记得小时候翻我爸爸的书柜，看到了一本很薄的小册子，书名叫做《集合与对应》。我本以为刚上初中的我是不会对这本书里面的内容感兴趣的，但是翻看了个开头我就被吸引了，因为一开始提到的问题是“自然数的个数和正偶数的个数哪个多呢？”后来又看到过一本非常经典的著作《从一到无穷大》，里面也用更形象的例子阐释了这个问题，那就是著名的“希尔伯特旅馆”。现在，我们就来一起欣赏一下伟大的康托尔（Cantor）构建的集合论中有关基数的一些伟大而美妙的思想吧。
一、无穷集合比较大小
到底自然数的个数和正偶数的个数哪个多呢？有人说，当然是自然数个数多，因为自然数包括正偶数；也有人说，这两类数的个数都是无穷大，所以应该是一样多。
这里面引出来一个很本质的问题，到底比较两个集合元素个数多少的标准是什么？虽然我们还是孩子的时候，就知道自己分了一个苹果而其他小朋友分到了两个苹果是不公平的，但是直到19世纪末，才由伟大的集合论开创者康托尔提出集合元素个数之间严格比较大小的标准。
我们平常靠数数的方法记录一个集合元素的个数，再依靠比较两个数字大小的方法来确定集合之间元素个数多少，这本质上是在拿一个集合的元素去与自然数集合的元素做对应。如果某个集合中的元素能够与从小到大排列的自然数某个子集建立一一对应，那么就认为这个集合中元素的个数就是自然数子集中最大的那个数。康托尔敏锐的意识到，集合之间元素个数多少的比较，本质上在于集合间的对应（映射）。由此，康托尔提出集合之间元素个数多少的判定标准：
如果两个集合A和B之间能够建立一一对应（集合论中将这种对应叫做双射），那么就说这两个集合的元素个数一样多，记作 \left
A \right
= \left
B \right
；如果能够建立A到B的单射（指每个A中的元素都对应一个B中的元素，且不同的A中元素对应的B中元素也不同），那么就说集合B的元素个数不少于A的元素个数，记作 \left
A \right
\leq \left|B\right
或 \left
B \right
\geq \left
A \right
。
对于元素个数有限的有限集来说，这种判定标准与日常人们熟悉的“数数”判定标准是一样的。一个有着100个元素的集合肯定能够与另外一个也有着100个元素的集合建立一一对应，但是绝不能与一个有着101个元素的集合建立起一一对应。
对于无限集来说，比如要解决自然数集合与正偶数集合的元素个数哪个多，“数数”的方法就行不通了。这时，我们就需要使用康托尔的判定标准。显然，我们可以在自然数集合与正偶数集合之间建立一一对应，
设N={1,2,3,……}是自然数集合，E={2,4,6,8，……}是正偶数集合，n \in N，e \in E，则建立集合N到E之间的映射f : N \rightarrow E为 e=f(n)=2n。
很容易验证上述映射是一个一一对应（双射），也就是每个n都对应着一个e，不同的n对应不同的e；每个e都有一个n来对应，对应不同e的n不同。这个映射的逆映射 f^{-1} : E\rightarrow N 是n= f^{-1} (e)= \frac{e}{2} 。由此我们知道了，自然数的个数与正偶数的个数是一样多的。
上面的这个对应正是希尔伯特旅馆那个小故事所说的情形。一个拥有无穷多间房屋的旅馆已经客满，每个房间都有人居住，现在又来了无穷多位旅客希望住店。对于有限间房屋的旅馆来说，客满后肯定无法容纳其他旅客了。但是对于这个有无穷间房屋的旅馆来说却没有问题，掌柜的可以让1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到4号房间，3号房间的客人搬到6号房间，……，这样搬完后，原来的每个旅客仍然有房间居住，同时腾出了全部奇数号房间可以容纳新来的无穷多位旅客。
其实，不仅仅是自然数和正偶数个数一样多，整数的个数和自然数的个数也一样多，正偶数的个数和全部偶数（包括0和负偶数）的个数也一样多，甚至是有理数的个数也和自然数的个数一样多。
大家都知道，有理数是很密集的，任给一个有理数q和一个任意小的正数 \varepsilon ，在q到q+\varepsilon之间都会有无穷多个有理数。即使如此，有理数的个数仍然和自然数一样多。下面我们给出一个从有理数集合到自然数集合的一一对应。
首先，我们用二维表格列出全部正有理数（存在重复），
然后按照上图中的箭头顺序逐一排列（考虑到上述所列出的有理数有重复，因此遇到与之前重复的有理数时，可以在排出的队列中将之去掉）并逐一对应到自然数上，就建立了一个自然数与正有理数的一一对应。这证明了正有理数的个数与自然数一样多。
