写在前面：12年前开始玩魔方，当时和哥们一块互相比着玩，没多久就sub45了。后来由于各种原因（主要是懒）就没继续背公式，只是偶尔玩玩花式。一直保持这个状态，现在速度没提高反倒还慢了一些。群论是从玩魔方后就知道了，但一直没深入研究。直到最近由于工作原因又开始研究魔方了，查了很多资料，偶然看到一篇魔方与群论的文章，学习了一下，对魔方有了新的思考，就总结了一下。要想看懂这篇总结，首先需要具备一些技能，包括但不限于：对魔方有一定了解，至少知道魔方的结构，每个颜色的位置关系，能看懂通用的标记法（RUFBLD）数学还不算太差永不磨灭的强烈好奇心（这条最重要~）需要说明一下，在原文中作者是以橙色为底的，很多教程也就延续了这种情况，但我更习惯白底红前，所以在学习的过程中就转换了一下，原文中还有一些转动B、D层的操作，这里我也转换成了转动F、U的操作。目录：魔方群的相关概念降群法还原魔方关于魔方的小思考下面是正文一、魔方群的相关概念什么是群？引用维基百科中“群”的概念：在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，并且符合“群公理”。群公理包含下述四个性质的代数结构。这四个性质是封闭性、结合律、单位元和对于集合中所有元素存在逆元素。群在各个领域中无处不在，这里只讨论与魔方群有关的概念。我们都知道三阶魔方共54个小色块，但中心块并不能移动，所以魔方的状态其实是48个小色块的排列组合。魔方群就是所有小色块正常转动可能形成的所有情形。魔方群的运算就是对某一层顺时针旋转90°，表示为RUFBLD，其他操作都是这6步衍生出的，例如R'=RRR。这个群满足以下性质：封闭性：数学中，若对某个集合的成员进行一种运算，生成的仍然是这个集合的成员，则该集合被称为在这个运算下闭合。显然，对魔方进行任何正常操作得到的状态都还是属于魔方群。结合律：对于魔方来说，可以将任意一组操作看成是一个操作。比如OLL中的一个公式FRUR'U'F'，在这个公式中RUR'U'也就是右手公式经常被看作是一个手法，因此上述公式也可以表示为F(RUR'U')F'。单位元：单位元是集合里的一种特别的元素，与该集合里的二元运算有关。当单位元和其他元素结合时，并不会改变那些元素。对于魔方来说，单位元就是不转它。逆元素：例如，R与R'，RUR'U'与URU'R'等，对一个魔方做打乱公式的逆公式，就还原了。魔方复原魔方的过程就是小色块和小色块置换的过程，最熟悉的例子是三棱换和三角换。在下图的三棱换中，UF这个棱块要去到UR的位置；UR棱要去UL的位置；UL棱要去UF的位置。有一点要注意的是魔方群是不满足交换律的，两个操作的先后顺序换了，状态就不一样了，例如下图，先U再R 与 先R再U 就是两种不同的状态。去除一些非正常状态（比如单独反转一个角块），其它的状态也都是由48个小色块相互置换组合出来的，因此可以将三阶魔方群看成是置换群 S_{48} 的子群（约4325亿亿种状态）。三阶魔方总变化数的计算方法：8个角块可以互换位置(8!)，每个角块上有3个小色块，也可以旋转( 3^{8} )，但不能单独旋转一个角块(3)，所以有 \frac{8!\times3^{8}}{3} 种状态。12个棱块可以互换位置(12!)，每个棱块有2个小色块，也可以翻转( 2^{12} )，但不能单独翻一个棱块(2)，也不能只交换两个棱块(2)，所以有 \frac{12!\times2^{12}}{2\times2} 种变化状态。总共： \frac{8!\times3^{8}\times12!