方程（equation）是指含有未知数的等式。是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，（通常设未知数为x），通常在两者之间有一个等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科的运算。适合于解决实际问题，比例等。
表示两个数学式(如两个数、函数、量、运算)之间相等的一种式子,通常在两者之间有一等号(=)是含有未知数的等式。如：x－2=5，x+8=y－3。使等式成立的未知数的值称的“解”或“根”。求方程的解的过程称为“解方程”。方程在学习中有着至关重要的作用。
方程与等式
方程与等式的关系
方程一定是等式，但等式不一定是方程。
例子：a+b=13 符合等式，有未知数。这个是等式，也是方程。
1+1=2 ，100X100=10000。这两个式子符合等式，但没有未知数，所以都不是方程。
在定义中，方程一定是等式，但是等式可以有其他的，比如上面举的1+1=2，100X100=10000，都是等式，显然等式的范围大一点。
解方程依据
1.：把方程中的某些项带着前面的符号从方程的一边移到另一边，并且加变减，减变加，乘变除以，除以变乘；
2.等式的基本性质
性质1
等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则：(1) a+c=b+c (2) a-c=b-c
性质2
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则这个：
a×c=b×c a÷c=b÷c
性质3
若a=b,则b=a（等式的对称性）。
性质4
若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。
3.合并同类项；
解方程步骤
1.能计算的先计算； 2.转化——计算——结果
一元一次方程
只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程（linear equation with one unknown）。通常形式是ax+b=0(a，b为常数，且a≠0）。
一般解法
去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。
去括号 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。但顺序有时可依据情况而定使计算简便。可根据乘法分配律。
移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其馀各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。(一般都是这样：（比方）从 5x=4x+8 得到 5x - 4x=8 ；把未知数移到一起！
合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。
化系数为一 方程两边同时除以未知数的系数。
得出方程的解。
例如：
3x=5×6
解：3x=30
x=30÷3
x=10
教学设计
教学目标
使学生初步掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤；并会列出一元一次方程解简单的应用题
培养学生观察能力，提高他们分析问题和解决问题的能力
使学生初步养成正确思考问题的良好习惯．
重点难点
一元一次方程解简单的应用题的方法和步骤．
教学过程
一、从学生原有的认知结构提出问题
在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢？若能解决，怎样解？用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较，它有什么优越性呢？
为了回答上述这几个问题，我们来看下面这个例题．
例1 某数的3倍减2等于某数与4的和，求某数．
(首先，用算术方法解，由学生回答，教师板书)
解法1：(4+2)÷(3-1)=3．
答：某数为3．
(其次，用代数方法来解，教师引导，学生口述完成)
解法2：设某数为x，则有3x-2=x+4．
3x-2=x+4
解：(3-1)x=2+4
2x=2+4
2x=6
x=6÷2
x=3
解之，得x=3．
答：某数为3．
纵观例1的这两种解法，很明显，算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法，有一种化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一．
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等关系．因此对于任何一个应用题中提供的条件，应首先从中找出一个相等关系，然后再将这个相等关系表示成方程．
本节课，我们就通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤．
二、师生共同分析、研究一元一次方程解简单应用题的方法和步骤
例2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩馀42500千克，这个仓库原来有多少面粉？
师生共同分析：
本题中给出的已知量和未知量各是什么？
已知量与未知量之间存在着怎样的相等关系？(原来重量-运出重量=剩馀重量)
若设原来面粉有x千克，则运出面粉可表示为多少千克？利用上述相等关系，如何布列方程？
上述分析过程可列表如下：
解：设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，由题意，得x-15%x=42500，
x-15%x=42500
解：(1-15%)x=42500
85%x=42500
x=42500÷85%
x=50000
所以 x=50000．
答：原来有 50000千克面粉．
此时，让学生讨论：本题的相等关系除了上述表达形式以外，是否还有其他表达形式？若有，是什么？
(还有，原来重量=运出重量+剩馀重量；原来重量-剩馀重量=运出重量)
教师应指出：(1)这两种相等关系的表达形式与“原来重量-运出重量=剩馀重量”，虽形式上不同，但实质是一样的，可以任意选择其中的一个相等关系来列方程
(2)例2的解方程过程较为简捷，同学应注意模仿．
依据例2的分析与解答过程，首先请同学们思考列一元一次方程解应用题的方法和步骤；然后，采取提问的方式，进行反馈；最后，根据学生总结的情况，教师总结如下：
(1)仔细审题，透彻理解题意．即弄清已知量、未知量及其相互关系；用字母(如x)表示题中的未知数
(2)根据题意找出相等关系．(这是关键一步)
(3)根据相等关系，正确列出方程．即所列的方程应满足两边的量要相等；方程两边的代数式的单位要相同；题中条件应充分利用，不能漏也不能将一个条件重复利用等
(4)求出所列方程的解
(5)检验后明确地、完整地写出答案．这里要求的检验应是，检验所求出的解既能使方程成立，又能使应用题有意义．
二元一次方程
人教版7年级数学下册第四章会学到，冀教版7年级数学下册第九章会学到。在人教版九年级上英语讲爱因斯坦时也会涉及
定义
二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的整式方程，叫二元一次方程(linearequationoftwounknowns)。
二元一次方程组定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫二元一次方程组(systemoflinearequationoftwounknowns)。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
一般解法
消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：
代入消元
例：解方程组x+y=5①6x+13y=89②
解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=89，解得y=59/7
把y=59/7带入③，得x=5-59/7，即x=-24/7
∴x=-24/7，y=59/7
这种解法就是代入消元法。
加减消元
例：解方程组x+y=9①x-y=5②
解：①+②，得2x=14，即x=7
把x=7带入①，得7+y=9，解得y=2
∴x=7，y=2
这种解法就是加减消元法。
二元一次方程组的解有三种情况：
1.有一组解
如方程组x+y=5①6x+13y=89②的解为x=-24/7，y=59/7。
2.有无数组解
如方程组x+y=6①2x+2y=12②，因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3.无解
如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5，这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)。
由一次方程到二次方程是个质的转变，通常情况下，二次方程无论是在概念上还是解法上都比一次方程要复杂得多。
一般形式
(a≠0)
一般解法
一般解法有四种：
⒈公式法（直接开平方法）
⒉配方法
3.因式分解法
4.十字相乘法
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a,a的积a·a，把常数项c分解成两个因数c,c的积c·c，并使ac+ac正好是一次项b，那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。
例1 把 分解因式。
分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：
2=1×2=2×1；
分解常数项：
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1 1
╳
2 3
1×3+2×1
=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3
=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)
=-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)
=-7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
解 .
一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=aa，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=cc，把a，a，c，c，排列如下：
a c
╳
a c
ac+ac
按斜线交叉相乘，再相加，得到ac+ac，若它正好等于二次三项式ax+bx+c的一次项系数b，即ac+ac=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式ax+c与ax+c之积，即
ax+bx+c=(ax+c)(ax+c).
像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
例2 把 分解因式.
分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。
解
指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.
对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数。例如把 分解因式，十字相乘法是
1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以 .
例3 把 分解因式。
分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 .
指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=－3
指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法。
例5 x+2x-15
分析：常数项(-15)<0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)
(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。
=(x-3)(x+5)
总结：① 型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
②kx+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么
kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
1．直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如 的
方程，其解为 .
例1．解方程（1）(3x+1)=7 （2）9x-24x+16=11
分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)，右边=11>0，所以
此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)=7×
∴(3x+1)=5
∴3x+1=±(注意不要丢解)
∴x=
∴原方程的解为x=,x=
（2）解： 9x-24x+16=11
∴(3x-4)=11
∴3x-4=±
∴x=
∴原方程的解为x=,x=
2．配方法：用配方法解方程ax+bx+c=0 (a≠0)
先将常数c移到方程右边：ax+bx=-c
将二次项系数化为1：x+x=-
方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x+x+( )=- +( )
方程左边成为一个完全平方式：(x+ )=
当b-4ac≥0时，x+ =±
∴x=(这就是求根公式)
例2．用配方法解方程 3x-4x-2=0
解：将常数项移到方程右边 3x-4x=2
将二次项系数化为1：x-x=
方程两边都加上一次项系数一半的平方：x-x+( )= +( )
配方：(x-)=
直接开平方得：x-=±
∴x=
∴原方程的解为x=,x= .
3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b-4ac的值，当b-4ac<0时，无解；方程当b-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式 就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x-8x=-5
解：将方程化为一般形式：2x-8x+5=0
∴a=2, b=-8, c=5
b-4ac=(-8)-4×2×5=64-40=24>0
∴x= = =
∴原方程的解为x=,x= .
4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让
两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x+3x=0
(3) 6x+5x-50=0 (选学） (4)x-2( + )x+4=0 （选学）
(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得
x-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x=5,x=-2是原方程的解。
(2)解：2x+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴x=0，x=-是原方程的解。
注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。
(3)解：6x+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)解：x-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x=2 ,x=2是原方程的解。
二元二次方程：含有两个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程。
三元一次方程
与二元一次方程类似，三个结合在一起的共含有三个未知数的一次方程。
解法
与二元一次方程类似，可以利用消元法逐步消元。
典型题析
某地区为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨按0.9元/吨收费;超过10吨而不超过20吨按1.6元/吨收费;超过20吨的部分按2.4元/吨收费。某月甲用户比乙用户多缴水费16元，乙用户比丙用户多缴水费7.5元。已知丙用户用水不到10吨,乙用户用水超过10吨但不到20吨.问:甲。乙.丙三用户该月各缴水费多少元(按整吨计算收费)?
