左极限 ≠ 右极限 就没有极限，那当初的左叫什么?右叫什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-13 14:18 标签： 左极限与右极限

预备知识　数列的极限（简明微积分）

　　 微积分的核心概念是极限，而极限最基础的情形是数列的极限．数列是离散的，比较容易理解，而所有与极限有关的概念也都可以从数列的极限拓展得到．

　　 先来看一个数列的例子．

　　 我们都知道 $\pi$ 是一个无理数，所以 $\pi$ 的小数部分是无限多的．目前用计算机，已经可以将 $\pi$ 精确地计算到小数点后数亿位．然而在实际应用中，往往只用取前几位小数的近似即可．下面给出一个数列，定义第 $n$ 项是 $\pi$ 的前 $n$ 位小数近似（不考虑四舍五入），即

　　 这个数列显而易见的性质，就是当 $n$ 趋于无穷时，$a_n$ 趋（近）于 $\pi$．无穷通常用符号 $\infty$ 来表示（像 “8” 横过来写）．我们把这类过程叫做极限．以上这种情况，用极限符号表示，就是

这里 $\lim$ 是极限（limit）的意思，下方用箭头表示某个量变化的趋势．算符的 “输出” 就是一个数（$a_n$ 的极限值）．所以不要误以为这条式子是说当 $n = \infty$ $x=y$，而是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$．

　　 所以从概念上来说，极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的．趋于是数列整体的性质，而不是单个数字的性质．我们可以像这样粗略理解 “趋近”：

  • 越来越接近，但不一定相等
  • （在不相等的情况下）只有更近，没有最近

图 1：两个数列示意图．实心点表示数列 $a_n=(-1)^{n}$，空心点表示数列 $b_n=(1/2)^n$；横实线表示 $y=1$，横虚线表示 $y=1/2$．由图可见，随着 $n$ 增大，黑色点列虽然总有落在 $1$ 上的点，但也总有落在虚线以外的点；而空心点列则总是落在虚线以外．这样，虚线就像一个天堑，随着 $n$ 增大的时候两个数列都有被这个天堑隔开的点，这时我们就说这两个数列都不趋近于 $1$．不过，空心点数列 $\{b_n\}$ 是趋近于 $0$ 的．

　　 由于以上讨论中 $\lim$ 作用的对象是数列，那么箭头右边只能是 $\infty$（准确来说应该是正无穷 $+\infty$，但是由于数列的项一般是正的，所以正号省略了）．

　　 我们来看几个简单的例题，加深一下印象．

　　 考虑数列 $a_n=(-1)^n$．这个数列存在极限吗？

　　 的数列是不存在极限的，因为它的值在 $\pm 1$ 之间反复横跳，也就是说对于任何实数 $A$，$ \left\lvert a_n-A \right\rvert $ 都只有最多两个值，而且其中一个肯定非零．这就导致如果我们把 $\epsilon >

定义 2　数列的敛散性

　　 实函数 $f(x)$ 可以看成是一种 “连续” 的数列，只不过把元素编号从离散的 $n$ 改为连续的 $x$．类比数列的极限，我们也可以定义函数在正无穷的极限 $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A$．

定义 3　函数趋于正无穷时的极限

非常相似，只是简单做了替换．不过，函数并不是简单地把数列的概念拓展到连续的情况．数列的编号只能朝着一个方向增大，但实函数的自变量就自由得多，它可以奔向负无穷，也可以集中到一点 $x_0$．

　　 如何描述 “自变量趋于一个给定的实数 $x_0$” 呢？我们可以拓展一下 “趋于无穷” 的概念．函数自变量或者数列编号趋于无穷，就是说我们可以把自变量和数列编号取得越来越 “接近无穷”，虽然这种说法并不严谨，但它可以提供一个很好的借鉴：函数自变量趋于给定实数 $x_0$，就是说我们取的自变量 $x$ 使得 $ \left\lvert x-x_0 \right\rvert $

