Nullstellensatz）确立了几何和代数的基本关系，从而构成了代数几何的基础。希尔伯特发现了某多项式集的零点和在某集合上为零（vanish）的多项式集的对应关系，并证明了零点定理和其他重要的相关结论。加下来我们要一起来看一看这个重要的定理。

在我们介绍希尔伯特零点定理之前，先要介绍一些背景知识。首先，我们来看一下在代数几何中，多项式的零点集是如何表述的。在整篇文章中， \mathbb{K} 代表一个代数闭域（algebraically closed field），即任意以域中元素为系数的非常数项多项式都有零点的域，大家可以将

接下来，我们要介绍希尔伯特基底定理（Hilbert basis theorem），它表明一个诺特环的多项式环也是一个诺特环。

为诺特环，所以其中所有理想都是有限生成的。换句话说，每个仿射代数集只需要有限多个多项式来定义。

若一个代数集不能写成两个更小的代数集的并集，那它叫做不可约的（irreducible）。事实上，任意代数集都可写成不可约代数集的并集，这些不可约代数集叫做它的不可约成分（irreducible component），且这种分解是唯一的。

为了展示代数集都可写成不可约代数集的有限并集，我们要引入诺特拓扑空间（Noetherian topological space）的概念。

接下来我们会看到，每个诺特拓扑空间都可以被唯一地分解为有限多个不可约的闭子集的并集。

现在我们正式介绍确立了代数集和理想的关系的希尔伯特零点定理。首先，我们注意到，若将 Z 和 I 看做映射，可知它们互为逆映射（inverse map）。从代数集和理想的定义可知， I\subseteq I(Z(I)) ，且 X\subseteq Z(I(X)) 。又因为代数集 X=Z(I) ，这里 I 是一个理想，所以对于任意仿射代数集 X\subseteq\mathbb{A}^n ，我们都有 Z(I(X))=X 。这样我们确定了仿射空间中的代数集和多项式环中的理想的对应关系。

弱希尔伯特零点定理的证明用到了代数同态（algebra homomorphism）的概念和诺特正规化定理（Noether normalization theorem），在这里我们不展开讨论。从弱希尔伯特零点定理，我们可以得到两个推论。映射 p\mapsto I(p) 和

中根理想的集合之间互为逆映射的双射，从而确立了代数集（几何）和理想（代数）的关系。强希尔伯特零点定理还有一个关于不可约性的推论。

仿射空间和不是单点集的仿射簇不是紧（compact）的，所以我们想要设法紧化（compactify）它们，使它们具有更好的性质。在中，我们将要引入影射空间（projective space）和影射簇（projective variety）的概念，以解决此问题，并介绍在影射空间中的零点定理。

请注意，Pólya 是匈牙利数学家，请尽量不要漏掉 ó 上的长音符写成 Polya （Polay 就更不行了）。

为了照顾不了解的同学，我们从最基础的定义开始。

1.2 轮换与轮换指标

定理的描述很简单，那么它如何应用呢？

由于时间原因不再多讲（作者懒），这里留下几个问题供大家思考。
1.仿照循环群，计算二面体群的轮换指标。
2.尝试求 \(n\) 阶简单图的个数。
3.。有色图？来了来了，在哪里啊！

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1、2021年辽宁省辽阳市辽阳县中考数学一模试卷一、选择题每题3分，共30分1的绝对值是A2021BCD20212下面的计算正确的选项是A3x24x2=12x2Bx3x5=x15Cx4x=x3Dx52=x73太阳的温度很高，其外表温度大概有6 000，而太阳中心的温度到达了19 200 000，用科学记数法可将19 200

A逆时针旋转75，得到ABC，过点B作BDCA，交CA的延长线于点D，假设AC=6，那么AD的长为A2B3C2D37假设关于x的一元二次方程k1x2+2x2=0有不相等实数根，那么k的取值范围是AkBkCk且k1Dk且k18小明记录了某市连续10天的最高气温如表：最高气温天数1324那么关于这10天的最高气温的说法正确的选项是A中位数23.5B众数22C方差46D平均数249商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1以下说法正确的选项是A抽10次奖必有一次抽到一等奖B抽一次不可能抽到一等奖C抽10次也可能没有抽到一等奖D抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定