如果想要建立全部有理数与自然数的一一对应也很简单，只要把正有理数对应到奇数上，把相应的负有理数对应到偶数上即可。
由此，我们知道了，很多有无穷多个元素的集合的元素个数是一样多的，比如有理数、整数、自然数、奇数、偶数，甚至是我们没有提到的代数数（属于某个以有理数为系数的多项式方程的根）。那么是不是像本文一开始说的，因为这些集合的元素个数都是无穷，所以它们的个数就都一样呢？是不是所有无限集的元素个数都一样多呢？
二、集合的基数
有了前面关于集合元素个数比较大小的标准，我们就可以定义一个概念——集合的基数。作为普及性文章，我们没有必要给出严格的基数定义，描述性的来说，基数就是一个集合元素的个数（集合的基数有时也被叫做集合的势）。
显然，对于有限集合来说，其基数就是这个集合的元素的个数，必然是一个自然数。但是对于无限集合来说，由于其元素个数无穷多，没有一个自然数能够表示，我们需要定义一些新的“数”。我们首先定义自然数的个数是 \aleph_{0} （这个符号来自于希伯来字母，可以读作阿列夫，自然数的个数就是阿列夫零）。显然，根据第一部分的分析结论，我们知道有理数、整数、奇数、偶数、代数数的个数都是 \aleph _{0} 。
（一）比\aleph _{0}还大的基数
那么，有没有比\aleph _{0}还大的基数呢？我们来考察一下“似乎”比有理数还密集的实数，看看实数的个数和自然数的个数哪个多？为了更清晰的比较实数的个数与自然数的个数，我们按照如下步骤开展分析：
1、实数可以与数轴上的点一一对应
实数与数轴上的点是一一对应的，这也正是坐标系成立的基础。只要定义一个原点，并规定原点对应实数0，那么原点右边的点到原点的距离就是这个点对应的实数，原点左边的点到原点的距离的相反数就是这个点对应的实数。这些知识都是初中知识了，不再赘述。
2、（0,1）开区间上的实数可以与长度为1的线段上的点（不含端点）一一对应
这个对应关系与前面说的实数与数轴上点的对应关系是一样的。
3、长度为1的线段上的点（不含端点）可以与数轴上全部的点一一对应
我们把长度为1的线段从终端折成90度角，然后按照下图的方式与数轴上的点建立一一对应，从图中很直观的可以看到这种一一对应关系（点A对应数轴上的点A'）。
4、（0,1）开区间上的实数必然与全体实数一一对应
根据1~3的结论，（0,1）开区间上的实数与长度为1的线段上的点（不含端点）一一对应，而长度为1的线段上的点与数轴上全部的点可以一一对应，数轴上全部的点可以与全体实数一一对应，那么（0,1）开区间上的实数当然就与全体实数一一对应了。
由此，我们可以知道，（0,1）开区间上的实数的个数是与全体实数的个数一样多的。
5、研究（0,1）开区间上的实数与自然数之间的对应关系
设自然数集合为N，（0,1）开区间上的实数的集合为Rs。显然，我们很容易建立一个从N到Rs的单射。比如自然数376，我们可以让它对应实数0.376；自然数6890对应0.0689；自然数1000对应0.0001；……
这种对应关系描述为：如果一个自然数不以0结尾，则它对应的（0,1）区间的实数为在这个自然数的左边加上0和小数点；如果一个自然数以m个0结尾，则它对应的（0,1）区间的实数为在这个自然数左边加上0、小数点和m个0。这种对应显然是一个单射，每个自然数都对应着一个（0,1）区间的实数，而且不同的自然数对应的实数不相同。
其实这种单射可以找到无穷多种，感兴趣的朋友可以自己再定义几种。
按照康托尔的标准，既然可以建立这种从N到Rs的单射，我们说自然数N的个数小于等于（0,1）区间实数的个数，记作 \left
N \right
\leq \left
Rs \right
。下面，我们来看看有没有可能\left
N \right
= \left
Rs \right|。
如果\left
N \right
= \left
Rs \right|，那么意味着可以建立一个从N到Rs的一一对应（双射）。我们假设这个双射已经建立成功，可以用如下序列表示这个对应，1\leftrightarrow 0.a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}...... 2\leftrightarrow0.a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}...... 3\leftrightarrow 0.a_{31}a_{32}a_{33}a_{34}...... 4\leftrightarrow0.a_{41}a_{42}a_{43}a_{44}......
