虚数总是让我感到困惑。 就像理解 e 一样，现有的大多数解释无外乎这两种：它是一种数学抽象，用方程式可以计算，搞定它。它用于高等物理学，相信我，上大学就懂了。天哪，这是鼓励孩子数学的好方法？！今天就用我们最喜欢的工具来聊聊这个话题：关注关系，而不是机械的公式。将复数视为对我们数字系统的升级，就像零、小数和负数一样。使用可视化图表来理解这个想法，而不仅仅是文字。还有我们的秘密武器：类比方法。我们将通过与它的先辈——负数，来理解它。比如：有趣的事实负数(-x)复数（a+bi)“寻找什么答案”3-4是多少？（-1）的开根号是多少比较奇怪的地方怎能比没有还要少？怎能给小于0的数开根号？直觉的含义“相反的”“旋转”被认为是荒谬的直到1700s今天与乘法的模式1，-1，1，-1。。。x，-x，x，-x。。。1，i，-1，-I。。。x，y，-x，-y。。。坐标系用法从原点向后绕原点转圈测算大小绝对值sqrt（-x)^2毕达哥拉斯理论：sqrt(a^2+b^2)这并没什么，但坚持下去，到最后，我们将会对 i 的理解融会贯通，而不再是一头迷雾。你真的理解负数吗？真正理解负数并不容易。假设您是 1700 世纪的欧洲数学家，你知道有 3 和 4，并且知道4 – 3 = 1，很简单。但是： 3-4 呢？ 这到底是什么意思呢？怎么能从3头奶牛中取出4头？ 怎么能有比0还少的呢？负数被认为是荒谬的，它“使方程的整个学说黯然失色”（Francis Maseres，1759）。 然而今天，认为负数不合逻辑或没有用才是荒谬的。 试着问下你的老师负数是否破坏了数学的基础。到底发生了什么？ 我们发明了一个有用的理论数字。 负数不是我们可见可触的东西，但它很好地描述了某些关系（如债务）。这是一个不错的故事。与其说“我欠你 30”并从字面上理解是多了还是少了，还不如写个“-30”就知道我陷入困境。 如果我赚钱了并偿还了债务（-30 + 100 = 70），就可以轻松记录下这个交易。之后我有+70，这很清楚。而且正负号会自动跟踪方向——你不需要用语言来描述每笔交易。数学变得更容易，更优雅。 归根到底来看，是否“有形”并不重要——有用才重要，现今它已成为我们的日常用品。 今天，如果今天还有人不理解负数，那你可能就会鄙视他了。但我们不要对这场斗争沾沾自喜：负数其实是一种巨大的心理转变。即使是发现 e 的天才欧拉也不像我们今天那样理解负数，它们被认为是“毫无意义”（他后来还是弥补了这一点）。今天的孩子应该理解曾经让古代数学家感到困惑的想法，这证明了我们心智的潜力。引入虚数虚数也有类似的故事。 我们一直可以求解这样的方程：x^{2}=9 答案是3和-3。如果我们将负号放在右边呢？x^{2}=-9 这个问题让大多数人在第一次看到它时会感到为难。你想要一个小于零的数的平方根吗？ 这太荒谬了！ （从历史上看，当有些真正的问题需要回答时，我喜欢成为一个聪明人。）这似乎很疯狂，就像负数、零和无理数（非重复数字）一开始看起来很疯狂的样子。 这个问题没有“真正”的意义，对吧？不对。 所谓的“虚数”其实与其他所有数字都是一样的：它们是描述世界的工具。本着假设 -1、0.3 和 0“存在”的精神，让我们假设某个数字 i 存在，其中：i^{2}=-1 也就是说，你将 i 乘以自身得到 -1。 接下来会发生什么？好吧，首先我们会头疼。 但是玩“假设i存在”的游戏实际上让数学变得更简单、更优雅。此时，出现了我们可以轻松描述的新关系。你可能不相信 i，就像那些糊涂的老数学家不相信 -1 一样。 新的、令人费解的概念很难理解，被认为没有意义，就像欧拉一样。但正如负数向我们展示的那样，奇怪的概念仍然有用。我不喜欢“虚数”这个词，因为它被认为是一种侮辱，一种诽谤，伤害了我们对 i 的感情。数字 i 与其他数字一样正常，但仅被“虚数”这个名子给被蒙住了。图形化理解负数和复数让我们再看看方程： x^{2}=9 ，它可以写成：1*x^{2}=9 或是：