3、抽到一等奖10如图，点A4，0，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点不含端点O，A，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D当ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于AB C2D 二、填空题每题3分，共24分11把多项式2a38a分解因式的结果是12使有意义的x的取值范围是13在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，那么两次摸取的小球标号都是1的概率为14如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为

4、圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影局部的面积为15在江岸区创立文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工如图是反映所铺设彩色砖道的长度y米与施工时间x时之间关系的局部图象如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，那么甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为米16如图，BC是O弦，D是BC上一点，DO交O于点A，连接AB、OC，假设A=20，C=30，那么AOC的度数为17如图，在平面直角坐标系中，RtABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，ABO=9

5、0，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C假设S四边形ABCD=10，那么k的值为18如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设B2D1C1的面积为S1，B3D2C2的面积为S2，Bn+1DnCn的面积为Sn，那么S2=；Sn=用含n的式子表示三、解答题第19题10分，第20题12分，共22分19先化简，后求值：，其中x=320为了贯彻“减负增效精神，掌握学年度九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了学年度九年级的局部学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结果，制作了两幅不完整的统

6、计图图1，图2，请根据统计图中的信息答复以下问题：1本次调查的学生人数是人；2图2中是度，并将图1条形统计图补充完整；3请估算该校学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；4老师想从学习效果较好的4位同学分别记为A，B，C，D，其中A为小亮随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率四、解答题每题12分，共24分21如图，己知点A1，在反比例函数y=x0的图象上，连接OA，将线段OA绕点D顺时针方向旋转30，得到线段OB1求反比例函数的解析式；2判断点B是否在反比例函数图象上，并说明理由；3设直线AB的解析式为y=ax+b，请直接写出不等式a

7、x+b0的解集22某超市用3000元购进某种干果，由于销售状况良好，超市又用9000元第二次购进该干果，但第二次的进价比第一次的提高了20%，第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克1求该干果的第一次进价是每千克多少元？2百姓超市按每千克9元的价格出售，当大局部干果售出后，余下的按售价的8折售完，假设两次销售这种干果的利润不少于5820元，那么最多余下多少千克干果按售价的8折销售五、解答题23如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45方向上，测得B在北偏东32方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量

8、结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？精确到1米，参考数据：sin32=0.5299，cos32=0.8480六、解答题24如图，AB为O的直径，P是BA延长线上一点，PC切O于点C，CG是O的弦，CGAB，垂足为D1求证：PCA=ABC；2过点A作AEPC，交O于点E，交CD于点F，连接BE假设sinP=，CF=5，求BE的长七、解答题25：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折BPE得到FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ1如图，当BP=1.5时，求CQ的长；2如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关

9、系式，并写出x的取值范围；3延长EF交直线AD于点H，假设CQE与FHG相似，求BP的长八、解答题26在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+c与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，交y轴的正半轴于点C，其顶点为M，MHx轴于点H，MA交y轴于点N，sinMOH=1求此抛物线的函数表达式；2过H的直线与y轴相交于点P，过O，M两点作直线PH的垂线，垂足分别为E，F，假设=时，求点P的坐标；3将1中的抛物线沿y轴折叠，使点A落在点D处，连接MD，Q为1中的抛物线上的一动点，直线NQ交x轴于点G，当Q点在抛物线上运动时，是否存在点Q，使ANG与ADM相似？假设存在，求出所有符合条件的直线QG的解析式

10、；假设不存在，请说明理由2021年辽宁省辽阳市辽阳县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题每题3分，共30分1的绝对值是A2021BCD2021【考点】绝对值【分析】根据相反数的意义，求解即可注意正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数【解答】解：的绝对值等于其相反数，的绝对值是应选B2下面的计算正确的选项是A3x24x2=12x2Bx3x5=x15Cx4x=x3Dx52=x7【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式【分析】根据单项式的乘法、同底数幂的乘法和除法、幂的乘方等知识点进行判断【解答】解：A、3x24x2=12x4，故本选项错