　　 现在问题来了，什么叫 “越来越” 呢？在讨论数列极限的时候，我们没有在意这个细节，因为我们也只能考虑数列编号增大的情况，而这里的 “越来越” 也自然表示 “随着数列编号的增大” 了．但是讨论函数自变量趋于给定实数 $x_0$ 的时候，就有些麻烦了，我们没有一个衡量 “时间流逝” 的自然标准了．要解决这个问题，最好还是再次把数列给请出来．

　　 下面，我直接给出函数极限的定义，请仔细咀嚼，看看数列是怎么用来准确描述函数极限的．

　　 考虑实函数 $f(x)$，并给定一个实数 $x_0$．

“任意” 二字．也就是说，“连续” 就是 “任意的离散”，比如 “连续地接近时满足的条件” 就是 “任意一种离散地接近时都满足的条件”．

　　 同时也是最为完整的函数极限定义，只需要把 $x_0$ 替换为 $\pm\infty$ 即可囊括无穷的情况．

　　 求函数在某个值处的极限时，通常可以直接代入数值计算，如

　　 当无穷大与常数相加时，可以忽略常数，如

定义 5　函数的敛散性

　　 拓展数列的敛散性的 ．若函数在一点处有极限值，则称之为收敛的；否则，称之为发散的．

　　 自变量趋于无穷的过程，只有一个方向，要么是不停增大（正无穷），要么是不停减小（负无穷）．但如果自变量是趋近一个实数 $x_0$，那么至少就有两个方向，从大于 $x_0$ 的点开始减小（正向接近），和从小于 $x_0$ 的点开始增大（负向）接近．

　　 由于极限的定义是 “怎么接近都可以”，因此若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处存在极限，无论怎么取接近 $x_0$ 的数列，正向接近也好反向接近也罢，哪怕是一会儿正一会儿负地反复横跳，只要接近，这些数列的极限值都是一样的．

　　 但是有些函数则不然．考虑这个函数：$f(x)$，其中 $x 只考虑正向接近的数列 $\{x_n\}$，那么计算出来的 $\{f(x_n)\}$ 的极限就是 $1$；但如果只考虑负向接近的数列，那么计算出来的极限是 $0$．按照定义，这意味着 $f(x)$ 在 $x=0$ 处没极限．

　　 但是这种情况，我们说它是有左极限和右极限的．

定义 6　左极限和右极限

　　 一个很容易想到的定理是，如果函数在某点的左右极限都存在且相等，那么函数的极限存在且等于左右极限．证明留作思考题，要注意的是，左右极限相等并没有直接说明 “左右横跳” 式的数列，其极限也等于左右极限．

　　 在求极限时，若高阶无穷小与低阶无穷小相加，通常可以忽略高阶无穷小．另外由定义不难推出

有两个理由可以说明这种理解不正确：首先，按定义，每个 $a_n$ 都是有理数，而 $\pi$ 是无理数，所以不应该有任何一个 $a_n=\pi$；其次，$\infty$ 不是一个实数，不存在 $n=\infty$ 的说法．这里的

高数函数端点有没有极限
开区间的端点算不算极限值? 一个点有极限的条件是什么,左极限等于右极限?求大神详解

定义里第一句话是“设函数f(x)在点x零的某一去心领域内有定义”so 不算端点的.对于有极限的条件确实是左极限等于右极限

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如果没有极限的概念, 那么微积分将不复存在. 这意味着, 我们将用大量的时间来研究它们. 事实证明, 虽然恰当地定义一个极限是件相当棘手的事情, 但你仍然有可能对极限有个直观理解, 而无须深入其中的具体细节. 这对于解决微分和积分问题已经足够了. 因此, 本章仅仅包含对极限的直观描述; 正式描述请参见附录 A. 总的来说, 以下就是我们会在本章讲解的内容：

  • 对于极限是什么的直观概念;

  • 左、右与双侧极限, 及在 ∞ 和 -∞ 处的极限;

  • 三明治定理 (也称作 “夹逼定理”).

1.1　极限：基本思想

人类相对晚近才发展出微积分很可能就是因为这个原因吧.