解：设甲用水x吨，乙用水y吨，丙用水z吨
显然，甲用户用水超过了20吨
故甲缴费：0.9*10+1.6*10+2.4*(x-20)=2.4x-23
乙缴费：0.9*10+1.6*(y-10)=1.6y-9
丙缴费：0.9z
2.4x-23=1.6y-7+16
1.6y-7=0.9z+7.5
化简得
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
由(1)得x=(2y+40)/3
所以设y=1+3k,3<7
当k=4,y=13,x=22,代入(2)求得z=7
当k=5,y=16,代入(2),z没整数解
当k=6,y=19,代入(2),z没整数解
所以甲用水22吨，乙用水13吨，丙用水7吨
甲用水29.8元,乙用水13.8元，丙用水6.3元
多元一次方程
消元法
设方程组①：
……………………
……………………
把方程(1)×(-i/a)加到（i）上，再把方程(2)×(-i/a)加到（i）上，以此类推。(i∈N且i∈[1，m])最后，方程组变为：②
b x+b x+b x+…+b x=c
b x+b x+…+b x=c
………………
b x=c
0=c+1
0=0
0=0
………… (bii≠0,i=1,2,…r)
最后的许多0=0可以舍去，不影响方程的解。可以分三种情况：
（1）c+1 ≠0
此时，满足前r各方程的任意一个解，都不能满足0=c+1这个方程，所以②无解，所以①也无解
当c+1=0时，又分两种情况：
（2）r=n
因为b≠0,所以从最后一个方程可解出x。然后代入第r-1个方程,解出x-1。如此类推，可得出方程组②的唯一解，就是方程组①的唯一解。
（3)r
可把方程组该成他的同解方程组③：
b x+b x+b x+…+b x=c-b,r+1 x+1-…-b x
b x+b x+…+b x=c-b,r+1 x+1-…-b x
………………
b x=c-b,r+1 x+1-…-b x
设等号后面的数是已知数，按照（2）的方法来解，可解得：
x=d x+1+d x+2+…+d,n-r x
x=d x+1+d x+2+…+d,n-r x
………………
x=d x+1+d x+2+…+d,n-r x
令自由未知量xr+i=ki(i∈N且i∈[1，n-r])可得方程组的全部解：
x=d k+d k+…+ d,n-r k
x=d k+d k+…+d,n-r k
………………
x=d k+d k+…+d,n-r k
x+1=k
x+2=k
…………
x=k
其他解法
克莱姆法则
（此法只适用于m=n且D≠0的方程组）
设系数行列式D=∣a ij∣,Di是D把i列换成结果的行列式
那么xi=Di/D(i∈N且i∈[1，n])
矩阵和向量解法
矩阵解法即把方程组①的增广矩阵进行初等行变化。
向量解法即把方程组①改写成Ax=b的形式。
先求出方程组的特解η，然后求其对应导出组Ax=0的解ξ，ξ，…，ξ。
方程组的解为：η+cξ+cξ+…+cξ。
直线方程
(1)一般式： Ax+By+C=0 (其中A、B不同时为0) 适用于所有直线
直线lAx+By+C=0
直线lAx+By+C=0
两直线平行时：A1/A2=B1/B2≠C1/C2
两直线垂直时：A1A2+B1B2=0
两直线重合时：A1/A2=B1/B2=C1/C2
两直线相交时：A1/A2≠B1/B2
(2)点斜式： 知道直线上一点(x,y),并且直线的斜率k存在，则直线可表示为 y-y=k(x-x)。当k不存在时，直线可表示为 x=x
(3)截距式： 若直线与x轴交于(a,0),与y轴交于(0,b),则直线可表示为：x/a+y/b=1。所以不适用于和任意坐标轴垂直的直线和过原点的直线 。
(4)斜截式： y=kx+b (k≠0)
(5)两点式：若直线过任意两点(x,y)、(x,y)，且 x≠x,y≠y，则直线可以表示为
(6)法线式： x·cosα+ysinα-p=0
附注
一般地，n元一次方程就是含有n个未知数，且含未知数项次数是1的方程，一次项系数规定不等于0；
n元一次方程组就是几个n元一次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
一元a次方程就是含有一个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
一元a次方程组就是几个一元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
n元a次方程就是含有n个未知数，且含未知数项最高次数是a的方程（一元一次方程除外）；
n元a次方程组就是几个n元a次方程组成的方程组（一元一次方程除外）；
方程（组）中，未知数个数大于方程个数的方程（组）叫做不定方程（组），此类方程（组）一般有无数个解。
鸡兔同笼问题
解法公式
解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
解法2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数
解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法4（方程）：X=总脚数÷2—总头数（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法5（方程）：X=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=兔的只数）
总只数—兔的只数=鸡的只数
解法6（方程）：X=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）（X=鸡的只数）
总只数－鸡的只数=兔的只数
方程解法
若用方程解鸡兔同笼问题，公式为：鸡脚+兔脚=总脚数。
鸡为x
例笼中共有30只鸡和兔，数一数足数正好是100只。问鸡和兔各有多少只？
解：设鸡为x只，则兔为(30-x)只。
2x+(30-x)×4=100
解：2x+120-4x=100
120-2x=100
2x=20
x=10
30-10=20（只）
答：鸡和兔各有10只，20只。
兔为x
例笼中共有鸡兔100只，鸡兔足数共248只。问鸡兔各有多少只？
解：设兔为x只，则鸡为(100-x)只。
4x+(100-x)×2=248
解：4x+200-2x=248
2x+200=248
2x=48
x=24
100-24=76（只）
答：鸡兔各有76只，24只。
并不是所有方程都能列
之所以提到这点。是因为在解应用题的时候，有时也会列出这样的方程。
例子：妈妈今年30岁，小明比妈妈小25岁。求小明多少岁？
解：设小明x岁。
这道方程有3种列法。
（1）等量关系1：小明+年龄差=妈妈
x+25=30
（2）等量关系2：妈妈-小明=年龄差。
30-x=25
误区：（3）等量关系3：妈妈-年龄差=小明
30-25=x
“30-25=x这个等式拥有未知数，它是方程。但是，要是用这种方法解题，
就近似在一、二年级的算术方法了，30-25，我们口算都能得出结论，是5，那么何必要大废周章去设x呢？还要活受罪写解设。
方程分类
方程分类 形如… 未知数个数 未知数最高指数幂 未知数系数 解/根
实数方程
整式方程
（有理式）
一元 一元一次方程 ax+b=0（a≠0） 1 1 2 x
一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 1 2 3 x1,x2
一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0（a≠0） 1 3 4 x1,x2,x3
一元四次方程 ax4+bx3+cx2+dx+e=0（a≠0） 1 4 5 x1,x2,x3,x4
二元 二元一次方程（*组） ax+by+c=0（a、b≠o） 2 1 3 1组
二元二次方程（*组） ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。(a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不是零；当b为零时，a与d以及c与e分别不全为零 2 2 6 2组
分式方程 特殊 分母中有未知数（非常数） 1个以上 -1 2个以上
2个以上（偶数个）
有可能有增根出现
虚数/无理方程
无解方程
特殊类别 1 不定 不定 不存在
矛盾方程组 *特殊类别 不定 不定 不定 增根
概念 不定方程-定方程 *特殊类别 2或其他 不定 2或其他 多组
高次方程、三元一次方程、多元一次方程
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文章目录
表的增删查改
Create（创建）
单行数据 + 全列插入
多行数据 + 指定列插入
插入否则更新
替换
Retrieve（读取）
SELECT列
全列查询
指定列查询
查询字段为表达式
查询结果指定别名
结果去重
WHERE 条件
基本比较
BETWEEN AND 条件连接
OR 条件连接
IN 条件连接
LIKE 条件匹配
WHERE 条件中使用表达式
AND 与 NOT 的使用
综合性查询
NULL的查询
结果排序
升序显示
降序排序
多字段排序
ORDER BY 使用表达式
结合 WHERE 子句 和 ORDER BY 子句
筛选分页结果
Update（更新）
更新单列
更新多列
更新值为原值基础上变更
更新全表
Delete（删除）
删除单条记录
删除整表
截断表
插入查询结果
聚合函数
group by子句的使用
CRUD : Create(创建), Retrieve(读取)， Update(更新)， Delete（删除）
Create（创建）
基本语法：
INSERT [INTO] table_name[(column [, column] ...)]VALUES (value_list) [, (value_list)] ...value_list: value, [, value] ...