\times2^{12}}{2\times2\times3} 种变化状态。二、降群法通过R U F B L D这6种操作可以让魔方达到4.3千亿亿多不同状态，这很不友好，但是如果对这些转动规则做些限制呢？举个极端的例子，只转动R生成的状态很明显，只有4种。再比如只能用R2 U2 F2 B2 L2 D2，也就是从每层可以转90°变成每层只能转180°，通过这样的操作生成的状态，也有很多，但相比最初的数字来说也已经很少了。并且这种打乱的魔方看上去也没有那么乱，因为色向都是对的，最明显的例子是下面棋盘图案，每一面的颜色只可能是本面或者对面的颜色。降群法就是逐渐限制每个阶段的转动规则，从而减少每个阶段的状态。也就是逐步降解魔方所处的群到更小的子群，最后到还原状态。下表就是降群法每一阶段的操作与对应的状态数，其中减少因子是指从上一阶段到下一阶段的状态数减少的倍数，比如G0比G1的状态少了2048倍。G0是一开始的被打乱的状态，G4是最后被还原的状态。可以看到在G0→G1的这个过程中可以任意转动。G1→G2的过程中前后两层被限制只能转180°。G2→G3时左右两层也被限制了。G3→G4限制了上下两层，每层就都只能转180°了。每一阶段都会增加操作的限制，所以越往后，能做的越少，但状态数也越少，观察起来也越方便。所以从后往前推，把能做的任务尽量放到后面做，不能做的就放在前一阶段做，最后得出下表：第一阶段：因为在后面的阶段有了一些面不能转动90°的限制，所以调整棱块色向必须放在这个阶段做，调整的规则要看第二阶段的限制影响了什么。以白底红前为例，前后两层不能转动90°，所以左右两面一定不能有白黄色，上下两面也一定不能有蓝绿色。刚开始观察起来不太容易，好在最近练习盲拧，这正好与四步法盲拧中调整棱块色向的规则是一致的，但盲拧在这一步是不能改变棱块位置的。所以方法其实要比盲拧灵活很多：只要找到色向不对的棱，把它们移到前或后面转90°就好了。第二阶段：经过上一阶段，魔方处在G1子群，前后两面只能旋转180°。目标是要进入G2子群，G2群的限制是4个侧面都只能转180°。而只转180°是不可能让在顶层的中层棱块归位的，所以在这一阶段必须要先让中层的棱块回到中层，但不一定要归位，因为色向都已经正确了，后面再通过180°的旋转也可以让棱块归位。做法就是：暂时将相对的颜色看成是一种颜色，比如白黄是一样的，红橙是一样的，蓝绿是一样的，然后在顶层和底层做白黄十字，剩下四个中层的棱块就一定会回到中层。同理在G2子群也做不到翻转角块，所以在第二阶段还要调整角块的色向，也就是要让角块在上下两面的小色块只有黄白色。因为不能单独翻转一个角，所以要找到2个色向不对的角块一块翻，但要注意不能影响其它块的色向。我的做法是，先转动一个错角所在的侧面和顶面，通过这2步转动让角块的黄或白朝上，并且离原来位置比较远，然后将这个角块目前所在额侧面转180°，和另一个错误的角块互换，再把刚才的操作倒回去。比如找到2个色向错误的角块，一个放在RUF的位置，另一个放在LDF的位置，然后做RU'L2UR'。通过观察可以很容易判断，当RUF的角块黄白朝前，并且LDF的角块黄白朝左时，这种情况下通过以上操作，两个角块正好都被调整到正确的朝向了。这也和盲拧中的"set up"和"reverse"的方法有些相似：RU'：通过简单的操作将角块A set up到目标位置。L2：互换角块A和角块B的位置和方向，这时角块A到了原来角块B的位置，并且方向正确。UR'：通过set up的逆操作将角块B reverse到原来角块A的位置，并且方向正确。