的光程不相等（C）传播的路程不相等，走过的光程相等（D）传播的路程不相等，走过的光程不相等解析：正确答案（C）由于单色光在不同介质中传播速度不同，所以相等的时间内传播的路程不相等。光程的定义是光在介质中传播的几何路程r与介质折射率n之积。光在媒质中传播的路程可折合为光在真空中传播的路程n2r2?r1?ct。不管光的传播是经过怎样的几何路程，只要光程相同，光传播所用的时间就相同。反之亦然。6.3 单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，若薄膜厚度为e，且n1?n2,n3?n2，?1为入射光在n1中的波长，则两束反射光的光程差为
]（A）2n2e
（B）2n2e??12n1（C）2n2e?n1?1n?
（D）2n2e?21 22习题6.3图 解析：正确答案（C）
案例分析1：王某2001年为其公公老张投保，指定受益人是张某的孙子小张，保险费按月从王某工资中扣缴。缴费1年后，王某离婚，法院判决小张由张某抚养。离婚后王某仍自愿按月从自己工资中扣缴这笔保险费，从未间断。日被保险人老张某病故，于是…
中央广播电视大学人才培养模式改革和开放教育试点 河 南 广 播 电 视 大 学汉 语 言 文 学 专 业 （本 科） 毕 业 论 文论文题目：浅论《水浒传》对武松形象的描写特点姓 学 学名： 校：河南广播电视大学 号：指导教师 定稿日期：2014 年…
第4章 机械振动 4.1基本要求1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方…
1。 D.．每当我们在夕阳的辉映下走出校园时，心里都充满着幸福感。七、下面的句子语气最强烈的一句是（ A ） 。（3分）(双重否定句语气都较强，反问句次之）A．明天的秋游你非去不可！ B．明天的秋游你去不去？ C．明天的秋游你还是去吧！ D．明天的…
夜深了，热闹的城市渐渐的安静下来，不知道我家的大头儿子何时睡着的，也不知道今晚他会不会还像以前那样在我的房间睡？因为他说了，他要等妈妈回家。刚才和朋友闲聊时聊到了儿子，ta突然说我很爱我的儿子，我感觉很意外，笑着问ta：为啥这样说？ta说从我说到我…
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