为什么要引出有理数和无理数概念的概念，为什为什么要引出有理数和无理数概念？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-09-11 13:51 标签： 有理数和无理数概念
如果你用“无限不循环小数”定义实数，推荐学习张筑生老师的《数学分析新讲》，不太厚，嗯，很苏式的一本书，苏联教材的特点就是“最适合懂得人收藏，查阅的时候逻辑严密巨方便，不会的人读不懂”……一般数学分析书讲实数理论引入定义都是戴德金分割国内按照这个套路引入的书估计就这本《数学分析新讲》吧。然后学完实数这一部分就知道确界定理，区间套，魏尔斯特拉斯等等几个定理是等价的。实数的核心性质就是这个，比较容易表达的方式就是确界定理。实数集能定义一个序来比大小。你在实数里面圈一个有上界的集合，那么它一定有一个上确界，而且这个上确界一定也在实数集里。相反你在有理数集里面可以定义出一种集合，它有界，但是它的确界不在有理集内。例如你把所有前n个正整数平方分之一求和组成一个集合，很明显，这个集合里都是有理数，都可以写成分数。同时，你可以证明集合中所有数都小于2。但是它在有理数集里没有上确界。你找不到这样一个有理数，它比该集合中任何一个数大的同时，再小一点点就不能作为该集合的上界了。这个上确界就是一个无理数，而且它还不是任何整系数代数方程的根，它是一个超越数。然后戴德金分割其实就是用这个思路定义实数……公理化定义就是几个公理轱辘转……另外，开方并不是一种普通运算，想想开方那个过程，那和加减乘除能一样吗？那就是个求极限逼近的过程，就是这个逼近过程给跑到有理数集外面了。
应该是说有理数域添加无理数扩充至实数。下面说说我浅显的理解。首先有自然数，自然数集中只能做加法和乘法，因为减法和除法运算会得到不是自然数，为了可以做减法，添加负整数变成整数集，为了做除法，添加所有分数，整数集扩充为有理数集；至此我们可以做加减乘除运算，再往后，出于解二次方程，需要进行开方运算（现在只考虑正数开根号），这就会出现不是有理数的数，也就是无理数，至此就需要扩充至实数。二次方程还有一种情况就是会出现负数开根号，说明实数在解方程中不够用，进而引进虚数，扩充至复数域。复数域在解方程已经够用了。复试加减乘除、复数开方、复数做幂次还都是复数。

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