案例：
mysql> create table students (-> id int unsigned primary key auto_increment,-> sn int not null unique comment '学号',-> name varchar(20) not null,-> email varchar(20)-> )engine=innodb default charset=utf8;
Query OK, 0 rows affected (0.03 sec)mysql> desc students;
+-------+------------------+------+-----+---------+----------------+
Field
Type
Null
Key
Default
Extra
+-------+------------------+------+-----+---------+----------------+
id
int(10) unsigned
NO
PRI
NULL
auto_increment
sn
int(11)
NO
UNI
NULL
name
varchar(20)
NO
NULL
email
varchar(20)
YES
NULL
+-------+------------------+------+-----+---------+----------------+
4 rows in set (0.00 sec)
单行数据 + 全列插入
插入两条记录，当value_list 数量和定义表的列的数量及顺序一致时，就可以省略value_list。注意，这里在插入的时候，也可以不用指定id，mysql会使用默认的值进行自增。
mysql> insert into students values (100, 1000, 'Curry', NULL);
Query OK, 1 row affected (0.01 sec)mysql> insert into students values (101, 1001, 'Durant', '3306@163.com');
Query OK, 1 row affected (0.00 sec)mysql> select * from students;
+-----+------+--------+--------------+
id
sn
name
email
+-----+------+--------+--------------+
100
1000
Curry
NULL
101
1001
Durant
3306@163.com
+-----+------+--------+--------------+
2 rows in set (0.00 sec)
多行数据 + 指定列插入
插入两条记录，value_list 数量必须和指定列数量及顺序一致
mysql> insert into students (id, sn, name) values (102, 1002, 'Kobe'), (103, 1003, 'Klay');
Query OK, 2 rows affected (0.00 sec)
Records: 2
Duplicates: 0
Warnings: 0mysql> select * from students;
+-----+------+--------+--------------+
id
sn
name
email
+-----+------+--------+--------------+
100
1000
Curry
NULL
101
1001
Durant
3306@163.com
102
1002
Kobe
NULL
103
1003
Klay
NULL
+-----+------+--------+--------------+
4 rows in set (0.00 sec)
插入否则更新
由于 主键 或者 唯一键 对应的值已经存在而导致插入失败
主键冲突：
mysql> insert into students (id, sn, name) values (100, 1004, 'Brown');
ERROR 1062 (23000): Duplicate entry '100' for key 'PRIMARY'
唯一键冲突：
mysql> insert into students (id, sn, name) values (104, 1003, 'Bryant');
ERROR 1062 (23000): Duplicate entry '1003' for key 'sn'
可以选择性的进行同步更新操作 语法：
INSERT ... ON DUPLICATE KEY UPDATEcolumn = value [, column = value] ...
mysql> insert into students (id, sn, name) values (104, 1003, 'Bryant')-> on duplicate key update id=104, name='Bryant';
Query OK, 2 rows affected (0.01 sec)mysql> select * from students;
+-----+------+--------+--------------+
id
sn
name
email
+-----+------+--------+--------------+
100
1000
Curry
NULL
101
1001
Durant
3306@163.com
102
1002
Kobe
NULL
104
1003
Bryant
NULL
+-----+------+--------+--------------+
4 rows in set (0.00 sec)
0 row affected: 表中有冲突数据，但冲突数据的值和 update 的值相等
1 row affected: 表中没有冲突数据，数据被插入
2 row affected: 表中有冲突数据，并且数据已经被更新
替换
主键 或者 唯一键 没有冲突，则直接插入；主键 或者 唯一键 如果冲突，则删除后再插入
mysql> replace into students (sn, name) values (1002, 'Mitchell');
Query OK, 2 rows affected (0.00 sec)mysql> select * from students;
+-----+------+----------+--------------+
id
sn
name
email
+-----+------+----------+--------------+
100
1000
Curry
NULL
101
1001
Durant
3306@163.com
104
1003
Bryant
NULL
105
1002
Mitchell
NULL
+-----+------+----------+--------------+
4 rows in set (0.00 sec)
1 row affected: 表中没有冲突数据，数据被插入
2 row affected: 表中有冲突数据，删除后重新插入
Retrieve（读取）
基础语法：
SELECT[DISTINCT] {*
{column [, column] ...}[FROM table_name][WHERE ...][ORDER BY column [ASC
DESC], ...]LIMIT ...
案例：
创建表结构：
mysql> create table exam_result (-> id int unsigned primary key auto_increment,-> name varchar(20) not null comment '姓名',-> chinese float default 0.0 comment '语文成绩',-> math float default 0.0 comment '数学成绩',-> english float default 0.0 comment '英语成绩'-> )engine=innodb default charset=utf8;
Query OK, 0 rows affected (0.02 sec)
插入测试数据：
mysql> insert into exam_result (name, chinese, math, english) values-> ('唐三藏', 67, 98, 56),-> ('孙悟空', 87, 78, 77),-> ('猪悟能', 88, 98, 90),-> ('曹孟德', 82, 84, 67),-> ('刘玄德', 55, 85, 45),-> ('孙权', 70, 73, 78),-> ('宋公明', 75, 65, 30);
Query OK, 7 rows affected (0.00 sec)
Records: 7
Duplicates: 0
Warnings: 0
SELECT列
全列查询
通常情况下不建议使用 * 进行全列查询
查询的列越多，意味着需要传输的数据量越大；
可能会影响到索引的使用；
mysql> select * from exam_result;
+----+-----------+---------+------+---------+
id
name
chinese
math
english
+----+-----------+---------+------+---------+
1
唐三藏
67
98
56
2
孙悟空
87
78
77
3
猪悟能
88
98
90
4
曹孟德
82
84
67
5
刘玄德
55
85
45
6
孙权
70
73
78
7
宋公明
75
65
30
+----+-----------+---------+------+---------+
7 rows in set (0.00 sec)
指定列查询
指定列的顺序不需要按定义表的顺序来
mysql> select id, name, math from exam_result;
+----+-----------+------+
id
name
math
+----+-----------+------+
1
唐三藏
98
2
孙悟空
78
3
猪悟能
98
4
曹孟德
84
5
刘玄德
85
6
孙权
73
7
宋公明
65
+----+-----------+------+
7 rows in set (0.00 sec)
查询字段为表达式
表达式不包含字段：
mysql> select id, name, 10 from exam_result;
+----+-----------+----+
id
name
10
+----+-----------+----+
1
唐三藏
10
2
孙悟空
10
3
猪悟能
10
4
曹孟德
10
5
刘玄德
10
6
孙权
10
7
宋公明
10
+----+-----------+----+
7 rows in set (0.00 sec)
表达式包含一个字段：
mysql> select id, name, math+10 from exam_result;
+----+-----------+---------+
id
name
math+10
+----+-----------+---------+
1
唐三藏
108
2
孙悟空
88
3
猪悟能
108
4
曹孟德
94
5
刘玄德
95
6
孙权
83
7
宋公明
75
+----+-----------+---------+
7 rows in set (0.00 sec)
表达式包含多个字段：
mysql> select id, name, math+chinese+english from exam_result;
+----+-----------+----------------------+
id
name
math+chinese+english
+----+-----------+----------------------+
1
唐三藏
221
2
孙悟空
242
3
猪悟能
276
4
曹孟德
233
5
刘玄德
185
6
孙权
221
7
宋公明
170
+----+-----------+----------------------+
7 rows in set (0.00 sec)
查询结果指定别名
基础语法：
ELECT column [AS] alias_name [...] FROM table_name;
mysql> select id, name, math+chinese+english total from exam_result;
+----+-----------+-------+
id
name
total
+----+-----------+-------+
1
唐三藏
221
2
孙悟空
242
3
猪悟能
276
4
曹孟德
233
5
刘玄德
185
6
孙权
221
7
宋公明
170
+----+-----------+-------+
7 rows in set (0.00 sec)
结果去重
查询结果重复：
mysql> select math from exam_result;
+------+
math
+------+
98
78
98
84
85
73
65
+------+
7 rows in set (0.00 sec)
查询结果去重：
mysql> select distinct math from exam_result;
+------+
math
+------+
98
78
84
85
73
65
+------+
6 rows in set (0.00 sec)
WHERE 条件
基本比较
英语不及格的同学及英语成绩 ( < 60 )：
mysql> select name, english from exam_result where english<60;
+-----------+---------+
name
english
+-----------+---------+
唐三藏
56
刘玄德
45
宋公明
30
+-----------+---------+
3 rows in set (0.00 sec)
BETWEEN AND 条件连接
语文成绩在 [80, 90] 分的同学及语文成绩：
使用 AND 进行条件连接
mysql> select name, chinese from exam_result where chinese>=80 and chinese<=90;
+-----------+---------+
name
chinese
+-----------+---------+
孙悟空
87
猪悟能
88
曹孟德
82
+-----------+---------+
3 rows in set (0.00 sec)
使用 BETWEEN AND 条件连接
mysql> select name, chinese from exam_result where chinese between 80 and 90;
+-----------+---------+
name
chinese
+-----------+---------+
孙悟空
87
猪悟能
88
曹孟德
82
+-----------+---------+
3 rows in set (0.00 sec)
OR 条件连接
数学成绩是 58 或者 59 或者 98 或者 99 分的同学及数学成绩：
mysql> select name, math from exam_result where math=58 or math=59 or math=98 or math=99;
+-----------+------+
name
math
+-----------+------+
唐三藏
98
猪悟能
98
+-----------+------+
2 rows in set (0.00 sec)
IN 条件连接
数学成绩是 58 或者 59 或者 98 或者 99 分的同学及数学成绩：
mysql> select name, math from exam_result where math in (58,59,98,99);
+-----------+------+
name
math
+-----------+------+
唐三藏
98
猪悟能
98
+-----------+------+
2 rows in set (0.00 sec)
LIKE 条件匹配
查找姓孙的同学：% 匹配任意多个（包括 0 个）任意字符
mysql> select name from exam_result where name like '孙%';
+-----------+
name
+-----------+
孙悟空
孙权
+-----------+
2 rows in set (0.00 sec)
查找孙某同学： _ 匹配严格的一个任意字符
mysql> select name from exam_result where name like '孙_';
+--------+