……
其中的每个 a_{ij}\in \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 \}。下面我们再构造另外一个数b，令b=0.b_{11}b_{22}b_{33}b_{44}...... ，且 \forall b_{ii}, b_{ii}\ne a_{ii}
也就是说，b里面的每一个 b_{ii}与对应的 a_{ii} 都不相同。这点很容易做到，比如当 a_{ii}\ne 9 时，令 b_{ii}=9 ；当 a_{ii}=9 时，令 b_{ii}=1 。
构造出来的这个数b显然也是（0,1）区间的一个实数，既然建立了从N到Rs的双射，b应该也对应着某个自然数n。但很容易知道，对应自然数n的实数为
0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}...a_{nn}...... ，它的第n位小数是 a_{nn} ，与b的第n位小数 b_{nn} 不相等，这意味着这两个实数不同。由于n是任选的，也就是说构造出来的b与上面序列中任意一个（0,1）区间的实数都不同，b不在上面的序列之中，出现了矛盾。（这个反证法被称为康托尔对角线方法）
于是我们知道，自然数集合无法与（0,1）区间上的实数建立起一一对应，即 \left
N \right
\ne \left
Rs \right
。既然\left
N \right
\leq \left
Rs \right|，而且\left
N \right
\ne \left
Rs \right|，那么我们得到了\left
N \right
< \left
Rs \right
的结论。也即，（0,1）区间上的实数的个数比自然数多。
由于前面已经说明了，（0,1）区间上的实数个数和全体实数个数是一样多的，这也就意味着，实数的个数要比自然数多，当然也比有理数、奇数、偶数、整数、代数数的个数要多。
这个结论是康托尔（Cantor）的一个伟大的发现，它告诉我们并不是无穷大的数都一样，它使我们迈出了准确认识无限集并能够进行数学分析的第一步。我们把实数集合的个数记作 \mathfrak{c}=2^{\aleph_0} （至于为什么等于 2^{\aleph_0} ，后面会提到），它也是数轴上点的个数、射线上点的个数、线段上点的个数、无理数的个数、超越数的个数、……。
（二）有比 \mathfrak{c}=2^{\aleph_0} 还大的基数吗?
面对这个问题，很多朋友会直觉的认为，既然 \mathfrak c 是直线上点的个数，那么一个平面上拥有无穷多条直线，当然平面上点的个数会多于直线上点的个数啦。可惜这个“想当然”的直觉是错误的。因为我们可以用如下方法建立一个平面上点到直线上点的一一对应的关系，这里面要用到平面直角坐标系。
1、建立“第一象限及正X轴上的点”到“数轴正半轴上的点”的一一对应
设某个平面上的点坐标是（x，y），且 x>0 、 y\geq 0 （表明这是第一象限及正X轴上的点）。我们把x和y表示成小数的形式，例如，
x = 20300 . 09803300021 ……
y = 00015 . 14089001200 ……
注意到我们把y的整数部分补上了零，小数部分也补上了零，都是补齐为止。如果是无限小数，就在小数部分补上无穷个零。
然后，我们按照分出来的段把这两个实数拼成一个实数，拼接的方法是这样的，对于整数部分，从右向左先写x的第一位数，再写y的第一位数，然后是x的第二位，y的第二位，一直到写完整数部分；对于小数部分，从左向右，也是依次写x的第一位小数、y的第一位小数、x的第二位小数、y的第二位小数，一直到写完或者永远写下去（无穷小数）。这样，上面的两个实数就对应到了如下的实数r，
r = 200031050 . 0194800839300001022010……
同样，对于任意一个正实数，也可以按照上述规则把它拆成两个实数，从而对应到一个坐标点。