这一步的方法不只是RU'L2UR'，比如原作者用的就是R'DL2D'R，还有很多类似的方法，所以不用记公式，重在理解。第三阶段：到了第三阶段，此时魔方处在G2子群，4个侧面只能旋转180°。目标是要进入G3子群，所以这一阶段的任务就是要将所有的角块和棱块都调整到正确的相对位置，这样到了下一阶段，才能用每面都只能转180°的操作，将所有块都归位。正确的相对位置就是每面只能出现本来的或者对面的颜色，不能有其它第三种颜色。为了方便观察，先把所有角块都还原，通过允许的操作也就是用U,D,L2,R2,F2,B2，让顶层角快全黄、底层角块全白，这步很简单，但这波操作做完后，角块的顺序不一定都正确，所以接下来就要调整角块的位置。观察角块位置的方法很简单，就是看２个相邻角块的侧面颜色是否相同，如果都相同，就是对的，如果有一对相同，就需要做邻角换，如果都不相同，就需要做对角换。但是不能只交换２个角块，所以需要在上下两层各找两个错误的角块进行交换。方法与上一阶段角块翻色类似，只是这次不能有色向的改变，只能移动位置。比如要同时角换顶层LUF和LUB这两个邻角，以及底层LDB和RDF这两个对角，可以用下面的方法：FR'F：将LUF和RDF set up到L层，此时原LUF角跑到了LDF位置，原RDF角块跑到了LUF位置，并且都没变色向。L2：将当前在L层的四个角做对角的两两互换。也就是原RDF角到了LDB，原LUF角到了LUB，此时这两个角都完成了角换，而原LUB角和原LDB角也都被换到了准备位置等待完成交换。F'RF'：通过刚才过程的逆操作将原LUB角和原LDB角reverse到目标位置，此时4个角块都完成了交换。在这一步中，虽然用到了F、R这些不被允许的转动，但经过"set up"和"reverse"之后，这样的操作被抵消了，而且转动L层时也不会影响到其它块的色向。这只是交换顶层邻角和底层对角的情况，其它的情况类似。这里如果有图会更好理解一些吧，但是并没有，不过可以在魔方上做标记，这样也能方便观察。我是用了几个带吸盘的小人仔吸在目标块上，这样移动时就可以清楚的观察到目标块的移动轨迹了。现在所有角块都调整好了，下一步就要把棱块的相对位置调整好。观察也很简单，如果一个面出现了第三个颜色，那这个棱块就是错的。比如红色中心块所在的面，只能有红橙2种颜色，如果出现蓝绿色的棱块，这个块就是错的。到了目前的阶段，这种错的块是很显眼的，找到这些块就可以互换它们的位置了。思路与之前调整角块的操作是一样的，只是棱块只有2个面，操作起来更简单。比如同样是4个棱块两两交换，先将4个错误的棱块set up到中间的M层，然后做M2，也就是FU棱与BD棱互换，BU棱和FD棱互换，最后再reverse回去就好了。这一步要注意的是，在set up和reverse的过程中，４个侧面只能转动180°。还有观察棱块的颜色，判断棱块要去的位置，确定这对棱块被交换后的结果是正确的。这一步做完之后，魔方就到了G3群，进入下一阶段。第四阶段：到了这一阶段就只能用R2 U2 F2 B2 L2 D2来操作了，目标是要从G3群降到G4群，也就是最终还原。此时的魔方已经非常有规律了，对魔方有点了解或玩过花式的都可以通过几次有规律的转动将整个魔方还原。比如左半圈右半圈上半圈之类的～直到最后魔方降到G4。至此用降群法还原魔方完成。三、与魔方相关的小思考降群法，最早是给计算机用的方法，只是目前的算法更新了，用的步数越来越少了。原来虽然也搭过一些解魔方机器人，但程序是公开的拿来就用的，也尝试研究过，但一直就没看懂。