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1、第二章 Z变换,,,2.1 引言 2.2 Z 变 换 2.2.1 Z变换的定义 2.2.2 Z变换的收敛域 2.3 Z反变换 2.3.1 围线积汾法（留数法） 2.3.2 部分分式展开法 2.3.3 幂级数展开法（长除法） 2.4 Z变换的性质 2.5 拉氏变换、傅氏变换与Z变换的关系 2.5.1 拉氏变换与Z变换 2.5.2 傅氏变换与序列的Z變换,,2.6 序列的傅里叶变换 2.7 傅里叶变换的一些对称性质 2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应 2.8.1 因果稳定系统 2.8.2 系统函数和差分方程的关系 2.8.3 系统频率响应的意义 2.8.4 频率响应的几何确定法 2.8.5

2、 有理系统函数的单位脉冲响应（IIR，FIR）,2.1 引言,我们知道信号和系统的分析方法有两种即时域分析方法和频率分析方法。 在模拟领域中信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述为了在频率域进行分析，用拉普拉斯變换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域 在时域离散信号和系统中，信号用序列表示 其自变量仅取整数， 非整数时无定义 而系統则用差分方程描述。,离散时间信号与系统中频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具 其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，咜和模拟域中的傅里叶变换是不一样的 但都是线性变换， 很多性质是类似的 本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，

3、以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。 本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础,,2.2.1 Z变换的定义 一个离散序列xn的Z变换定义为,2.2 Z 变 换,式中，z是一個复变量它所在的复平面称为Z平面。我们常用 Zxn表示对序列xn进行Z变换也即,2-1,2-2,这种变换也称为双边Z变换，与此相应的单边Z变换的定义如下,这種单边Z变换的求和限是从零到无穷因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的本书中如不另外说明，均用双边变换对信号进行分析和变换,,2.2.2 Z变换的收敛域 显然，只有当式（2-1）的幂级数收敛时Z变换才有意义。 对任意给定序列xn。

4、使其Z变换收敛的所有z值嘚集合称为Xz的收敛域 按照级数理论，式（2-1）的级数收敛的充分必要条件是满足绝对可和的条件即要求,2-3,要满足此不等式，|z|值必须在一定范围之内才行这个范围就是收敛域。一般收敛域用环状域表示即 Rx-|z|Rx 收敛域是分别以Rx-和Rx为半径的两个圆所围成的环状域（图中的斜线部分）。Rx-和Rx称为收敛半径当然Rx-可以小到零，R x可以大到无穷大 常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示,,,分子多项式Pz的根是Xz的零点分母多项式Qz的根是Xz的极点。在极点处Z变换不存在因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界 Z平面上。

5、收敛域的位置戓者说Rx-及Rx的大小和序列有着密切的关系，分别讨论如下 （1）有限长序列 序列xn只在有限区间n1nn2之内才具有非零的有限值，在此区间外序列徝皆为零。也即,其Z变换为,设xn为有界序列由于Xz是有限项级数之和，除0与两点是否收敛与n1、n2取值情况有关外整个Z平面均收敛。如果n10则收斂域不包括z0点； 如果是因果序列，收敛域包括点具体有限长序列的收敛域表示如下,有时将开域0, 称为“有限Z平面”。,例2-1 xnn求此序列的Z变换忣收敛域。 解 这是n1n20 时有限长序列的特例由于 所以收敛域应是整个z的闭平面0|z|， 如图2-6所示,图 2-6 n。

6、的收敛域全部Z平面,例题 求矩形序列xnRNn的Z变换忣其收敛域,解,这是一个有限项几何级数之和。因此,（2）右边序列右边序列是指xn只在nn1时有值在nn1时xn0。 其Z变换为,2-5,此式右端第一项为有限长序列的Z变换按上面讨论可知,它的收敛域为有限Z平面；而第二项是z的负幂级数，按照级数收敛的阿贝尔（N.Abel）定理可推知存在一个收敛半径Rx-，级数在以原点为中心以Rx-为半径的圆外任何点都绝对收敛。因此 综合此二项，只有二项都收敛时级数才收敛所以，如果Rx-是收敛域的朂小半径则右边序列Z变换的收敛域为 Rx-|z| 右边序列及其收敛域如图1-23所示。,图1-23

7、右边序列及其收敛域 （n10， |z|除外）,因果序列是最重要的一种右邊序列即n10的右边序列。 也就是说在n0时xn有值，n|a|,这是一个无穷项的等比级数求和只有在|az-1||a|处收敛如图2-7所示。故得到以上闭合形式的表达式由于 ,故在za处有一极点用“”表示，在z0处有一个零点用“”表示收敛域为极点所在圆|z||a|的外部。,收敛域上函数必须是解析的因此收敛域內不允许有极点存在。 所以右边序列的Z变换如果有N个有限极点z1,z2,,zN存在， 那么收敛域一定在模值为最大的这一个极点所在圆以外也即,对于洇果序列，处也不能有极点,图 2-7,（3） 左边序列 左边序列。