name
+--------+
孙权
+--------+
1 row in set (0.00 sec)
WHERE 条件中使用表达式
总分在 200 分以下的同学：
mysql> select name, chinese+math+english total from exam_result where total<200;
ERROR 1054 (42S22): Unknown column 'total' in 'where clause'
这里我们发现一个问题，where条件查询中不能使用指定别名，这是因为chinese+math+english这个字句比where total<200字句先执行，所以MySQL并不认识total这个别名，就会报错。
正确写法：
mysql> select name, chinese+math+english total from exam_result where chinese+math+english<200;
+-----------+-------+
name
total
+-----------+-------+
刘玄德
185
宋公明
170
+-----------+-------+
2 rows in set (0.00 sec)
AND 与 NOT 的使用
语文成绩 > 80 并且不姓孙的同学：
mysql> select name,chinese from exam_result where chinese>80 and name not like '孙%';
+-----------+---------+
name
chinese
+-----------+---------+
猪悟能
88
曹孟德
82
+-----------+---------+
2 rows in set (0.00 sec)
综合性查询
查询孙某同学，否则要求总成绩 > 200 并且 语文成绩 < 数学成绩 并且 英语成绩 > 80：
mysql> select name,chinese,math,english,chinese+math+english total from exam_result-> where (name like '孙_') or (chinese+math+english>200 and chinese<math and english>80);
+-----------+---------+------+---------+-------+
name
chinese
math
english
total
+-----------+---------+------+---------+-------+
猪悟能
88
98
90
276
孙权
70
73
78
221
+-----------+---------+------+---------+-------+
2 rows in set (0.00 sec)
NULL的查询
查询 email 号已知的同学姓名：
mysql> select name from students where email is not null;
+--------+
name
+--------+
Durant
+--------+
1 row in set (0.00 sec)
NULL 和 NULL 的比较，= 和 <=> 的区别：
mysql> select NULL=NULL, NULL=1, NULL=0;
+-----------+--------+--------+
NULL=NULL
NULL=1
NULL=0
+-----------+--------+--------+
NULL
NULL
NULL
+-----------+--------+--------+
1 row in set (0.00 sec)mysql> select NULL<=>NULL, NULL<=>1, NULL<=>0;
+-------------+----------+----------+
NULL<=>NULL
NULL<=>1
NULL<=>0
+-------------+----------+----------+
1
0
0
+-------------+----------+----------+
1 row in set (0.00 sec)
结果排序
基本语法：
-- ASC 为升序（从小到大）
-- DESC 为降序（从大到小）
-- 默认为 ASC
SELECT ... FROM table_name [WHERE ...]ORDER BY column [ASC|DESC], [...];
升序显示
查询姓名及数学成绩，按数学成绩升序显示：
mysql> select name,math from exam_result order by math;
+-----------+------+
name
math
+-----------+------+
宋公明
65
孙权
73
孙悟空
78
曹孟德
84
刘玄德
85
唐三藏
98
猪悟能
98
+-----------+------+
7 rows in set (0.00 sec)
降序排序
查询姓名 及 eamil，按 eamil排序显示：
mysql> select name,email from students order by email;
+----------+--------------+
name
email
+----------+--------------+
Curry
NULL
Bryant
NULL
Mitchell
NULL
Durant
3306@163.com
+----------+--------------+
4 rows in set (0.00 sec)
NULL 视为比任何值都小，升序出现在最上面
多字段排序
查询同学各门成绩，依次按 数学降序，英语升序，语文升序的方式显示：
mysql> select name,chinese,math,english from exam_result order by math desc, english asc, chinese asc;
+-----------+---------+------+---------+
name
chinese
math
english
+-----------+---------+------+---------+
唐三藏
67
98
56
猪悟能
88
98
90
刘玄德
55
85
45
曹孟德
82
84
67
孙悟空
87
78
77
孙权
70
73
78
宋公明
75
65
30
+-----------+---------+------+---------+
7 rows in set (0.00 sec)
多字段排序，排序优先级随书写顺序
ORDER BY 使用表达式
查询同学及总分，由高到低：
mysql> select name, chinese+math+english from exam_result order by chinese+math+english desc;
+-----------+----------------------+
name
chinese+math+english
+-----------+----------------------+
猪悟能
276
孙悟空
242
曹孟德
233
唐三藏
221
孙权
221
刘玄德
185
宋公明
170
+-----------+----------------------+
7 rows in set (0.00 sec)
ORDER BY 子句中可以使用列别名：
mysql> select name, chinese+math+english total from exam_result order by total desc;
+-----------+-------+
name
total
+-----------+-------+
猪悟能
276
孙悟空
242
曹孟德
233
唐三藏
221
孙权
221
刘玄德
185
宋公明
170
+-----------+-------+
7 rows in set (0.00 sec)
结合 WHERE 子句 和 ORDER BY 子句
查询姓孙的同学或者姓曹的同学数学成绩，结果按数学成绩由高到低显示：
mysql> select name,math from exam_result where name like '孙%' or name like '曹%' order by math desc;
+-----------+------+
name
math
+-----------+------+
曹孟德
84
孙悟空
78
孙权
73
+-----------+------+
3 rows in set (0.00 sec)
筛选分页结果
基础语法：
-- 起始下标为 0
-- 从 0 开始，筛选 n 条结果
SELECT ... FROM table_name [WHERE ...] [ORDER BY ...] LIMIT n;-- 从 s 开始，筛选 n 条结果
SELECT ... FROM table_name [WHERE ...] [ORDER BY ...] LIMIT s, n;-- 从 s 开始，筛选 n 条结果，比第二种用法更明确，建议使用
SELECT ... FROM table_name [WHERE ...] [ORDER BY ...] LIMIT n OFFSET s;
建议：对未知表进行查询时，最好加一条 LIMIT 1，避免因为表中数据过大，查询全表数据导致数据库卡死按 id 进行分页，每页 3 条记录，分别显示 第 1、2、3 页。
案例：第 1 页：
mysql> select id, name, chinese, math, english from exam_result order by id limit 3 offset 0;
+----+-----------+---------+------+---------+
id
name
chinese
math
english
+----+-----------+---------+------+---------+
1
唐三藏
67
98
56
2
孙悟空
87
78
77
3
猪悟能
88
98
90
+----+-----------+---------+------+---------+
3 rows in set (0.00 sec)
第 2 页：
mysql> select id, name, chinese, math, english from exam_result order by id limit 3 offset 3;
+----+-----------+---------+------+---------+
id
name
chinese
math
english
+----+-----------+---------+------+---------+
4
曹孟德
82
84
67
5
刘玄德
55
85
45
6
孙权
70
73
78
+----+-----------+---------+------+---------+
3 rows in set (0.00 sec)
第 3 页，如果结果不足 3 个，不会有影响：
mysql> select id, name, chinese, math, english from exam_result order by id limit 3 offset 6;
+----+-----------+---------+------+---------+
id
name
chinese
math
english
+----+-----------+---------+------+---------+
7
宋公明
75
65
30
+----+-----------+---------+------+---------+
1 row in set (0.00 sec)
Update（更新）
基本语法：
UPDATE table_name SET column = expr [, column = expr ...][WHERE ...] [ORDER BY ...] [LIMIT ...]
更新单列
将孙悟空同学的数学成绩变更为 80 分：
mysql> select name, math from exam_result where name='孙悟空';
+-----------+------+
name
math
+-----------+------+
孙悟空
78
+-----------+------+
1 row in set (0.00 sec)mysql> update exam_result set math=80 where name='孙悟空';
Query OK, 1 row affected (0.01 sec)
Rows matched: 1
Changed: 1
Warnings: 0mysql> select name, math from exam_result where name='孙悟空';
+-----------+------+
name
math
+-----------+------+
孙悟空
80
+-----------+------+
1 row in set (0.00 sec)
更新多列
将曹孟德同学的数学成绩变更为 60 分，语文成绩变更为 70 分：
mysql> select name, math, chinese from exam_result where name='曹孟德';
+-----------+------+---------+
name
math
chinese
+-----------+------+---------+
曹孟德
84
82
+-----------+------+---------+
1 row in set (0.00 sec)mysql> update exam_result set math=60, chinese=70 where name='曹孟德';
Query OK, 1 row affected (0.00 sec)
Rows matched: 1
Changed: 1
Warnings: 0mysql> select name, math, chinese from exam_result where name='曹孟德';
+-----------+------+---------+
name
math
chinese
+-----------+------+---------+
曹孟德
60
70
+-----------+------+---------+
1 row in set (0.00 sec)
更新值为原值基础上变更
将总成绩倒数前三的 3 位同学的数学成绩加上 30 分：
mysql> update exam_result set math=math+30 order by chinese+math+english limit 3;
Query OK, 3 rows affected (0.00 sec)
Rows matched: 3
Changed: 3
Warnings: 0mysql> select name, math from exam_result;
+-----------+------+
name
math
+-----------+------+
唐三藏
98
孙悟空
80
猪悟能
98
曹孟德
90
刘玄德
115
孙权
73
宋公明
95
+-----------+------+
7 rows in set (0.00 sec)
更新全表
将所有同学的语文成绩更新为原来的 2 倍：
mysql> select name, chinese from exam_result;
+-----------+---------+
name
chinese
+-----------+---------+
唐三藏
67
孙悟空
87
猪悟能
88
曹孟德
70
刘玄德
55
孙权
70
宋公明
75
+-----------+---------+
7 rows in set (0.00 sec)mysql> update exam_result set chinese=chinese*2;
Query OK, 7 rows affected (0.00 sec)
Rows matched: 7
Changed: 7
Warnings: 0mysql> select name, chinese from exam_result;
+-----------+---------+
name
chinese
+-----------+---------+
唐三藏
134
孙悟空
174
猪悟能
176
曹孟德
140
刘玄德
110
孙权
140
宋公明
150
+-----------+---------+
7 rows in set (0.00 sec)
Delete（删除）
基础语法：
DELETE FROM table_name [WHERE ...] [ORDER BY ...] [LIMIT ...]