于是，我们就把“第一象限及正X轴上的点”与“数轴正半轴上的点”建立了一一对应。
2、“数轴正半轴上的点”是与射线（不含端点）的点一一对应的，由此，我们建立了“第一象限及正X轴上的点”到一条不含端点的射线上的点的一一对应。
3、类似的，我们可以把原点除外的另外三个个象限及对应半个坐标轴上的点与三条射线对应起来，一共得到四条射线（不含端点）。
4、因为射线上的点可以对应到线段上，我们就得到了四条线段（不含端点）。其实不含端点的线段和含端点的线段也是可以建立一一对应的（朋友们可以自行思考或查找证明），于是我们把得到的四条线段（有无端点可以随意组合）合并成为一条长线段，再与直线建立一一对应。
综上，我们就得到了平面上的点与直线上的点的一一对应。其实构建这类对应关系的方法很多，上述方法不算最简洁，但是相对容易用文字说明，如果理解了拓扑的基本知识，可以有更简洁的对应方法。但是，这里面有一点值得注意，平面上的点到直线上的点的一一对应不可能是连续（这里连续的意思是指如果平面上两个点无限接近，那么对应到直线上的两个点也无限接近）的，上述的拼接过程正是一种不连续的对应，这是因为高维到低维的连续一一对应是不可能的。
既然平面上的点和直线上的点一样多，那么空间中的点呢？其实也是一样的，即使是n维空间中点的个数也是和直线上点的个数一样多的。那么，到底是否存在比 \mathfrak c = 2^{\aleph_0} 还大的基数呢？答案是肯定的。
（三）一个集合所有子集构成的集合的基数一定比原来的集合基数要大
这个结论是康托尔给出的，它使得我们对集合的认识进一步加深。我们先举一个有限集的例子看看。
比如集合A={苹果、葡萄、香蕉}，显然 \left
A \right
= 3 。它的所有子集有空集 \phi 、{苹果}、{葡萄}、{香蕉}、{苹果、葡萄}、{苹果、香蕉}、{葡萄、香蕉}、{苹果、葡萄、香蕉}，一共有8个子集，显然A的所有子集组成的集合的基数是8，8当然大于3。一般的，当 \left
A \right
有限时，A的所有子集构成的集合的基数为 2^{\left
A \right|} 。
其实对于无限集，子集之集合的基数大于原集合的基数这个结论也成立。下面我们给出一个简洁的证明。
对于一个集合A，它的所有子集构成的集合设为S。显然很容易建立一个从A到S的单射，这只要让A的中任一元素a对应到S中的元素{a}即可，这说明 \left
A \right
\leq \left
S \right
。
然后我们再用反证法证明 \left
A \right
\ne \left
S \right
。
假设\left
A \right
= \left
S \right
，那么就可以在集合A与S之间建立一一对应，设这个对应为 f : A\rightarrow S 。
对于某个 a\in A ，相应的 f(a)\in S ，也即f(a)是A的一个子集。如果 a\notin f(a) ，那么我们就把这个a叫做“集合A中不自属的元素”，意思是它不属于自己对应的那个子集。此类不自属的元素会构成一个集合B={ a
a\in A
且 a\notin f(a) }，这个集合B当然是A的一个子集。也就是 B\in S 。因此，存在一个A中的唯一元素b，它正好对应着A的这个子集B，即\exists \ b\in A,\ B=f(b)
此时，如果我们考察b是否属于B，就会出现矛盾，
如果 b\in B \Rightarrow b \in f(b) ，根据B的定义，得到 b\notin B ；
如果 b \notin B \Rightarrow b\notin f(b) ，且已知 b\in A ，根据B的定义，得到 b\in B 。
这个矛盾告诉我们，在集合A与S之间建立一一对应这个假设是错误的，也就是说明 \left
A \right
\ne \left
S \right
。于是我们知道， \left
A \right
< \left
S \right
。一个集合所有子集构成的集合的基数要比原集合的基数大。