这看起来好像是一个古怪的函数. 毕竟, 到底为什么要将 2 从定义域中去除掉呢？其实, 在下一章就会看到, f 很自然地就是个有理函数 (参见 4.1 节的第二个例子) 不过现在, 让我们姑且接受 f 的定义, 并画出其图像, 如图 3-1 所示.


这些思想会在附录 A 的 A.1 节里有更详细的描述. 不过现在, 让我们回到正题, 直接写出


这个写法更难用来计算, 但其意义很清晰：当 x 沿着数轴从左侧或者从右侧趋近于 2 时, f (x) 的值会非常非常接近于 1(并保持接近的状态!).



这里的要点是, 当你写出




如此等等, 直到用光了所有的字母和符号! 这里的要点是, 在极限

中, 变量 x 只是一个虚拟变量. 它是一个暂时的标记, 用来表示某个 (在上述情况下) 非常接近于 2 的量. 它可以被替换成其他任意字母, 只要替换是彻底的; 同样, 当你求出极限的值时, 结果不可能包含这个虚拟变量. 所以对虚拟变量你要灵活处理.

1.2　左极限与右极限


如果你从图的左边向右走, 那么当你的水平位置接近于 3 时, 你所在高度就会接近于 1. 当然, 当到达 x = 3 时你会陡然坠落 (更不用说那个古怪的小突起), 但暂时我们不关心. 这时任何在 x = 3 右侧的值, 包含 x = 3 本身对应的值, 都是无关紧要的. 因此,

可将上述发现总结如下：

在上面第一个极限中 3 后的小减号表示该极限是一个左极限, 第二个极限中 3 后的小加号表示该极限是一个右极限. 要在 3 的后面写上减号或加号, 而不是在前面, 这是非常重要的! 例如, 如果你写成

在左极限的极限符号底下写 x → 3+ 的理由是, 此极限只涉及小于 3 的 x 的值. 也就是说, 你需要在 3 上减一点点来看会有什么情况发生. 类似地, 对于右极限, 当你写 x → 3+ 的时候, 这意味着你只需要考虑如果在 3 上加一点点会有什么情况发生.

正如我们将在下一节看到的, 极限不是总存在的. 但这里的要点是：通常的双侧极限在 x = a 处存在, 仅当左极限和右极限在 x = a 处都存在且相等! 在这种情况下, 这三个极限 (双侧极限、左极限和右极限) 都是一样的. 用数学的语言描述, 我们说,


如果左极限和右极限不相等, 例如上述例子中的函数 h, 那么双侧极限不存在. 我们写作

不存在或使用缩写 “DNE” 表示 “不存在”.

1.3　何时不存在极限

当 x 从右侧滑到 0 时, 它看起来并不接近于任何数; 它就是变得越来越大了. 但会有多大呢？ 它会比你能想象到的任何数都大! 我们说该极限是无穷大, 并写作



此函数在 x = 0 处的左极限和右极限都是 ∞, 因此你也可以说 . 顺便说一下, 现在我们有了一个关于 “垂直渐近线” 的正式定义：




1.4　在 ∞ 和 -∞ 处的极限

还有一类需要研究的极限. 我们已经研究了在接近一点 x = a 时的函数行为. 然而在有些情况下, 重要的是要理解当 x 变得非常大时, 一个函数的行为如何. 换句话说, 我们感兴趣的是, 研究当变量 x 趋于 ∞ 时函数的行为. 我们想写出


sin (x) 会变得越来越接近何值 (并保持这种接近状态)呢？它只是在 -1 和 1 之间来回振荡, 因此绝不会真正地接近任何地方. 此函数没有水平渐近线, 也不会趋于 ∞ 或 -∞; 你所能作的最好回答是,  不存在 (DNE). 证明请参见附录 A 的 A.3.4 节.


同样, 很难画出当 x 在 0 附近时的情况. x 越接近 0, 此函数就会振荡得越激烈. 当然, 该函数在 x = 0 处无意义. 在上图中, 我选择避免在中间画得密密麻麻, 而是把那里的激烈振荡留给你想象.