删除单条记录
删除孙悟空同学的考试成绩：
mysql> select * from exam_result where name='孙悟空';
+----+-----------+---------+------+---------+
id
name
chinese
math
english
+----+-----------+---------+------+---------+
2
孙悟空
174
80
77
+----+-----------+---------+------+---------+
1 row in set (0.00 sec)mysql> delete from exam_result where name='孙悟空';
Query OK, 1 row affected (0.00 sec)mysql> select * from exam_result where name='孙悟空';
Empty set (0.00 sec)
删除整表
注意：删除整表操作要慎用！
准备测试表：
mysql> create table for_delete (-> id int unsigned primary key auto_increment,-> name varchar(20)-> )engine=innodb default charset=utf8;
Query OK, 0 rows affected (0.02 sec)
插入测试数据：
mysql> insert into for_delete (name) values ('a'), ('b'), ('c');
Query OK, 3 rows affected (0.00 sec)
Records: 3
Duplicates: 0
Warnings: 0mysql> select * from for_delete;
+----+------+
id
name
+----+------+
1
a
2
b
3
c
+----+------+
3 rows in set (0.00 sec)
删除整表数据：
mysql> delete from for_delete;
Query OK, 3 rows affected (0.00 sec)mysql> select * from for_delete;
Empty set (0.00 sec)
再插入一条数据，自增 id 在原值上增长：
mysql> insert into for_delete (name) values ('d');
Query OK, 1 row affected (0.00 sec)mysql> select * from for_delete;
+----+------+
id
name
+----+------+
4
d
+----+------+
1 row in set (0.00 sec)
查看表结构，会有 AUTO_INCREMENT=n 项：
mysql> show create table for_delete \G
*************************** 1. row ***************************Table: for_delete
Create Table: CREATE TABLE `for_delete` (`id` int(10) unsigned NOT NULL AUTO_INCREMENT,`name` varchar(20) DEFAULT NULL,PRIMARY KEY (`id`)
) ENGINE=InnoDB AUTO_INCREMENT=5 DEFAULT CHARSET=utf8
1 row in set (0.00 sec)
说明：虽然delete语句删除了整表，但是再向删除后的表插入时，表中的自增值会在之前的原数据的基础之上增加。
截断表
基础语法：
TRUNCATE [TABLE] table_name
TRUNCATE 只能对整表操作，不能像 DELETE 一样针对部分数据操作；
实际上 MySQL 不对数据操作，所以比 DELETE 更快，但是TRUNCATE在删除数据的时候，并不经过真正的事物，所以无法回滚
会重置 AUTO_INCREMENT 项
准备测试表：
mysql> create table for_truncate (-> id int unsigned primary key auto_increment,-> name varchar(20)-> )engine=innodb default charset=utf8;
Query OK, 0 rows affected (0.02 sec)
插入测试数据：
mysql> insert into for_truncate (name) values ('a'), ('b'), ('c');
Query OK, 3 rows affected (0.00 sec)
Records: 3
Duplicates: 0
Warnings: 0mysql> select * from for_truncate;
+----+------+
id
name
+----+------+
1
a
2
b
3
c
+----+------+
3 rows in set (0.00 sec)
截断整表数据，注意影响行数是 0，所以实际上没有对数据真正操作：
mysql> truncate for_truncate;
Query OK, 0 rows affected (0.02 sec)mysql> select * from for_truncate;
Empty set (0.00 sec)
再插入一条数据，自增 id 在重新增长：
mysql> insert into for_truncate (name) values ('d');
Query OK, 1 row affected (0.00 sec)mysql> select * from for_truncate;
+----+------+
id
name
+----+------+
1
d
+----+------+
1 row in set (0.00 sec)
查看表结构，会有 AUTO_INCREMENT=2 项：
mysql> show create table for_truncate \G
*************************** 1. row ***************************Table: for_truncate
Create Table: CREATE TABLE `for_truncate` (`id` int(10) unsigned NOT NULL AUTO_INCREMENT,`name` varchar(20) DEFAULT NULL,PRIMARY KEY (`id`)
) ENGINE=InnoDB AUTO_INCREMENT=2 DEFAULT CHARSET=utf8
1 row in set (0.00 sec)
插入查询结果
基础语法：
INSERT INTO table_name [(column [, column ...])] SELECT ...
案例：删除表中的的重复记录，重复的数据只能有一份
创建原数据表，插入测试数据：
mysql> create table duplicate_table (-> id int,-> name varchar(20)-> );
Query OK, 0 rows affected (0.04 sec)mysql> insert into duplicate_table values-> (100, 'aaa'),-> (100, 'aaa'),-> (200, 'bbb'),-> (200, 'bbb'),-> (200, 'bbb'),-> (300, 'ccc');
Query OK, 6 rows affected (0.00 sec)
Records: 6
Duplicates: 0
Warnings: 0
创建一张空表 no_duplicate_table结构和 duplicate_table结构一样：
mysql> create table no_duplicate_table like duplicate_table;
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)mysql> desc no_duplicate_table;
+-------+-------------+------+-----+---------+-------+
Field
Type
Null
Key
Default
Extra
+-------+-------------+------+-----+---------+-------+
id
int(11)
YES
NULL
name
varchar(20)
YES
NULL
+-------+-------------+------+-----+---------+-------+
2 rows in set (0.00 sec)
将 duplicate_table 的去重数据插入到 no_duplicate_table：
mysql> insert into no_duplicate_table select distinct * from duplicate_table;
Query OK, 3 rows affected (0.00 sec)
Records: 3
Duplicates: 0
Warnings: 0mysql> select * from no_duplicate_table;
+------+------+
id
name
+------+------+
100
aaa
200
bbb
300
ccc
+------+------+
3 rows in set (0.00 sec)
通过重命名表，实现原子的去重操作：
mysql> alter table duplicate_table rename to duplicate_table_bak;
Query OK, 0 rows affected (0.00 sec)mysql> alter table no_duplicate_table rename to duplicate_table;
Query OK, 0 rows affected (0.01 sec)
聚合函数
案例：
统计班级共有多少同学：
mysql> select count(*) from students;
+----------+
count(*)
+----------+
4
+----------+
1 row in set (0.00 sec)
统计班级收集的 email 有多少：
mysql> select count(email) from students;
+--------------+
count(email)
+--------------+
1
+--------------+
1 row in set (0.00 sec)
统计本次考试的数学成绩分数个数：
统计全部成绩：
mysql> select count(math) from exam_result;
+-------------+
count(math)
+-------------+
6
+-------------+
1 row in set (0.00 sec)
统计去重成绩数量：
mysql> select count(distinct math) from exam_result;
+----------------------+
count(distinct math)
+----------------------+
5
+----------------------+
1 row in set (0.00 sec)
统计数学成绩总分：
mysql> select sum(math) from exam_result;
+-----------+
sum(math)
+-----------+
569
+-----------+
1 row in set (0.00 sec)
统计平均总分：
mysql> select avg(chinese+math+english) from exam_result;
+---------------------------+
avg(chinese+math+english)
+---------------------------+
297.5
+---------------------------+
1 row in set (0.00 sec)
返回英语最高分：
mysql> select max(english) from exam_result;
+--------------+
max(english)
+--------------+
90
+--------------+
1 row in set (0.00 sec)
返回 > 70 分以上的数学最低分：
mysql> select min(math) from exam_result where math>70;
+-----------+
min(math)
+-----------+
73
+-----------+
1 row in set (0.00 sec)
group by子句的使用
在select中使用group by 子句可以对指定列进行分组查询
基本语法：
select column1, column2, .. from table group by column;
案例：
准备工作，创建一个雇员信息表
EMP员工表
DEPT部门表
SALGRADE工资等级表
mysql> desc dept;
+--------+--------------------------+------+-----+---------+-------+
Field
Type
Null
Key
Default
Extra
+--------+--------------------------+------+-----+---------+-------+
deptno
int(2) unsigned zerofill
NO
NULL
dname
varchar(14)
YES
NULL
loc
varchar(13)
YES
NULL
+--------+--------------------------+------+-----+---------+-------+
3 rows in set (0.00 sec)mysql> desc emp;
+----------+--------------------------+------+-----+---------+-------+
Field
Type
Null
Key
Default
Extra
+----------+--------------------------+------+-----+---------+-------+
empno
int(6) unsigned zerofill
NO
NULL
ename
varchar(10)
YES
NULL
job
varchar(9)
YES
NULL
mgr
int(4) unsigned zerofill
YES
NULL
hiredate
datetime
YES
NULL
sal
decimal(7,2)
YES
NULL
comm
decimal(7,2)
YES
NULL
deptno
int(2) unsigned zerofill
YES
NULL
+----------+--------------------------+------+-----+---------+-------+
8 rows in set (0.00 sec)mysql> desc salgrade;
+-------+---------+------+-----+---------+-------+
Field
Type
Null
Key
Default
Extra
+-------+---------+------+-----+---------+-------+
grade
int(11)
YES
NULL
losal
int(11)
YES
NULL
hisal
int(11)
YES
NULL
+-------+---------+------+-----+---------+-------+
3 rows in set (0.00 sec)
显示每个部门的平均工资和最高工资：
mysql> select deptno, avg(sal) avg, max(sal) max from emp group by deptno;
+--------+-------------+---------+
deptno
avg
max
+--------+-------------+---------+
10
2916.666667
5000.00
20
2175.000000
3000.00
30
1566.666667
2850.00
+--------+-------------+---------+
3 rows in set (0.00 sec)
每个部门的每种岗位的平均工资和最低工资：
mysql> select deptno, job, avg(sal) avg, min(sal) min from emp group by deptno, job;
+--------+-----------+-------------+---------+
deptno
job
avg
min
+--------+-----------+-------------+---------+
10
CLERK
1300.000000
1300.00
10
MANAGER
2450.000000
2450.00
10
PRESIDENT
5000.000000
5000.00
20
ANALYST
3000.000000
3000.00
20
CLERK
950.000000
800.00
20
MANAGER
2975.000000
2975.00
30
CLERK
950.000000
950.00
30
MANAGER
2850.000000
2850.00
30
SALESMAN
1400.000000
1250.00
+--------+-----------+-------------+---------+
9 rows in set (0.00 sec)
平均工资低于2000的部门和它的平均工资：
mysql> select deptno, avg(sal) avg from emp group by deptno having avg < 2000;
+--------+-------------+
deptno
avg
+--------+-------------+
30
1566.666667
+--------+-------------+
1 row in set (0.00 sec)
having经常和group by搭配使用，作用是对分组进行筛选，作用有些像where，但是having通常在数据where选择完，group by进行分组，再执行having筛选。
因式分解教案锦集八篇
作为一名为他人授业解惑的教育工作者，通常需要用到教案来辅助教学，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。我们该怎么去写教案呢？下面是小编精心整理的因式分解教案8篇，欢迎大家分享。
因式分解教案 篇1
整式乘除与因式分解
一.回顾知识点
1、主要知识回顾：
幂的运算性质：
aman=am+n(m、n为正整数)
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
=amn(m、n为正整数)
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
(n为正整数)
积的乘方等于各因式乘方的积.
