如何求分式极限运算法则公式？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-10-22 07:50 标签： 分式极限运算法则公式
函数的极限第一步：判断极限类型1、 \frac{0}{0} 型常用方法：①洛必达法则
②等价无穷小代换
③泰勒公式2、 \frac{∞}{∞} 型常用方法：①洛必达法则
②分子分母同除以分子和分母各项中最高阶的无穷大③基本极限： \lim_{n \rightarrow∞}{\frac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}}} 当n=m时，极限等于 \frac{a_m}{b_m} ,当n＜m时，极限等于0，当n>m时，极限等于+∞.3、∞-∞ 型常用方法：①通分化为 \frac{0}{0} （适用于分式差）②根式有理化（适用于根式差）③提无穷因子，然后等价代换或变量代换（t= \frac{1}{x} ）、泰勒公式4、0 · ∞ 型常用方法：f(x)由分子变为分母\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}，化为\frac{0}{0} 型或\frac{∞}{∞} 型5、 1^∞ 型常用方法：①凑基本极限 lim[1+\varphi(x)]^{\frac{1}{\varphi(x)}}=e，其中lim\varphi(x)=0（\varphi(x)≠0） ②改写成指数
lim[f(x)]^{g(x)}=\lim_{}{e}^{g(x)lnf(x)}，用洛必达法则；③利用结论：若lim\alpha(x)=0,lin\beta(x)=∞,且lim\alpha(x)lim\beta(x)=A,则lim[1+\alpha(x)^{\beta(x)}]=e^A 6、 ∞^0和 0^0 型这类函数一定是幂指函数，即
lim[f(x)]^{g(x)} ，求解的方法式将其改写为指数形式 lim[f(x)]^{g(x)}=\lim_{}{e}^{g(x)lnf(x)}，从而就化为0 · ∞ 型。第二步：化简原式a）两式相加减时考虑：①提取极限非零的公因子 ②拆开后等价无穷小代换（拆开的条件：加法两式相除的极限≠-1，减法两式相除的极限≠1，即若 \alpha\sim\alpha_{1}，\beta\sim\beta_{1}，且\lim_{}{\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}}=A≠-1 ，则 \alpha+\beta\sim\alpha_{1}+\beta_{1} \alpha\sim\alpha_{1}，\beta\sim\beta_{1}，且\lim_{}{\frac{\alpha_{1}}{\beta_{1}}}=A≠1 ，则 \alpha-\beta\sim\alpha_{1}-\beta_{1} ）b）看见根号相加减时，考虑有理化c）分母为 x^{n} ，分子为sinx，cosx， e^{x} ，ln(1+x)时，考虑泰勒公式d）幂指函数时：先改写幂指函数为指数函数，再等价代换当 \alpha(x)\rightarrow0,\alpha(x)\beta(x)\rightarrow0,则(1+\alpha(x))^{\beta(x)}-1\sim\alpha(x)\beta(x) 数列的极限常见的数列极限有：1、不定式与函数极限方法相同，但注意不能直接使用洛必达法则，要先改写为函数极限才可以使用2、n项和的数列极限常用方法
①夹逼原理 ②定积分定义
③级数求和当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级，使用夹逼原理（如 n^2+1 , n^2+2 中1、2为变化部分， n^2 为主体部分。）当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级，使用定积分定义（ 如n^2+1^2,n^2+2^2 ）一种常见的极限式： \lim_{n \rightarrow ∞}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{f(\frac{k}{n})}}=\int_{0}^{1}f(x)dx 3、n项连乘的数列极限常用方法： ①夹逼原理
②取对数化为n项和4、递推关系 x_{1}=a,x_{n+1}=f(x_n) (n=1,2,...) 定义的数列极限常用方法:①当数列具有单调性时：先证明数列收敛（单调有界准则），然后令 \lim_{n \rightarrow ∞}{x_n}=A ，等式 x_{n+1}=f(x_n) 两端取极限得A=f(A)，由此求得极限A②当数列不具有单调性或单调性很难判定时：先令\lim_{n \rightarrow ∞}{x_n}=A ，然后等式 x_{n+1}=f(x_n) 两端取极限得A=f(A)，由此求得极限A，得到极限初步结果，最后再证明令\lim_{n \rightarrow ∞}{x_n}=A .证明数列极限的“通法框架”：（引用 来源：跌落的小刀链接：https://www.zhihu.com/question/21068499/answer/1156867616）一个数列极限为A在图形上（即数列的散点图）可表示为①②③三种形态，对①②③三种形态来说，均可使用夹逼定理进行计算，但是对于①②两种形态的数列来说有更为简便的证明方法，即是单调有界准则，而对于③这一种形态的数列来说只能运用夹逼定理进行证明；一个问题的讨论：数列的有界性（①②③三种形态）和单调性（①②两种形态）谁依附于谁？是先证明单调性还是先证明有界性？答案是有界性。因为对于夹逼定理而言，我们需要进行放缩处理（可以结合下面的例题进行思考），而放缩的关键就是数列的有界性必须知道；对于单调有界准则而言，单调性的证明（邻项相减、相除、求导）又依赖于数列有界性；如何证明有界性？我们可以看到数列的极限A在数列的有界性中扮演着重要角色，所以我们需要先求出A。这一步其实很简单，我们可以先假设数列极限存在并为A，利用已知条件解方程求出A即可，之后再证明数列极限的存在就可以了（因为我们是先假设极限存在的）。求出A之后一切就都明了了，我们可以求出数列的前几项的具体数值，然后与A进行比较，就可以知道此数列是①②③中的哪种形态了。然后所有的东西就已经陈列在我们面前：是运用夹逼还是单调有界？是单调增还是减？以及数列的界限在哪也很清楚了。然后我们就可以猜测数列的界限了，当然猜完之后我们还需要证明，也就是许多教科书上运用的归纳法，总的来说单调性的证明就是先猜后证；如何证明单调性？单调性的证明方法就是：邻项相减、相除、求导；方法的选择：“单调有界准则”or“夹逼定理”？当我们判断出所求数列属于①②③中的哪种形态时，就可以知道应该使用哪种方法了。对①②③来说均可以使用夹逼定理；对①②来说既可以使用夹逼也可以使用单调有界，但是具体哪个证明方法更简单，就因题而异了；总结：数列极限证明流程第一步：先假设极限存在并设为A，然后利用已知条件求出A（通常是解方程），继而判断出所求数列属于①②③中的哪种形态；第二步：由第一步判断出所求数列的形态后，就可以根据数列形态猜测数列的界限了，然后运用归纳法对数列界限进行证明；第三步：当所求数列属于①②形态时既可以运用夹逼亦可以运用单调有界准则，至于哪个更简单可以自主选择；所求数列属于③形态时，只能运用夹逼；第四步：单调性的证明（只有数列是①②形态时才进行单调性证明），考研考的都是这种，方法是邻项相减、相除、求导；

我要回帖

更多关于 分式极限运算法则公式 的文章

 

随机推荐