椭圆的简单几何性质教学教案

　　椭圆的简单几何性质

　　2.1.2椭圆的简单几何性质

　　(1)通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形；领会每一个几何性质的内涵，并学会运用它们解决一些简单问题。

　　（2）培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力；运用数形结合思想解决实际问题的能力。

　　重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程。

　　教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出过程

　　1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

　　2．标准方程： ， （ ）

　　由标准方程知，椭圆上点的坐标 满足不等式 ，

　　说明椭圆位于直线 ， 所围成的矩形里.

　　在曲线方程里，若以 代替 方程不变，所以若点 在曲线上时，点 也在曲线上，所以曲线关于 轴对称，同理，以 代替 方程不变，则曲线关于 轴对称。若同时以 代替 ， 代替 方程也不变，则曲线关于原点对称.

　　所以，椭圆关于 轴、 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.

　　确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与 轴、 轴的交点坐标.

　　在椭圆的标准方程中，令 ，得 ，则 ， 是椭圆与 轴的两个交点。同理令 得 ，即 ， 是椭圆与 轴的两个交点.

　　所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.

　　同时，线段 、 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为 和 ， 和 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.

　　由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 ；在 中， ， ， ，且 ，即 ．

　　椭圆的焦距与长轴的比 叫椭圆的离心率.

　　∵ ，∴ ，且 越接近 ， 就越接近 ，从而 就越小，对应的椭圆越扁；反之， 越接近于 ， 就越接近于 ，从而 越接近于 ，这时椭圆越接近于圆。

　　当且仅当 时， ，两焦点重合，图形变为圆，方程为 ．

　　5.填写下列表格：

　　对称性椭圆关于y轴、x轴和原点都对称

　　长、短轴长长轴: A1A2 长轴长 短轴：B1B2短轴长

　　例1．求椭圆 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

　　解：把已知方程化为标准方程 ， ， ，

　　∴椭圆长轴和短轴长分别为 和 ，离心率，

　　焦点坐标 ， ，顶点 ， ， ， ．

　　例2．过适合下列条件的椭圆的标准方程：

　　（1）经过点 、 ；

　　（2）长轴长等于 ，离心率等于 ．

　　解：（1）由题意， ， ，又∵长轴在 轴上，

　　所以，椭圆的标准方程为 ．

　　（2）由已知 ， ，

　　所以，椭圆的标准方程为 或 ．

　　例3.如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求点 的轨迹方程．

　　分析：若设点 ，则 ，到直线 ： 的距离 ，则容易得点 的轨迹方程．

　　作业：P47第4、5题

　　●考试目标 主词填空

　　1.空间向量基本定理及应用

　　空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c.

　　2.向量的直角坐标运算：

　　●题型示例 点津归纳

　　【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=

　　求证：OG⊥BC.

　　【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可.

　　而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量表示.又已知条为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量.

　　【规范解答】 连ON由线段中点公式得：

　　【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力.

　　【例2】 在棱长为a的正方体ABCD―A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.

　　【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.

　　【规范解答】 因为 ,

　　所以异面直线BA1与AC所成的角为60°．

　　【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量表示.

　　【例3】 如图，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，E、F分

　　别是BB1、DC的中点.

　　(1)求AE与D1F所成的角；

　　【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1，

　　=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D―xyz,

　　所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°．

　　【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法.

　　【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心).

　　【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点,

　　从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF,

　　GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ.

　　只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O

　　为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图

　　∴ =,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点.

　　【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点.

　　●对应训练 分阶提升

　　1.在下列条中,使与A、B、C一定共面的是( )

　　3.若向量｛a， b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )?

　　4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( )?

　　5.若a与b是垂直的，则ab的值是( )?

　　12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y２，z2｝,则 是a与b同向或反向的( )

　　?A.充分不必要条 B.必要非充分条?

　　?C.充要条 D.不充分不必要条

　　14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，则a、b所夹的角为 .

　　16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 .

　　17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离.

　　(1) 的夹角的大小.

　　(2)直线A1E与FC所夹角的大小.