现在想想，它们的复原过程好像还真的有降群法的影子，不知道是不是错觉~说到程序，其实复原魔方的过程和编程是很像的。就拿程序中的顺序、选择和循环这3个结构来说。复原魔方都是有顺序的吧，层先法是逐层复原，桥式是先搭左右两桥，降群法也是有顺序的逐级递减，顺序不能乱。选择结构呢，需要观察魔方当前的状态选择下一步要用的方法，当前状态就是要判断的条件。简单的例子就是顶层三棱换：如果中间棱块要去左边，则用顺时针的公式；如果中间棱块要去右边，则用逆时针的公式。再举个例子并且用程序语言写出来，在最后换棱时检测Bug的情况：if 错误的棱块个数 != 2 :
print ("可以复原")
else:
print ("拆")循环结构在魔方中也很明显，我们都知道右手公式（RUR'U'）重复6次是一个循环，在群论中可以说RUR'U'的阶等于6。程序中有限循环是有条件的，也就是什么时候跳出循环。在魔方中比如还原角块时，一种好记的方法是可以一直重复多次右手公式，直到角块还原，那么就可以说“当前角块被还原”就是此次循环终止的条件。复原魔方也会用计算思维，比如通过对当前公式的观察和推理对下一步的状态进行预判。除此之外，还有很多联系，就不一一举例了。再回到群论，除了可以用降群法复原魔方，群论还可以解释一些魔方的非正常状态，比如为什么不可能单独交换2个块，为什么不能只翻转一个块。这些问题的答案已经有人做过很全面的回答了，也不是这篇总结要讨论的点，就不叙述了。至于为什么要写这篇总结？对工作有用吗？有，但貌似帮助不大。对找女朋友有用吗？或许毛用都没有。对提速有用吗？我刚开始用降群法要10分钟才还原。但人生又不止是这些，我学降群法的原因主要是下面几点：对更好的理解魔方有很大帮助，甚至对魔方有了更深的认识，而更新对一个事物的认知，是一件很有意思的过程。就像解谜，解开一道谜题又发现了新的更好玩的谜题，这种永无止境的探索过程是很兴奋的。一个朋友以前觉得用公式还原魔方没意思，想通过自己的摸索还原魔方。降群法就刚好可以不用任何公式，只靠理解去还原。当然配合一些翻棱换角的公式会更高效。嗯…不过要是把理解的方法总结成套路的话…也可以算作公式吧~ 毕竟，世上本没有公式，用的人多了也就成了公式~最近在练盲拧，前面提到的很多情况也都和盲拧类似，盲拧和速拧不是一个体系，但和降群法好像有一些联系。虽然记忆力不如10年前的巅峰时期，神功不一定能练得成，或者即使练成了也很慢，但多学习总是没坏处的。身边有人开玩笑说学魔方可以预防老年痴呆，官方比赛中确实会有一些老年人参加，偶尔也会有一些老人玩魔方的新闻出现。比如去年的一个视频里一个63岁大妈盲拧复原成功，最后开心的像个孩子。前几天网上有一位74岁老人对玩魔方总结了三点：规律、认真、坚持。还有几年前，魔方吧里有篇帖子说一个一百多岁的老人用30年时间独立钻研出了一套自己的方法，类似CFOP。所以魔方能不能预防老年痴呆我不知道，但至少可以老有所乐吧。活到老~玩到老~哈哈~就酱~参考资料：最酷的玩法：Thistlethwaite Method魔方与群论Ryan Heise's Thistlethwaite TutorialWikipedia：群