11、误；B、x3x5=x8，故本选项错误；C、正确；D、x52=x10，故本选项错误应选C3太阳的温度很高，其外表温度大概有6 000，而太阳中心的温度到达了19 200 000，用科学记数法可将19 200 000表示为A1.07C1.09【考点】科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数【解答】解：将19 200 000用科学记数法表示为：1.92107应选：

12、B4如图，BDAC，1=65，A=40，那么2的大小是A55B65C75D85【考点】平行线的性质【分析】先根据平行线的性质求出C，再根据三角形内角和定理求出2的大小即可【解答】解：BDAC，1=65，C=1=65，A=40，2=180AC=75，应选C5一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的侧面积是A4B6C8D12【考点】由三视图判断几何体【分析】根据三视图正视图以及左视图都为矩形，底面是圆形，那么可想象出这是一个圆柱体侧面积=底面周长高【解答】解：圆柱的直径为2，高为3，侧面积为223=6应选B6如图，ABC为等腰直角三角形，ACB=90，将ABC绕点 A逆时针旋转75，得到ABC，

13、过点B作BDCA，交CA的延长线于点D，假设AC=6，那么AD的长为A2B3C2D3【考点】旋转的性质【分析】在直角ABC中利用勾股定理即可求得AB的长，那么AB的长即可求得，然后根据旋转角的定义利用角的和差求得BAD的度数，在直角BAD中利用三角函数即可求解【解答】解：在直角ABC中，AB=6，那么AB=AB=6在直角BAD中，BAD=180BACBAB=那么AD=ABcosBAD=6=3应选D7假设关于x的一元二次方程k1x2+2x2=0有不相等实数根，那么k的取值范围是AkBkCk且k1Dk且k1【考点】根的判别式；一元二次方程的定义【分析】根据判别式的意义得到=22

14、4k120，然后解不等式即可【解答】解：关于x的一元二次方程k1x2+2x2=0有不相等实数根，=224k120，解得k；且k10，即k1应选：C8小明记录了某市连续10天的最高气温如表：最高气温天数1324那么关于这10天的最高气温的说法正确的选项是A中位数23.5B众数22C方差46D平均数24【考点】方差；加权平均数；中位数；众数【分析】利用方差的计算公式、加权平均数的计算公式、中位数及众数的定义分别求解后即可确定正确的选项【解答】解：A、排序后位于中间位置的两数为25，25，故中位数为25，故错误；B、数据26出现了4次，最多，故众数为26，故错误；平均数为20+223

+242=44，故错误；故D正确，应选D9商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为O.1以下说法正确的选项是A抽10次奖必有一次抽到一等奖B抽一次不可能抽到一等奖C抽10次也可能没有抽到一等奖D抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖【考点】概率的意义【分析】根据概率是频率多个的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现进行解答即可【解答】解：根据概率的意义可得“抽到一等奖的概率为O.1就是说抽10次可能抽到一等奖，也可能没有抽到一等奖，应选：C10如图，点A4，0，O为坐标原点，P是线段OA上任

16、意一点不含端点O，A，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D当ODA是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于AB C2D 【考点】二次函数的最值；等边三角形的性质【分析】连接PB、PC，根据二次函数的对称性可知OB=PB，PC=AC，从而判断出POB和ACP是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可【解答】解：如图，连接PB、PC，由二次函数的性质，OB=PB，PC=AC，ODA是等边三角形，AOD=OAD=60，POB和ACP是等边三角形，A4，0，OA=4，点B、C的纵坐标之和为4=2，即两个二次