　　空间向量及其运算习题解答

　　1.C 由向量共线定义知.?

　　4.D 根据两向量所成的角的定义知选D.

　　12.A?若 ，则a与b同向或反向，反之不成立.

　　过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°，

　　〈 〉＝１２０°，

　　点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算.

　　18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0)

　　(1)令 的夹角为θ，?

　　19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设 ＝i， ＝j， ＝k，

　　以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D―xyz，

　　则 ＝（－１，0，０）， ＝(0, ,-1)，?

　　点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系.

　　泗县三中教案、学案：正切函数的定义、图像与性质

　　年级高一学科数学课题正切函数的定义、图像与性质

　　学习重点掌握正切函数的图像与性质

　　学习难点利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能

　　（1）了解任意角的正切函数概念；

　　（2）掌握正切线的画法；

　　（3）能熟练掌握正切函数的图像与性质；

　　（4）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。

　　一 自 主 学 习

　　（1）定义域： ，

　　观察：当 从小于 ， 时，

　　当 从大于 ， 时， 。

　　2．作 ， 的图象

　　例1．比较 与 的大小

　　例2．讨论函数 的性质

　　例3. 观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0

　　三 巩 固 练 习

　　1．与函数 的`图象不相交的一条直线是（ ）

　　2．函数 的定义域是

　　3．函数 的值域是

　　4．函数 的奇偶性是 ，周期是

　　5. 求函数 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

　　四 课 后 反 思

　　五 课 后 巩 固 练 习

　　1.以下函数中，不是奇函数的是( )

　　2.下列命题中正确的是( )

　　A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数

　　Ｃ．y＝｜cos（2x＋ ）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数

　　3. 用图象求函数 的定义域。

　　2.1.1演绎推理（二）

　　正确区分合情推理和演绎推理知道它们的联系和区别，加深对演绎推理的理解和运用。

　　探究新知（预习教材P30～P33，找出疑惑之处）

　　问题1：“三段论”可以用符号语言表示为

　　注意：在实际证明过程中，为了叙述简洁，如果大前提是显然，则可以省略。

　　2、思考并回答下面问题：

　　因为所有边长都相等的凸多边形是正方形，………………………………大前提

　　而菱形是所有边长都相等的凸多边形，……………………………………小前提

　　所以菱形是正方形。…………………结 论

　　（1）上面的推理正确吗？

　　（2）推理的结论正确吗？为什么？

　　（3）这个问题说明了什么？

　　结论：上述推理的形式正确，但大前提是错误的，所以所得的结论是错误的。

　　例1．证明函数 在 内是增函数。

　　1． 演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法 （ ）.

　　A．一般的原理原则； B．特定的命题；

　　C．一般的命题； D．定理、公式.

　　2.若函数 是奇函数，求证 。

　　三、总结提升www.

　　1．本节学习了哪些内容？

　　你完成本节导学案的情况为（ ）

　　A．很好 B．较好 C． 一般 D．较差

　　1．下列表述正确的是（ ）。

　　（1）归纳推理是由部分到整体的推理；

　　（2）归纳推理是由一般到一般的推理；

　　（3）演绎推理是由一般到特殊的推理；

　　（4）类比推理是由特殊到一般的推理；

　　（5）类比推理是由特殊到特殊的推理。

　　A、（1）（2）（3） B、（2）（3）（4）

　　C、（2）（4）（5） D、（1）（3）（5）

　　2、下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）。

　　A、两条直线平行，同旁内角互补，如果 和 是两条平行线的同旁内角，则 ；

　　B、由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；

　　C、某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；

　　D、在数列 中， ， ，由此归纳出 的通项公式。

　　3、课本 练习3。www.

　　凸多面体面数（F）顶点数(V)棱数(E)

　　1．设m是实数，求证方程 有两个相异的实数根。

　　2. 用三段论证明：三角形内角和等于 180°.