看作是个小的数：它就是零. 因此, 下面就是我们对于大的数和小的数的非正式定义：

  • 如果一个数的绝对值是非常大的数, 则这个数是大的;

  • 如果一个数非常接近于 0(但不是真的等于 0), 则这个数是小的.

尽管上述定义在我们的实际应用中很有帮助, 但这实在是一个没有说服力的定义. “非常大” 和 “非常接近于 0” 分别意味着什么？好吧, 我们考虑极限


就不是足够大了. 在这种情形下, 你可能需要走到 200. 那么你能够只选取一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 然后说它已经很大了吗？不可以, 因为一个函数有可能一直起伏不定, 直到比如 5 000 000 000 000 才变得趋于它的水平渐近线. 这里的要点是, “大的” 一词必须考虑到相关的某个函数或极限才有意义. 幸好, 没有最大, 只有更大, 往上还大有余地 —— 甚至一个像 1 000 000 000 000 这样的数, 相对于 10100 (古戈尔) 来说还是相当小, 而 10100 与 101 000 000 比起来又是那么微不足道 …… 顺便说一下, 我们会经常使用术语 “在 ∞ 附近” 来代替 “大的正的数”. (在字面意义上说, 一个数不可能真的在 ∞ 附近, 因为 ∞ 无穷远. 不过在 x → ∞ 时的极限的语境中, “在 ∞ 附近” 的说法还是说得通的.)

当然, 所有这些也都适用于 x → -∞ 时的极限, 你只需在上述所有大的正的数之前添加一个负号. 在这种情况下, 我们有时会说 “在 -∞ 附近” 来强调我们所指的是大的负的数.

另一方面, 我们会经常看到极限

当说一个数是 “小的”(或者 “接近于 0”) 时, 必须结合某个函数或极限的语境来考虑, 就像在 “大的” 情形中一样.

尽管这一番讨论让之前的非正式定义确实变得更严谨了一些, 但它仍不算完美. 如果你想了解更多, 真的应该查看一下附录 A 的 A.1 节和 A.3.3 节.

1.5　关于渐近线的两个常见误解

现在是时候来纠正一些关于水平渐近线的常见误解了. 首先, 一个函数不一定要在左右两边有相同的水平渐近线. 在 3.3 节 f (x) = 1/x 的图像中, 左右两侧都有 y = 0 这条水平渐近线. 也就是说,



因此, 一个函数的确可以有不同的右侧和左侧水平渐近线, 但最多只能有两条水平渐近线 (一条在右侧, 另一条在左侧). 它也有可能一条都没有, 或者只有一条. 例如, y = 2x 有一条左侧水平渐近线, 但没有右侧水平渐近线 (参见 1.6 节的图像). 这和垂直渐近线相反：一个函数可以有很多条垂直渐近线

另外一个常见误解是, 一个函数不可能和它的渐近线相交. 或许你曾学到, 渐近线是一条函数越来越接近但永远不会相交的直线. 这并不正确, 至少当你讨论的是水平渐近线时. 例如, 考虑定义为 f (x) = sin (x) /x 的函数 f , 这里我们只关心当 x 是很大的正数时的函数行为.

我们还没有解决上一节结尾部分的那个极限证明问题! 回想一下, 要证明的是

综上, 三明治定理说的是：


这也适用于左极限或右极限; 在那种情况下, 不等式只需要在 a 的相应一侧对于 x 成立即可. 当 a 是 ∞ 或 -∞ 时它也适用; 在那种情况下, 要求对于所有的非常大的 (分别是正的或负的)x, 不等式成立.

1.7　极限的基本类型小结

我们已经看过了极限的多种基本类型. 下面展示一些各种基本类型的代表性图像, 以此来结束本章.



(3) 在 x = a 时的双侧极限, 见图 3-16. 在左图中, 左极限和右极限存在但不相等, 因此, 双侧极限不存在. 在右图中, 左极限和右极限存在并相等, 因此, 双侧极限存在并等于左右极限值. f (a) 的值是无关紧要的.




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