17、函数的最大值之和等于2应选C二、填空题每题3分，共24分11把多项式2a38a分解因式的结果是2aa+2a2【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式进而利用平方差公式法分解因式得出即可【解答】解：2a38a=2aa24=2aa+2a2故答案为：2aa+2a212使有意义的x的取值范围是x2【考点】二次根式有意义的条件【分析】当被开方数x2为非负数时，二次根式才有意义，列不等式求解【解答】解：根据二次根式的意义，得x20，解得x213在一个不透明的口袋中，有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸取一个小球记下标号后放回，再随机地摸取一个小球记下标号，那么两

18、次摸取的小球标号都是1的概率为【考点】列表法与树状图法【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸取的小球标号都是1的情况数，即可求出所求的概率【解答】解：列表如下：123411，12，13，14，121，22，23，24，231，32，33，34，341，42，43，44，4所有等可能的情况有16种，其中两次摸取的小球标号都是1的情况有1种，那么P=故答案为：14如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2，图中阴影局部的面积为2【考点】矩形的性质；扇形面积的计算【分析】根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半可得

19、AED=30，然后求出DE，再根据阴影局部的面积=S扇形AEFSADE列式计算即可得解【解答】解：AB=2DA，AB=AE扇形的半径，AE=2DA=22=4，AED=30，DAE=9030=60，DE=2，阴影局部的面积=S扇形AEFSADE，=22，=2故答案为：215在江岸区创立文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工如图是反映所铺设彩色砖道的长度y米与施工时间x时之间关系的局部图象如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米/时，结果两队同时完成了任务，那么甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为110米【考点】一次函

20、数的应用【分析】1设函数关系是为y=kx+b，然后利用待定系数法求解即可；2先求出甲队的速度，然后设甲队从开始到完工所铺设彩色砖道的长度为z米，再根据6小时后两队所用的时间相等列方程求解即可【解答】解：1设乙队在2x6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由图可知，函数图象过点2，30，6，50，解得y=5x+20；2由图可知，甲队速度是：606=10米/时，设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米，依题意得，解得z=110答：甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米16如图，BC是O弦，D是BC上一点，DO交O于点A，连接AB、OC，假设A=20，C=30，那么AOC的度数

21、为100【考点】圆周角定理【分析】设AOC=x，根据圆周角定理得到B的度数，根据三角形的外角的性质列出方程，解方程得到答案【解答】解：设AOC=x，那么B=x，AOC=ODC+C，ODC=B+A，x=20+30+x，解得x=100故答案为：10017如图，在平面直角坐标系中，RtABO的顶点O与原点重合，顶点B在x轴上，ABO=90，OA与反比例函数y=的图象交于点D，且OD=2AD，过点D作x轴的垂线交x轴于点C假设S四边形ABCD=10，那么k的值为16【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义【分析】证DCOABO，推出=，求出=2=，求出SODC=8，根据三角形面积公式

22、得出OCCD=8，求出OCCD=16即可【解答】解：OD=2AD，=，ABO=90，DCOB，ABDC，DCOABO，=，=2=，S四边形ABCD=10，SODC=8，OCCD=8，OCCD=16，双曲线在第二象限，k=16，故答案为：1618如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设B2D1C1的面积为S1，B3D2C2的面积为S2，Bn+1DnCn的面积为Sn，那么S2=；Sn=用含n的式子表示【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】由三角形的相似性可求得S2、S3、S4的值，那么Sn的值也可用含n的式子表示出来【解答】解：由于各三角形为等边三角形，且各边长

24、先化简，后求值：，其中x=3【考点】分式的化简求值【分析】首先将括号里面通分，能分解因式的分解因式，进而化简后求值得出【解答】解：，=+=，当x=3时，原式=20为了贯彻“减负增效精神，掌握学年度九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了学年度九年级的局部学生，并调查他们每天自主学习的时间根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图1，图2，请根据统计图中的信息答复以下问题：1本次调查的学生人数是40人；2图2中是54度，并将图1条形统计图补充完整；3请估算该校学年度九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有330人；4老师想从学习效果

25、较好的4位同学分别记为A，B，C，D，其中A为小亮随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图【分析】1由自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，即可求得本次调查的学生人数；2由360=54，4035%=14；即可求得答案；3首先求得这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比，然后可求得该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时的人数；4首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：1自主学习的时间是1小时的有12人，占3