=am-n(a≠0，m、n都是正整数，且m>n)
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
零指数幂的概念：
a0=1(a≠0)
任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l.
负指数幂的概念：
a-p=(a≠0，p是正整数)
任何一个不等于零的数的-p(p是正整数)指数幂，等于这个数的p指数幂的倒数.
也可表示为：(m≠0，n≠0，p为正整数)
单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.
多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
2、乘法公式：
①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.
②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
文字语言叙述：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.
3、因式分解：
因式分解的定义.
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
掌握其定义应注意以下几点：
(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;
(2)因式分解必须是恒等变形;
(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.
弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.
二、熟练掌握因式分解的常用方法.
1、提公因式法
(1)掌握提公因式法的概念;
(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数;②字母――各项含有的相同字母;③指数――相同字母的最低次数;
(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.
(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的.
2、公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;
常用的公式：
①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
因式分解教案 篇2
学习目标：经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，发展推理能力和有条理的表达能力.
学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用.
学习过程：
一、创设情境引入新课
复习乘方an的意义：an表示个相乘，即an=.
乘方的结果叫a叫做，n是
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算?
列式为，你能利用乘方的意义进行计算吗?
二、探究新知：
探一探：
1根据乘方的意义填空
(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();
(2)55×54=_________=5();
(3)(-3)3×(-3)2=_________________=(-3)();
(4)a6a7=________________=a().
(5)5m5n
猜一猜：aman=(m、n都是正整数)你能证明你的猜想吗?
说一说：你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗?
同理可得：amanap=(m、n、p都是正整数)
三、范例学习：
【例1】计算：(1)103×104;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+1(5)xx2+x2x
1.填空：⑴10×109=;⑵b2×b5=;⑶x4x=;⑷x3x3=.
2.计算：
(1)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.
【例2】：把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式.
(1)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)
(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+1
四、学以致用：
1.计算：⑴10n10m+1=⑵x7x5=⑶mm7m9=
⑷-4444=⑸22n22n+1=⑹y5y2y4y=
2.判断题：判断下列计算是否正确?并说明理由
⑴a2a3=a6();⑵a2a3=a5();⑶a2+a3=a5();
⑷aa7=a0+7=a7();⑸a5a5=2a10();⑹25×32=67()。
3.计算：
(1)xx2+x2x(2)x2xn+1+xn-2x4-xn-1x4
(3)-(-a)3(-a)2a5;(4)(a-b)3(b-a)2
(5)(x+y)(x+y)(x+y)2+(x+y)2(x+y)2
4.解答题：
(1)已知xm+nxm-n=x9，求m的值.
(2)据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子?
因式分解教案 篇3
教学目标
1．知识与技能
了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．
2．过程与方法
经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用．
3．情感、态度与价值观
在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值．
重、难点与关键
1．重点：了解因式分解的意义，感受其作用．
2．难点：整式乘法与因式分解之间的关系．
3．关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解．
教学方法
采用“激趣导学”的教学方法．
教学过程
一、创设情境，激趣导入
【问题牵引】
请同学们探究下面的2个问题：
问题1：720能被哪些数整除？谈谈你的想法．
问题2：当a=102，b=98时，求a2－b2的值．
二、丰富联想，展示思维
探索：你会做下面的填空吗？
1．ma+mb+mc=（ ）（ ）；
2．x2－4=（ ）（ ）；
3．x2－2xy+y2=（ ）2．
【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
三、小组活动，共同探究
【问题牵引】
（1）下列各式从左到右的变形是否为因式分解：
①（x+1）（x－1）=x2－1；
②a2－1+b2=（a+1）（a－1）+b2；
③7x－7=7（x－1）．
（2）在下列括号里，填上适当的项，使等式成立．
①9x2（______）+y2=（3x+y）（_______）；
②x2－4xy+（_______）=（x－_______）2．
四、随堂练习，巩固深化
课本练习．
【探研时空】计算：993－99能被100整除吗？
五、课堂总结，发展潜能
由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：
1．什么叫因式分解？
2．因式分解与整式运算有何区别？
六、布置作业，专题突破
选用补充作业．
板书设计
15.4.1 因式分解
1、因式分解 例：
练习：
15.4.2 提公因式法
教学目标
1．知识与技能
能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．
2．过程与方法
使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行因式分解．
3．情感、态度与价值观
培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识，主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值．
重、难点与关键
1．重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式．
2．难点：正确地确定多项式的最大公因式．
3．关键：提公因式法关键是如何找公因式．方法是：一看系数、二看字母．公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
教学方法
采用“启发式”教学方法．
教学过程
一、回顾交流，导入新知
【复习交流】
下列从左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）2x2+4=2（x2+2）； （2）2t2－3t+1= （2t3－3t2+t）；
（3）x2+4xy－y2=x（x+4y）－y2； （4）m（x+y）=mx+my；
（5）x2－2xy+y2=（x－y）2．
问题：
1．多项式mn+mb中各项含有相同因式吗？
2．多项式4x2－x和xy2－yz－y呢？
请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式，并说明理由．
【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式，如在mn+mb中的公因式式是m，在4x2－x中的公因式是x，在xy2－yz－y中的公因式是y．
概念：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
二、小组合作，探究方法
【教师提问】 多项式4x2－8x6，16a3b2－4a3b2－8ab4各项的公因式是什么？
【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式，找公因式一看系数、二看字母，公因式的系数取各项系数的最大公约数；字母取各项相同的字母，并且各字母的指数取最低次幂．
三、范例学习，应用所学
【例1】把－4x2yz－12xy2z+4xyz分解因式．
解：－4x2yz－12xy2z+4xyz
=－（4x2yz+12xy2z－4xyz）
=－4xyz（x+3y－1）
【例2】分解因式，3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
【思路点拨】观察所给多项式可以找出公因式（y－x）2或（x－y）2，于是有两种变形，（x－y）3=－（y－x）3和（x－y）2=（y－x）2，从而得到下面两种分解方法．
解法1：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
=－3a2（y－x）3－4b2（y－x）2
=－[（y－x）23a2（y－x）+4b2（y－x）2]
=－（y－x）2 [3a2（y－x）+4b2]
=－（y－x）2（3a2y－3a2x+4b2）
解法2：3a2（x－y）3－4b2（y－x）2
=（x－y）23a2（x－y）－4b2（x－y）2
=（x－y）2 [3a2（x－y）－4b2]
=（x－y）2（3a2x－3a2y－4b2）
【例3】用简便的方法计算：0.84×12+12×0.6－0.44×12．
【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便．
解：0.84×12+12×0.6－0.44×12
=12×（0.84+0.6－0.44）
=12×1=12．
【教师活动】在学生完全例3之后，指出例3是因式分解在计算中的应用，提出比较例1，例2，例3的公因式有什么不同？
四、随堂练习，巩固深化
课本P167练习第1、2、3题．
【探研时空】
利用提公因式法计算：
0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69
五、课堂总结，发展潜能
1．利用提公因式法因式分解，关键是找准最大公因式．在找最大公因式时应注意：（1）系数要找最大公约数；（2）字母要找各项都有的；（3）指数要找最低次幂．
2．因式分解应注意分解彻底，也就是说，分解到不能再分解为止．
六、布置作业，专题突破
课本P170习题15．4第1、4（1）、6题．
板书设计
15.4.2 提公因式法
1、提公因式法 例：
练习：
15.4.3 公式法（一）
教学目标
1．知识与技能
会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．
2．过程与方法
经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．
3．情感、态度与价值观
培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：利用平方差公式分解因式．
2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．
3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．
教学方法
采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．
教学过程
一、观察探讨，体验新知
【问题牵引】
请同学们计算下列各式．
（1）（a+5）（a－5）； （2）（4m+3n）（4m－3n）．
【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．
（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；
（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．
【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．
1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．
【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：
（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．
（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．
【教师活动】引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．
平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．
评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．
二、范例学习，应用所学
【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）
（1）x2－9y2； （2）16x4－y4；
（3）12a2x2－27b2y2； （4）（x+2y）2－（x－3y）2；
（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．
【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．
【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．
【学生活动】分四人小组，合作探究．
解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）；
（2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）；
（3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）；
（4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y（2x－y）；
（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）
=（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．
三、随堂练习，巩固深化
课本P168练习第1、2题．
【探研时空】
1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．
2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．
四、课堂总结，发展潜能
运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．
五、布置作业，专题突破
课本P171习题15．4第2、4（2）、11题．
板书设计
15.4.3 公式法（一）
1、平方差公式： 例：
a2－b2=（a+b）（a－b） 练习：
15.4.3 公式法（二）
教学目标
1．知识与技能
领会运用完全平方公式进行因式分解的方法，发展推理能力．
2．过程与方法
经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程，感受逆向思维的意义，掌握因式分解的基本步骤．
3．情感、态度与价值观
培养良好的推理能力，体会“化归”与“换元”的思想方法，形成灵活的应用能力．
重、难点与关键
1．重点：理解完全平方公式因式分解，并学会应用．
2．难点：灵活地应用公式法进行因式分解．
3．关键：应用“化归”、“换元”的思想方法，把问题进行形式上的转化，达到能应用公式法分解因式的目的．
教学方法
采用“自主探究”教学方法，在教师适当指导下完成本节课内容．
教学过程
一、回顾交流，导入新知
【问题牵引】
1．分解因式：
（1）－9x2+4y2； （2）（x+3y）2－（x－3y）2；
（3） x2－0.01y2．
因式分解教案 篇4
教学目标：
1、进一步巩固因式分解的概念; 2、巩固因式分解常用的三种方法
3、选择恰当的方法进行因式分解 4、应用因式分解来解决一些实际问题
5、体验应用知识解决问题的乐趣
教学重点：灵活运用因式分解解决问题
教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3
教学过程：
一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值
利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾
1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解
(5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解
(7).2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解
2、.规律总结(教师讲解): 分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点: (1).分解的对象必须是多项式.