　　直线的参数方程学案

　　2、2、3 直线的参数方程

　　1．了解直线参数方程的条及参数的意义；

　　2. 初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。

　　1、若由 共线，则存在实数 ，使得 ，

　　2、设 为 方向上的 ，则 =? ? ；

　　3、经过点 ，倾斜角为 的直线的普通方程为 。

　　探究新知（预习教材P35～P39，找出疑惑之处）

　　1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点的坐标 与点 的坐标 和倾斜角 联系起呢？由于倾斜角可以与方向联系， 与 可以用距离或线段 数量的大小联系，这种“方向”“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程。

　　如图，在直线上任取一点 ，则 = ，

　　因为 ，所以存在实数 ，使得 = ，即有 ，因此，经过点

　　，倾斜角为 的直线的参数方程为：

　　2.方程中参数的几何意义是什么？

　　例1．已知直线 与抛物线 交于A、B两点，求线段AB的长和点 到A ，B两点的距离之积。（教材P36例1）

　　例2．经过点 作直线 ，交椭圆 于 两点，如果点 恰好为线段 的中点，求直线 的方程.（教材P37例2）

　　1.直线 上两点A ，B对应的参数值为 ，则 =( )

　　2.设直线 经过点 ，倾斜角为 ，

　　（1）求直线 的参数方程；

　　（2）求直线 和直线 的交点到点 的距离；

　　（3）求直线 和圆 的两个交点到点 的距离的和与积。

　　1．本节学习了哪些内容？

　　答：1.了解直线参数方程的条及参数的意义；

　　2. 初步掌握运用参数方程解决问题，体会用参数方程解题的简便性。

　　你完成本节导学案的情况为（ ）

　　A．很好 B．较好 C． 一般 D．较差

　　1． 已知过点 ，斜率为 的直线和抛物线 相交于 两点，设线段 的中点为 ，求点 的坐标。

　　2.经过点 作直线交双曲线 于 两点，如果点 为线段 的中点，求直线 的方程

　　3.过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦AB，求弦AB的长及弦的中点到焦点F的距离。

　　回归分析的基本思想及其初步应用

　　要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.

　　重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

　　教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

　　1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.

　　2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.

　　1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：

　　（1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即 .

　　残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即 .

　　回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即 .

　　（2）学习要领：①注意 、 、 的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即 ；③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数 来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. 的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好.

　　例2 关于 与 有如下数据：

　　为了对 、 两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： ， ，试比较哪一个模型拟合的效果更好.

　　平面直角坐标系与伸缩变换

　　高二数学导学案 主备人: 备时间: 组长签字 :

　　1.1平面直角坐标系与伸缩变换

　　1、知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

　　2、能力与与方法：体会坐标系的作用

　　3、情感态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

　　1、重点：体会直角坐标系的作用

　　2、难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题

　　三、学法指导：自主、合作、探究

　　问题1：如何刻画一个几何图形的位置？

　　问题2：如何研究曲线与方程间的关系？

　　一．平面直角坐标系的建立

　　某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m，试确定巨响发生的位置（假定声音传播的速度是340m/s，各观测点均在同一平面上）

　　思考1：问题1：用什么方法描述发生的位置？

　　思考2：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题？

　　问题2：还可以怎样描述点P的位置？

　　B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。

　　探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？

　　小结：选择适当坐标系的一些规则：

　　如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点

　　如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴

　　使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上

　　二.平面直角坐标系中的伸缩变换

　　思考1：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?

　　设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原 1/2，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

　　思考2：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

　　设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x不变，将纵坐标y伸长为原 3倍，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为： 通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

　　思考3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

　　定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。

　　A1.求下列点经过伸缩变换 后的点的坐标：

　　（1） （1，2）；

　　（2） （-2，-1）

　　A2．点 经过伸缩变换 后的点的坐标是（-2，6），则 ， ；

　　A3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）

　　A4．将直线 变成直线 的伸缩变换是 .

　　B5．为了得到函数 的图像，只需将函数 的图像上所有的点（ ）

　　A.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的 倍（纵坐标不变）

　　B.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原的 倍（纵坐标不变）

　　C.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）

　　D.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的3倍（纵坐标不变）

　　B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形：

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