26、0%，1230%=40，故答案为：40；2360=54，4035%=14；补充图形如图：，故答案为：54；，故答案为：330；4画树状图得：共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，PA=四、解答题每题12分，共24分21如图，己知点A1，在反比例函数y=x0的图象上，连接OA，将线段OA绕点D顺时针方向旋转30，得到线段OB1求反比例函数的解析式；2判断点B是否在反比例函数图象上，并说明理由；3设直线AB的解析式为y=ax+b，请直接写出不等式ax+b0的解集【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【分析】1根据反比例函数图象上点的坐标特征可计算出k=，于是得到反比例函数解析

27、式为y=；2作AEy轴于E，BFx轴于F，如图，在RtOAE中根据正切定义得到tanAOE=，那么AOE=30，所以OA=2AE=2，再根据旋转的性质得AOB=30，OB=OA=2，于是可计算出BOF=30，接着在RtBOF中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BF=OB=1，OF=BF=，那么B，1，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征判断点B，1是否在反比例函数y=的图象上；2观察函数图象，写出反比例函数图象在直线AB上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：1点A1，在反比例函数y=x0的图象上，k=1=，反比例函数解析式为y=；2点B在反比例函数图象上理由如下：作AEy轴于E，BFx轴

28、于F，如图，在RtOAE中，AE=1，OE=，tanAOE=，AOE=30，OA=2AE=2，线段OA绕点O顺时针方向旋转30，得到线段OB，AOB=30，OB=OA=2，BOF=30，在RtBOF中，BF=OB=1，OF=BF=，B，1，当x=时，y=1，点B，1在反比例函数y=的图象上；20x1或x22某超市用3000元购进某种干果，由于销售状况良好，超市又用9000元第二次购进该干果，但第二次的进价比第一次的提高了20%，第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克1求该干果的第一次进价是每千克多少元？2百姓超市按每千克9元的价格出售，当大局部干果售出后，余下的按售价的8折售完，假设两

29、次销售这种干果的利润不少于5820元，那么最多余下多少千克干果按售价的8折销售【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用【分析】1设该种干果的第一次进价是每千克x元，那么第二次进价是每千克1+20%x元根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解2根据利润=售价进价列出不等式并解答【解答】解：1设该种干果的第一次进价是每千克x元，那么第二次进价是每千克1+20%x元，由题意，得=2+300，解得x=5，经检验x=5是方程的解答：该种干果的第一次进价是每千克5元2设当大局部干果售出后，余下a千克按售价的8折售完，由题意得：+a9+980%a5820，解得a600

30、答：当大局部干果售出后，余下的按售价的8折售完，假设两次销售这种干果的利润不少于5820元，那么最多余下600千克干果按售价的8折销售五、解答题23如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45方向上，测得B在北偏东32方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？精确到1米，参考数据：sin32=0.5299，cos32=0.8480【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】此题可通过构建直角三角形来解答，过点C作AB的垂线交AB于D，CD是直角三角形ACD和CBD

34、inEAD=，AB=20，BE=12七、解答题25：正方形ABCD的边长为4，点E为BC的中点，点P为AB上一动点，沿PE翻折BPE得到FPE，直线PF交CD边于点Q，交直线AD于点G，联接EQ1如图，当BP=1.5时，求CQ的长；2如图，当点G在射线AD上时，BP=x，DG=y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；3延长EF交直线AD于点H，假设CQE与FHG相似，求BP的长【考点】相似形综合题【分析】1首先确定PEQ=90，即PEEQ，然后利用PBEECQ，列出比例式求出CD的长度；2根据PBEECQ，求出DQ的表达式；由QDAP，列出比例式求解；3本问分两种情形，需要分类讨论，防止漏解【解答】解：1由翻折性质，可知PE为BPQ的角平分线，且BE=FE点E为BC中点，EC=EB=EF，QE为CQP的角平分线ABCD，BPQ+CQP=180，即2EPQ