(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. (3).要分解到不能分解为止.
3、因式分解的方法
提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念;公因式的求法
公式法: 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
4、强化训练
试一试把下列各式因式分解:
(1).1-x2=(1+x)(1-x) (2).4a2+4a+1=(2a+1)2
(3).4x2-8x=4x(x-2) (4).2x2y-6xy2 =2xy(x-3y)
三、例题讲解
例1、分解因式
(1)-x3y3+x2y+xy (2)6(x-2)+2x(2-x)
(3) (4)y2+y+例2、分解因式
1、a3-ab2= 2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)= 3、(a+b) 2+2(a+b)-15=
4、-1-2a-a2= 5、x2-6x+9-y2 6、x2-4y2+x+2y=
例3、分解因式
1、72-2(13x-7) 2 2、8a2b2-2a4b-8b3
三、知识应用
1、(4x2-9y2)÷(2x+3y) 2、(a2b-ab2)÷(b-a)
3、解方程：(1)x2=5x (2) (x-2)2=(2x+1)2
4、.若x=-3,求20x2-60x的值. 5、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?
四、拓展应用
1.计算:7652×17-2352×17 解:7652×17-2352×17=17(7652-2352)=17(765+235)(765-235)
2、20042+20xx被20xx整除吗?
3、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
五、课堂小结：今天你对因式分解又有哪些新的认识?
因式分解教案 篇5
第1课时
1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.
2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.
自主探索,合作交流.
1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.
2.通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识.
【重点】 因式分解的概念及提公因式法的应用.
【难点】 正确找出多项式中各项的公因式.
【教师准备】 多媒体.
【学生准备】 复习有关乘法分配律的知识.
导入一:
【问题】 一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.
解法1:这块场地的面积=×+×+×=++==2.
解法2:这块场地的面积=×+×+×=×=×4=2.
从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.
[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.
导入二:
【问题】 计算×15-×9+×2采用什么方法?依据是什么?
解法1:原式=-+==5.
解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.
解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.
[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.
一、提公因式法分解因式的概念
思路一
[过渡语] 上一节我们学习了什么是因式分解,那么怎样进行因式分解呢?我们来看下面的问题.
如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是,那么这块场地的面积为a+b+c或(a+b+c),可以用等号来连接,即:a+b+c=(a+b+c).
大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?
分析:等式左边的每一项都含有因式,等式右边是与多项式a+b+c的乘积,从左边到右边的过程是因式分解.
由于是左边多项式a+b+c中的各项a,b,c都含有的一个相同因式,因此叫做这个多项式各项的公因式.
由上式可知,把多项式a+b+c写成与多项式a+b+c的乘积的形式,相当于把公因式从各项中提出来,作为多项式a+b+c的一个因式,把从多项式a+b+c的各项中提出后形成的多项式a+b+c,作为多项式a+b+c的另一个因式.
总结:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.
[设计意图] 通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.
思路二
[过渡语] 同学们,我们来看下面的问题,看看同学们谁先做出来.
多项式 ab+ac中,各项都含有相同的因式吗?多项式 3x2+x呢?多项式b2+nb-b呢?
结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?
结论:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.
[设计意图] 从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了因式分解的一种方法,现在我们尝试下利用这种方法进行因式分解吧.
(教材例1)把下列各式因式分解:
(1)3x+x3;
(2)7x3-21x2;
(3)8a3b2-12ab3c+ab;
(4)-24x3+12x2-28x.
〔解析〕 首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.要避免提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提彻底”的现象.
解:(1)3x+x3=x3+xx2=x(3+x2).
(2)7x3-21x2=7x2x-7x23=7x2(x-3).
(3)8a3b2-12ab3c+ab
=ab8a2b-ab12b2c+ab1
=ab(8a2b-12b2c+1).
(4)-24x3+12x2-28x
=-(24x3-12x2+28x)
=-(4x6x2-4x3x+4x7)
=-4x(6x2-3x+7).
【学生活动】 通过刚才的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和容易出现的问题.
总结:提取公因式的步骤:(1)找公因式;(2)提公因式.
容易出现的问题(以本题为例):(1)第(2)题中只提出7x作为公因式;(2)第(3)题中最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后面的因式中的每一项都变号.
教师提醒:
(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;
(3)若多项式的首项为“-”,则先提取“-”号,然后再提取其他公因式;
(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等.
[设计意图] 经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验.
1.提公因式法分解因式的一般形式,如:
a+b+c=(a+b+c).
这里的字母a,b,c,可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.
2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤:
(1)若各项系数是整系数,则取系数的最大公约数;
(2)取各项中相同的字母,字母的指数取最低的;
(3)所有这些因式的乘积即为公因式.
1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )
A.-6ab2cB.-ab2
C.-6ab2D.-6a3b2c
解析:根据确定多项式各项的公因式的方法,可知公因式为-6ab2.故选C.
2.下列用提公因式法分解因式正确的是( )
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)
B.3x2-3x+6=3(x2-x+2)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)
D.x2+5x-=(x2+5x)
解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),错误;B.3x2-3x+6=3(x2-x+2),错误;D.x2+5x-=(x2+5x-1),错误.故选C.
3.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是( )
A.15a2b-20a2b2
B.30a2b3-15ab4-10a3b2
C.10a2b-20a2b3+50a4b
D.5a2b4-10a3b3+15a4b2
解析:B.应提取公因式5ab2,错误;C.应提取公因式10a2b,错误;D.应提取公因式5a2b2,错误.故选A.
4.填空.
(1)5a3+4a2b-12abc=a( );
(2)多项式32p2q3-8pq4的公因式是 ;
(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);
(4)因式分解:+n= ;
(5)-15a2+5a= (3a-1);
(6)计算:21×3.14-31×3.14= .
答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3 (3)a (4)(+n) (5)-5a (6)-31.4
5.用提公因式法分解因式.
(1)8ab2-16a3b3;
(2)-15x-5x2;
(3)a3b3+a2b2-ab;
(4)-3a3-6a2+12a.
解:(1)8ab2(1-2a2b).
(2)-5x(3+x).
(3)ab(a2b2+ab-1).
(4)-3a(a2+2a-4).
第1课时
一、教材作业
【必做题】
教材第96页随堂练习.
【选做题】
教材第96页习题4.2.
二、课后作业
【基础巩固】
1.把多项式4a2b+10ab2分解因式时,应提取的公因式是 .
2.(20xx淮安中考)因式分解:x2-3x= .
3.分解因式:12x3-18x22+24x3=6x .
【能力提升】
4.把下列各式因式分解.
(1)3x2-6x;
(2)5x23-25x32;
(3)-43+162-26;
(4)15x32+5x2-20x23.
【拓展探究】
5.分解因式:an+an+2+a2n.
6.观察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….这列式子有什么规律?请你将猜想到的规律用含有字母n(n为自然数)的式子表示出来.
【答案与解析】
1.2ab
2.x(x-3)
3.(2x2-3x+42)
4.解:(1)3x(x-2). (2)5x22(-5x). (3)-2(22-8+13). (4)5x2(3x+1-42).
5.解:原式=an1+ana2+anan=an(1+a2+an).
6.解:由题中给出的几个式子可得出规律:n2+n=n(n+1).
本节运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由提公因数到提公因式,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.
在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的`回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简,比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程等中都要用到因式分解的知识,因此应该注重因式分解的概念和方法的教学.