魔方的玩法，通俗易学的方法，看看下面：方法/步骤一、首先对魔方有个直观的认识。许多朋友对魔方还没形成认识，上来就看公式和方法，面对模样相近的图例和公式，一下又反应不过来到底是哪个面对应着哪个面，不头晕太怪！1、各个面的符号表示方法。（个人习惯按下图方法摆放魔方，便于记忆，避免各个面的位置记混。）2、公式表示方法。（一定要记好，便于记忆和理解后面的公式。）将顶面按顺时针方向旋转90度。将顶面按逆时针方向旋转90度。将顶面向左或向右旋转180度。先解释一个公式。如：R’→U→F’ →U’公式含义就是：右面逆时针转90度→顶面顺时针转90度→前面逆时针转90度→顶面逆时针转90度。（非特别注明，旋转均为90度，在公式里省略。比如“U2”则表示顺时针旋转2个90度，即180度。是不是很好理解，以后遇到的公式都以此类推）3、魔方棱、面、顶角的区别。（至于多少棱、面什么的不要管它，记多了脑子肯定乱）记住一个规律：无论如何变换，棱角块永远在某个棱的位置，顶角块永远在某个顶角的位置，每一个面的最中间的中心块是固定不动的，且这个中心块的颜色决定了该面的颜色。再是白色面块与黄色面块位置相对，橙色面块与红色面块位置相对，绿色面块与蓝色面块位置相对。二、还原方法。（一）先拼一个以黄色块为中心的十字。（这步很容易）1、找到中间面块为黄色的一面，将此面朝上。2、先找各竖边中间有无白色的块，如有，将白色的块转到顶面就行。3、顺时针旋转90度，白色的棱块就会转到顶面。4、如果白色块不在中间，是下列情况，按下面方法转换。①棱块侧面白色移到顶位：公式：F’→U→L’ →U’ (以当前面为前面)★注：在运用公式时，如无特别注明，本文约定以正对自己的一面或当前面为前面，即F面。因此初学者在操作时，一定要弄清当前面，否则操作将失败。②竖向白色棱块转为横向。公式：F’（以前面F为例）③底层棱块到顶层。下面两图为两种情况：第一种情况：底层白棱（白色朝前）转到顶层。(U2→F→U→L’ )第二种情况：底层白棱（白色朝下）转到顶层。公式：D→R25、拼成的黄块为中心的十字。6、对齐白十字。对齐四个侧面棱块颜色，先随意找一个棱块，比如红色，其与中层面块的颜色不同。旋转中层，找到红色的面块并与红色的棱块对齐。向下翻转180度。其余三个面也照此法操作，下面是对好的白色十字。（二）对好白色底面和侧面的T字型。1、先找侧面右下角有无白色的顶角块。（这是最好处理的一种标准位）2、如图，顶角块的一面是绿色，旋转底层，找到有绿色中心面块的那一面，使绿色面与绿色中心面块同处于一个面。3、顺时针旋转左面。4、逆时针旋转底层，使白块与中层白棱块对齐。5、再逆时针旋转左面将白块归位，白色的顶角块就转换到了顶面。6、如果找不到上面所说的标准位白色块，就会是下面4种情况：B：R’→D’→R（标准位，右下角右位）C：F→D→F’→D’→F→D→F’（右上角前位）D：R’→D’→R→D→R’→D’→R（右上角右位）E：F→D’→F’→D→魔方整体右转（右面变前面）→F→D→F’→D180度→魔方整体左转（前面变右面）→F’→D’→F（右上角顶位，白面朝上）如遇到这种情况可完全不管它，也别费脑子记公式，因为在转换过程中，它总会被别的块替换下来。F: R’ →D180度→R→D→R’→D’→R（右下角底位。白面在底）7、对好的白底，只要完成了白底，那么四个侧面的T字形也就自然完成了。（三）对齐第二层。1、先把魔方翻过来了，白面朝下，上层凡带有黄颜色的魔块暂时不理。2、找到一个不带黄颜色的棱块，对齐棱块颜色，有两种情况：①情况1(目标位置在右前方红圈处)：U→R→U’→R’→U’→F’→U→F②情况2（目标位置在左前方红圈处）：U’→L’→U→L→U→F→U’→F’这两个公式助记词：“远切回回接孩子回家”，多揣摸理解一下。对齐后的二层。（四）对齐黄十字。会遇到下面三种情况，用公式F→R→U→R’→U’→F’解决。①点：随意摆放，黄色块朝上。