1*x*x=9 是什么转换了两次后，将1变为了9？答案是3或是-3。也就是说，你可以“扩大3倍”或“扩大3倍并翻转”（翻转或取反是乘以负数的一种解释）。现在让我们想想 x^{2}=-1 ，它其实是：1*x*x=-1 那是什么转换了两次后，将1变为了-1？答案是：你不能将一个正数乘以两次，因为其结果也是正的；你也不能将一个负数乘以两次，因为其结果也是正的；旋转一下如何呢？看起来有点疯狂。但如果我们将x想象为“旋转90 度”，那么两次x将是旋转180 度，或者从 1 到 -1 的翻转！从1到-1的转换oh！如果我们再想一想，我们可以向另一个方向（顺时针）旋转两次，将 1 变成 -1。这是“负”旋转或乘以 -i：正和负旋转如果我们乘以 -i 两次，第一次会将 1 变成 -i，第二次将 -i 变成 -1。 所以 -1 就有两个平方根：i 和 -i。完美，我们有了某种答案，但这意味着什么？i 是一个“新的虚数维度”，用于量化一个数字i（或 -i）是旋转时“变成”的数字 乘以 i 是逆时针旋转 90 度 乘以 -i 是顺时针旋转 90 度 两次旋转在任一方向上都是 -1：它使我们回到正数和负数的“常规”维度。数字变成了二维。是的，这是令人费解的，就像小数或长除法对古罗马人来说是令人费解的。 （1 和 2 之间有一个数字是什么意思？）。 这是一种奇怪的、新的思考数学的方式。“我们如何分两步将 1 变成 -1？” 这个问题已找到了答案，即将其旋转 90 度。 这是一种奇怪的、新的思考数学的方式。 但它很有用。 （顺便说一句，这种对复数的几何解释直到 i 被发现几十年后才出现）。另外，请记住，逆时针为正值这是人类的惯例——它很容易转换。发现模式让我们深入了解一下细节。 负数乘法（如 -1）有一个模式：1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1，…… 因为 -1 不会改变数字的大小，只是符号来回翻转。 对于某些数字“x”，就会得到：x，-x，x，-x，x，-x，……这个想法很有用。 如果数字“x”代表一周的发质好坏。假设在好与坏之间交替， 47 周后会怎样？x*(-1)^{47}=x*(-1)=-x 所以 -x 意味着有糟糕的发质的一周。请注意负数如何“跟踪符号”，我们不用一个一个地数了，将 （-1）^{47} 扔给计算器就可以了，的确，来回翻转的事物可以用负数很好地建模。好的。 现在如果我们继续乘以 i 会发生什么？1，i，i^{2}，i^{3}，i^{4}，i^{5} 很有意思，我们一个一个看：1=1（没有问题）i=i（没有太多要说）i^{2}=-1 （这是 i 的定义）i^{3}=i^{2}*i=-1*i=-i （反时针转3次=顺时针转1次）i^{4}=(i*i)*(i*i)=-1*-1=1 (转一个整圆)i^{5}=i^{4}*i=1*i=i (重新开始）图形表示为：每 4 圈循环一次。 这是有道理的，对吧？ 任何孩子都可以告诉你，左转 4 次与完全不转是一样的。 现在，与其关注虚数 （i,i^{2}) ，不如看看一般模式：X, Y, -X, -Y, X, Y, -X, -Y... 就像负数模拟翻转一样，虚数可以模拟在两个维度“X”和“Y”之间任何旋转的东西或者任何具有循环及循环关系的东西。有什么想法吗？“因为如果你不这样做，那将是一种罪过。”——de Moivre。理解复数还有一个细节需要说明：一个数字可以既是“实数”又是“虚数”吗？谁说我们必须旋转整个 90 度？ 如果我们将一只脚放在“实轴”维度，另一只脚放在虚轴上，就像这样：我们处于 45 度角，实部和虚部 (1 + i) 相等。 这就像小猪和电线杆——谁说你需要选择？事实上，我们可以选择实数和虚数的任意组合来组成一个三角形。该角度就是“旋转角度”。 复数是具有实部和虚部的数字，记为 a + bi，其中： a 是实部 b 是虚部还不赖。但还有最后一个问题：复数有多大？ 我们不能孤立地量算实部或虚部，因为那样会错过大局。让我们退后一步。 负数的大小就是它与零的距离。 在负数的情况下，这是： -x=\sqrt{(-x)^{2}}=|x