所以，实数集合的所有子集组成的集合的基数必然要大于实数集合的基数 \mathfrak c ，而新集合的所有子集组成的集合的基数还要更大，以此类推，以致无穷。
三、连续统假设
了解了集合的基数概念，我们就可以引出著名的连续统假设了。这是希尔伯特23个问题中的第一个问题，也是一个很难说是否真正得到解决的一个问题。
通过前面的介绍，我们知道了自然数的个数是 \aleph_{0} ，实数的个数是 \mathfrak c = 2^{\aleph_0} 。我们还知道了一个集合的子集构成的集合（有时也被称为这个集合的幂集）的元素个数比原集合还要大。因为对于有限集合A，其幂集的基数为 2^{\left
A \right|} ，所以我们可以把这种表示形式推广到无限集上。于是，自然数集合的幂集的基数可表示为 2^{\aleph_{0}} 。
康托尔证明了自然数集合的幂集可以与实数集合建立一一对应，这也是为什么我们把实数集合的基数记作 2^{\aleph_{0}}=\mathfrak c 的原因。康托尔由此猜想，不存在大于 \aleph_{0} 而小于 2^{\aleph_0} 的基数。也就是说，不存在这样的集合，它的元素的个数比自然数多而比实数少。这就是著名的连续统假设。
进一步推广下去，如果我们定义 \aleph_{n} = 2^{\aleph_{n-1}} ，由此得到一个序列 \aleph_{0}、\aleph_{1}、\aleph_{2}、…… 。我们猜想，不存在一个无限集的基数在这个序列之外，这就叫做广义连续统假设。
连续统假设曾经是一个世界级难题。它的解决过程大概是这样的：
1、1931年，哥德尔证明了著名的“哥德尔不完备定理”
在哥德尔的这篇论文中，他证明了蕴含了自然数的公理体系中，一定存在既不能被证明也不能被证伪的命题（有关哥德尔不完备定理的相关介绍，可以参见我在本专栏的长文《哥德尔不完备定理到底说了些什么》）。这个结论引起了巨大的轰动，它直接导致希尔伯特23个问题中的第2个问题“关于公理体系一致性的证明”是不可能的。这个结论当时还看不出与连续统假设有什么关系，但是事物的发展总是出乎人们的意料。
2、1938年，哥德尔证明了连续统假设与ZFC公理体系是无矛盾的
ZFC公理体系是人们建立的关于集合论的基本公理体系，它由9个公理和1个选择公理组成。这9个公理是外延公理、对偶公理、空集公理、子集公理、并集公理、幂集公理、无穷性公理、替换公理和正则公理。从ZFC基本公理出发，可以推导出集合论的全部结论。
哥德尔1938年证明的结论，是说连续统假设与ZFC公理体系无矛盾，也就是说在ZFC公理体系中不可能证伪连续统假设。
如果没有1931年哥德尔不完备定理的成果，不能证伪也许就意味着被证明了。但是，1938年人们已经知道，不能证伪只是意味着这个命题在ZFC公理体系中无矛盾，但并不一定能够在ZFC公理体系中得到证明。
3、1963年，P.J.科恩证明了连续统假设对ZFC公理系统是独立的，是不可能判定真假的
这就是我们今天关于连续统假设得到的最确切的结论。也就是说，在ZFC公理体系中，既不能判定连续统假设为真，也不能判定连续统假设为假，它是与ZFC公理体系相独立的。这就像平行公理并不依赖于欧几里得几何公理体系一样。
在几何学中，如果我们认定平行公理成立，可以推导出平直空间的几何体系；如果我们认为平行公理不成立，还可以推导出非平直空间的几何体系（如黎曼几何、双曲几何）。同样的，在集合论中，如果我们认为连续统假设成立，可以得到一套集合论体系；如果我们认为连续统假设不成立，并给出新的假设，那么就会得到一系列新的集合论体系。这样一个结论是否能够叫做解决了连续统假设呢？我不知道。但是我猜想，大数学家希尔伯特把连续统假设作为第一个问题提出来，不会希望仅仅得到这样一个结论。也许更理想的情况是像平行公理假设一样，我们能够研究清楚连续统假设成立和不成立的不同情况下，会形成什么样的集合论？是否会出现更精美、更强大的数学工具，更好的推动数学的发展？