公式用3次。②小拐弯：小拐弯的弯的方向要朝右前方，公式用2次。③直线：直线与你平行（或与前面平行）公式用1次。对成的黄十字。（五）对齐黄色顶。到这一步，会常遇到四种情况：1、小黄鱼。这种情形又分两种情况。操作时鱼头朝后，鱼尾朝自己。①将黄色块一顺朝右的称为小鱼1。其实就是黄色逆向排列。（R’→U’→R→U’→R’→U180→R）②将黄色块一顺朝左的称为小鱼2。其实就是黄色顺向排列。（F→U→F’→U→F→U180→F’）2、除“小黄鱼”以外的其余所有情况可以归结为两种情况，这两种情况用“二后四左”方法来解决。①顶面缺少两个黄色块，让后面角的那个黄色朝后。用小鱼1公式解决。②顶面缺少四个黄色块。让左后角的那个黄色朝左。用小鱼1公式解决。对齐的黄顶。（六）顶层角块顺序。1、找有无两顶角同色的顶边。2、将黄色面朝前方，两相同色顶角块朝右。公式：（R2→D2→R'→U'→R→D2→R'→U→R'）助记词：“两儿两逆，顺儿，逆又逆”，两个儿子都是逆子，老人无力顺其发展，结果更是逆上加逆，大逆不道。记住这个小故事是不是很容易记住公式了。3、三个魔块同色的边。（可视作两个顶角同色的边）公式同上。4、找不到两顶角同色的边，黄色面朝前，直接操作上面公式两遍。（七）调顶层棱块。操作时黄色朝上，不管遇到什么情况，黄色都朝上。会遇到4种情况：①三个棱块逆时针三轮换，全对上色的面在前，用小鱼1，之后转180°，再用小鱼2。（对新魔友来说，待转180°时，说不定早就忘记各个面朝哪了，你只记住一条就行“鱼头朝后”。）②三个棱块顺时针三轮换，全对上色的面在右，用小鱼2，之后转180°，再用小鱼1。③十字对换和相邻面对换情况，用小鱼1或小鱼2。（这种情况好识别，三个棱块不是逆时针和顺时针轮换，自然就是十字对换或相邻对换，图用脑补吧！）END注意事项1、玩魔方的关键点有两个：一是必须对魔方有个直观的认识；二是必须牢记六个面的方位和表示符号。只有记牢这两点，在理解公式和实际操作中就会容易领会贯通，看到一个公式字母，脑海里就自然而然映现出是魔方的哪个面。凡是脑子里一片混沌，弄不原理，总是将各个面弄混的，一定是这两点没记牢。2、有些文章，总致力于全面、细致，将各种情况密密麻麻罗列通篇，相信有些朋友还没学会，头早已大了。其实将一些关键的步骤说明就行，不必一一概全。待玩熟练了，自然会遇到各种情况。再是在掌握主要方法的同时，操作过程中一定会遇到各种各样的新问题，不用说，魔友也会自己找办法解决，不但提高了兴趣，而且还增强的记忆。3、操作要技巧：一是还原方法中的第一、二步骤不需死记硬背，关键是熟能生巧，无论是对齐黄色中心十字还是白色十字，都比较轻松简单，多玩几遍就能掌握。二是第三、四六步骤，记住“远切回回接孩子放学”和“两儿两逆，顺儿，逆又逆”两个形象的比喻就行。第五、七步骤只记住“小黄鱼”就能解决这两个步骤中所牵涉到的所有问题。4、操作过程中，每一步都要达到一个目标，哪个步骤达不到，说明该步骤出现了操作错误。容易犯错的原因有两个：一是将每个面的位置弄混；二是将旋转方向弄反。一旦发现不对，应返回上一步或重新从头开始操作，否则将不能正确还原。5、看文章有技巧，玩魔方学主要，脑子实在记不住那么多的话，只要记住7个步骤和关键词就行，很简单，就7步！其余情况等遇到时再对照解决。公式一定不要死记硬背！！多玩几遍，熟了自然就会！6、本文旨在抛砖引玉，使大家掌握基本的方法，对一些特殊的公式、约定、手法、出现的特殊问题和有关魔方的技术问题不再赘述，网上有关各类问题的专业解答都非常全面。更多了解点击上方关注！