随堂练习(教材第96页)
解:(1)(a+b). (2)52(+4). (3)3x(2-3). (4)ab(a-5). (5)22(2-3). (6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).
习题4.2(教材第96页)
1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2). (2)82n+2n=2n4+2n1=2n(4+1). (3)a2x2-ax2=axax-ax=ax(ax-). (4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3). (5)-24x2-12x2-283=-(24x2+12x2+283)=-4(6x2+3x+72).
(6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1). (7)-2x2-12x2+8x3=-(2x2+12x2-8x3)=-2x(x+62-43). (8)-3a3+6a2-12a=-(3a3-6a2+12a)=-3a(a2-2a+4).
2.解:(1)++=(++)=3.14×(202+162+122)=2512. (2)∵xz-z=z(x-),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.
3.解:(1)不正确,因为提取的公因式不对,应为n(2n--1). (2)不正确,因为提取公因式-b后,第三项没有变号,应为-b(ab-2a+3). (3)正确. (4)不正确,因为最后的结果不是乘积的形式,应为(a-2)(a+1).
提公因式法是本章的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法分配律的逆运算到提公因式的过程,让学生体会数学中的一种主要思想――类比思想.运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,就利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解,进而使学生进一步理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.
已知方程组求7(x-3)2-2(3-x)3的值.
〔解析〕 将代数式分解因式,产生x-3与2x+两个因式,再根据方程组整体代入,使计算简便.
解:7(x-3)2-2(3-x)3
=(x-3)2[7+2(x-3)]
=(x-3)2(7+2x-6)
=(x-3)2(2x+).
由方程组可得原式=12×6=6.
因式分解教案 篇6
教学目标：运用平方差公式和完全平方公式分解因式，能说出平方差公式和完全平方公式的特点，会用提公因式法与公式法分解因式．培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元的思想方法．并能说出提公因式在这类因式分解中的作用，能灵活应用提公因式法、公式法分解因式以及因式分解的标准．
教学重点和难点：1．平方差公式；2．完全平方公式；3．灵活运用3种方法.
教学过程：
一、提出问题，得到新知
观察下列多项式：x24和y225
学生思考，教师总结：
(1)它们有两项，且都是两个数的平方差；(2)会联想到平方差公式.
公式逆向：a2b2=(a+b)(ab)
如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.
二、运用公式
例1：填空
①4a2=()2②b2=()2③0.16a4=()2
④1.21a2b2=()2⑤2x4=()2⑥5x4y2=()2
解答：①4a2=(2a)2；②b2=(b)2③0.16a4=(0.4a2)2
④1.21a2b2=(1.1ab)2⑤2x4=(x2)2⑥5x4y2=(x2y)2
例2：下列多项式能否用平方差公式进行因式分解
①1.21a2+0.01b2②4a2+625b2③16x549y4④4x236y2
解答：①1.21a2+0.01b2能用
②4a2+625b2不能用
③16x549y4不能用
④4x236y2不能用
因式分解教案 篇7
教学目标
1、 会运用因式分解进行简单的多项式除法。
2、 会运用因式分解解简单的方程。
二、教学重点与难点教学重点：
教学重点
因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。
教学难点：
应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。
三、教学过程
（一）引入新课
1、 知识回顾（1） 因式分解的几种方法： ①提取公因式法： ma+mb=m（a+b） ②应用平方差公式： = （a+b） （a―b）③应用完全平方公式：a 2ab+b =（ab） （2） 课前热身： ①分解因式：（x +4） y ― 16x y
（二）师生互动，讲授新课
1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算： （1） （2ab ―8a b） （4a―b）（2）（4x ―9） （3―2x）解：（1） （2ab ―8a b）（4a―b） =―2ab（4a―b） （4a―b） =―2ab （2） （4x ―9） （3―2x） =（2x+3）（2x―3） [―（2x―3）] =―（2x+3） =―2x―3
一个小问题 ：这里的x能等于3/2吗 ？为什么？
想一想：那么（4x ―9） （3―2x） 呢？练习：课本P162课内练习
合作学习
想一想：如果已知 （ ）（ ）=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢？ （让学生自己思考、相互之间讨论！）事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：（1）A和B同时都为零，即A=0，且B=0（2）A和B中有一个为零，即A=0，或B=0
试一试：你能运用上面的结论解方程（2x+1）（3x―2）=0 吗？3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程： （1） 2x +x=0 （2） （2x―1） =（x+2） 解：x（x+1）=0 解：（2x―1） ―（x+2） =0则x=0，或2x+1=0 （3x+1）（x―3）=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x―3=0 原方程的根是x1=
，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2
等练习：课本P162课内练习2
做一做！对于方程：x+2=（x+2） ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以（x+2）吗？为什么？
教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤（1）如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程；（2）如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程；遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式！4、知识延伸解方程：（x +4） ―16x =0解：将原方程左边分解因式，得 （x +4） ―（4x）
=0（x +4+4x）（x +4―4x）=0（x +4x+4）（x ―4x+4）=0 （x+2） （x―2） =0接着继续解方程，5、 练一练 ①已知 a、b、c为三角形的三边，试判断 a ―2ab+b ―c 大于零？小于零？等于零？解： a ―2ab+b ―c =（a―b） ―c =（a―b+c）（a―b―c）∵ a、b、c为三角形的三边 a+c ?b a?b+c
a―b+c?0 a―b―c ?0即：（a―b+c）（a―b―c） ?0 ，因此 a ―2ab+b ―c 小于零。6、 挑战极限①已知：x=20xx，求?4x ―4x+3 ? ―4 ? x +2x+2 ? +13x+6的值。解： ∵4x ― 4x+3= （4x ―4x+1）+2 = （2x―1） +2 0x +2x+2 = （x +2x+1）+1 = （x+1） +10 ?4x
―4x+3 ? ―4 ? x +2x+2 ? +13x+6= 4x ― 4x+3 ―4（x +2x+2 ） +13x+6= 4x ― 4x+3 ―4x ―8x ―8+13x+6= x+1即：原式= x+1=20xx+1=20xx
（三）梳理知识，总结收获因式分解的两种应用：
（1）运用因式分解进行多项式除法
（2）运用因式分解解简单的方程
（四）布置课后作业
作业本6、42、课本P163作业题（选做）
因式分解教案 篇8
教学目标：
1、进一步巩固因式分解的概念;
2、巩固因式分解常用的三种方法
3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题
5、体验应用知识解决问题的乐趣
教学重点：灵活运用因式分解解决问题
教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3
教学过程：
一、创设情景：若a=101，b=99，求a2―b2的值
利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。
二、知识回顾
1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
判断下列各式哪些是因式分解？（让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系）
（1）、x2―4y2=（x+2y）（x―2y）因式分解（2）。2x（x―3y）=2x2―6xy整式乘法
（3）、（5a―1）2=25a2―10a+1整式乘法（4）。x2+4x+4=（x+2）2因式分解
（5）、（a―3）（a+3）=a2―9整式乘法（6）。m2―4=（m+4）（m―4）因式分解
（7）、2πR+2πr=2π（R+r）因式分解
2、规律总结（教师讲解）：分解因式与整式乘法是互逆过程。
分解因式要注意以下几点：
（1）。分解的对象必须是多项式。
（2）。分解的结果一定是几个整式的乘积的形式。
（3）。要分解到不能分解为止。
3、因式分解的方法
提取公因式法：―6x2+6xy+3x=―3x（2x―2y―1）公因式的概念;公因式的求法
公式法：平方差公式：a2―b2=（a+b）（a―b）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2
4、强化训练
教学引入
师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。
动画演示：
场景一：正方形折叠演示
师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质―边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。
[学生活动：各自测量。]
鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。
讲授新课
找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。
动画演示：
场景二：正方形的性质
师：这些性质里那些是矩形的性质？
[学生活动：寻找矩形性质。]
动画演示：
场景三：矩形的性质
师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。
[学生活动;寻找菱形性质。]
动画演示：
场景四：菱形的性质
师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。
及时提出问题，引导学生进行思考。
师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个准确的定义？
[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]
师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。
学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：
“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”
“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”
“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”
[学生活动：讨论这三个定义正确不正确？三个定义之间有什么共同和不同的地方？这出教材中采用的是第三种定义方式。]
师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。
试一试把下列各式因式分解：
（1）。1―x2=（1+x）（1―x）（2）。4a2+4a+1=（2a+1）2
（3）。4x2―8x=4x（x―2）（4）。2x2y―6xy2=2xy（x―3y）
三、例题讲解
例1、分解因式
（1）―x3y3+x2y+xy（2）6（x―2）+2x（2―x）
（3）（4）y2+y+
例2、分解因式
1、a3―ab2=2、（a―b）（x―y）―（b―a）（x+y）=3、（a+b）2+2（a+b）―15=
4、―1―2a―a2=5、x2―6x+9―y26、x2―4y2+x+2y=
例3、分解因式
1、72―2（13x―7）22、8a2b2―2a4b―8b3
四、知识应用
1、（4x2―9y2）÷（2x+3y）2、（a2b―ab2）÷（b―a）
3、解方程：（1）x2=5x（2）（x―2）2=（2x+1）2
4、。若x=―3，求20x2―60x的值。5、1993―199能被200整除吗？还能被哪些整数整除？
五、拓展应用
1。计算：7652×17―2352×17解：7652×17―2352×17=17（7652―2352）=17（765+235）（765―235）
2、20042+20xx被20xx整除吗？
3、若n是整数，证明（2n+1）2―（2n―1）2是8的倍数。
五、课堂小结
今天你对因式分解又有哪些新的认识？
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