这是另一种求绝对值的方法。 但是对于复数，我们如何测量 90 度角的两个分量？它是一只鸟……它是一架飞机……它是毕达哥拉斯！天哪，他的定理无处不在，甚至在2000年之后发明的数字也是如此。是的，我们正在作一个三角形，斜边是到0的距离：a+bi=\sqrt{a^{2}+b^{2}} 虽然测量大小并不像“去掉负号”那么容易，但复数确实有其用途。 让我们来看看。一个现实的例子：旋转我们不会等到大学物理才使用虚数。 让我们今天试试看。 关于复数乘法还有很多要说的，但请记住这一点：乘以一个复数相当于旋转了它的角度。假设我在船上方位是北 4 个单位，东 3 个单位。我想逆时针改变航向 45 度。新的航向是什么？一些人会说“这很简单！ 只需取正弦，余弦，切线的 ，……，量......和......“。抱歉，弄坏你的计算器了吗？ 想再次回答这个问题吗？让我们尝试一个更简单的方法：我们在 3 + 4i 的航向（那个角度是什么都可以），并且想要旋转 45 度。 好吧，45 度是 1 + i（完美对角线），所以我们可以乘以这个量！思路如下：原始航向：东 3 个单位，北 4 个单位 = 3 + 4i 逆时针旋转 45 度 = 乘以 1 + i。 （这就是为什么乘法而不是加法执行旋转。）如果我们将它们相乘，我们得到：（3+4i)*(1+i)=3+3i+4i+4i^2=-1+7i 所以我们的新方向是向西 1 个单位（-1 东）和向北 7 个单位，你可以绘制并跟随。不对！我没有用正弦或余弦，也没有向量、矩阵或跟踪我们所处的象限。这只是将带有一点代数的算术交叉乘法了。 虚数具有旋转规则：它是正确的。更好的是，结果是有用的。我们有一个航向 (-1, 7) 而不是一个角度（atan(7/-1) = 98.13，并记住我们在象限2）。确切地说，你打算如何绘制并沿着该角度呢？你随身带着量角器？不，你会将其转换为余弦和正弦（-.14 和 .99），找到它们之间的合理比率（大约 1 到 7），然后勾勒出三角形。无需计算器，复数立即、准确地击败它。如果你像我一样，你会发现这种用法令人兴奋。 如果你不这样做，那么，恐怕数学不会对你很友好。 对不起。三角学很棒，但复数会使丑陋的计算变得简单，例如计算 cos(a+b) 。另外：有些人认为“嘿，要使用北/东航向而不是角度！” 真的吗？ 好吧，看看你的右手。 从小指底部到食指顶部的角度是多少？好吧，自己解决这个问题。复数不是看看第一个图表——现在应该有意义了。这些美丽、滑稽的数字还有很多，但我的大脑很累。 我的目标很简单：让你相信复数被认为是“疯狂的”但很有用（就像负数一样） 展示复数如何让某些问题变得更容易，比如旋转。 多年来，虚数一直是我帽子里的一只蜜蜂——缺乏直观的洞察让我感到沮丧。现在我终于明白了，我迫不及待地分享它们。 但让我感到沮丧的是，你是在一个疯狂的博客上而不是在教室里读到这篇文章的。 我们扼杀了一些问题——因为我们不搜索和分享干净、直观的见解。但点燃蜡烛总比诅咒黑暗好：这是我的想法，你们中的一个人或将成为聚光灯。那些认为已经“弄清楚了数字”的人的想法是让我们留在罗马数字领域的原因。快乐数学。尾声：但他们还是很奇怪！我知道，他们对我来说仍然很陌生。 我试图让自己成为第一个发现 0 的人。0 是一个如此奇怪的想法，有“某物”代表“无”，它害怕罗马人。复数也是类似的——这是一种新的思维方式，零和复数都使数学更容易。 如果我们从未采用过奇怪的新数字系统，那我们还在数着指头呢。 让我们保持开放的心态：将来他们会笑说，即使在 2000 年之前，复数都曾被人怀疑过。如果您想了解更多细节，请查看维基百科、Dr. Math 讨论或关于虚数存在的原因的其他论点。引译：https://betterexplained.com/articles/a-visual-intuitive-guide-to-imaginary-numbers/