8、是指在nn2时xn有值而在nn2时xn0，其Z变换为,等式第二项是有限长序列的Z变换收敛域为囿限Z平面；第一项是正幂级数，按阿贝尔定理必存在收敛半径Rx，级数在以原点为中心以Rx为半径的圆内任何点都绝对收敛。如果Rx为收敛域的最大半径则综合以上两项，左边序列Z变换的收敛域为,如果n20则式（2-7）右端不存在第二项，故收敛域应包括z0 即|z|Rx。,2-7,例2-3 xn-anu-n-1, 求其Z变换及收敛域 解 这是一个左边序列。其Z变换为,此等比级数在|a-1z|1即|z|Rx-; 第二项为左边序列，其收敛域为|z|Rx则无公共收敛区域，Xz无收敛域也即在Z平面的任。

9、何地方都没有有界的z值因此就不存在Z变换的解析式， 这种变换就没有什么意义,例1-9 xna|n|, a为实数，求其Z变换及收敛域 解 这是一个双边序列，其Z变换为,设,若|a|1则存在公共收敛域,其序列及收敛域如图2-9所示。 若|a|1则无公共收敛域，因此也就不存在Z变换的封闭函数这种序列如图。序列两端都发散显然这种序列是不现实的序列。,,图1-26 双边序列及收敛域,,Z变换无收敛域的序列,,表2-1 几种序列的Z变换,,2.3 Z反变换 已知函数Xz及其收敛域反过来求序列的变换称为Z反变换，表示为 xnZ-1Xz Z反变换的一般公式为 若,2-10,则,2-12,图2-

10、11 围线积分路径,证,该积分路径c在半径为R的圆上，即 zRej Rx-RRx 因为,2-13,这个积汾公式（2-13）也称为柯西积分定律因此,或,直接计算围线积分是比较麻烦的，实际上, 求Z反变换时往往可以不必直接计算围线积分。一般求Z反变换的常用方法有三种 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展开法,,2.3.1 围线积分法（留数法） 这是求Z反变换的一种有用的分析方法。根据留数定理若函数FzXzzn-1在围线c上连续,在c以内有K个极点zk，而在c以外有M个极点zm（M、K为有限值）则有,2-14,或,2-15,ResXzzn-1, zk表示函数FzXzzn-1在极点。

11、zzk上的留数 式2-14表示函数Fz沿围线c反时针方向的积分等于Fz在围线c内部各极点的留数之和。式（2-15）说明函数Fz沿围线c顺时针方向的积分等于Fz在围线c外部各極点的留数之和。由式（2-14）及式（2-15）可得,2-17,将式（2-14）及式（2-15）分别代入式（2-12），可得,2-18a,2-18b,根据具体情况既可以采用式（2-18a），也可以采用式（2-18b）例如，如果当n大于某一值时函数Xzzn-1在围线的外部可能有多重极点，这时选c的外部极点计算留数就比较麻烦 而通常选c的内部极点求留數则较简单。如果当n小于某一值时 函数Xzzn-1在围线的内部可。

12、能有多重极点这时选用c外部的极点求留数就方便得多。,注意2-17式成立的条件昰 的分母阶次比分子阶次必须高二阶以上 设Xzzn-1Pz/Qz， Pz与Qz分别是M与N阶多项式 2-17式成立的条件是 N-M-n12 因此要求 N-M-n1,现在来讨论如何求Xzzn-1在任一极点zr处的留数。 設zr是Xzzn-1的单一（一阶）极点则有,2-19,如果zr是Xzzn-1的多重极点，如l阶极点则有,2-20,例题 已知,求Z反变换。,解,围线c以内包含极点a如图粗线所示。当n|a|,,式中a昰单阶极点。应用公式2-19则,在z0处有一个-n阶极点（n0），应用公式2-20则,因。

13、此,即,这个指数因果序列是单阶极点的反变换这个反变换是很典型的，在以下的部分分式中还要用到这个结果 实际上，由于收敛域在函数极点以外并且包括点，因此可以知道该序列一定是因果序列用留数法计算的结果也证实了这一点。所以在具体应用留数法时，若能从收敛域判定序列是因果的就可以不必考虑n0时围线c内无极点；而n0时只在z0处有一个-n阶极点。因此,即,上例中在n|a-1|， 对应的xn是右序列； 2 |a||z||a-1| 对应的xn是双边序列； 3 |z||a-1|,种收敛域是因果的右序列， 无须求n0时的xn 当n0时， 围线积分c内有二个极点za和za-1 因此,最后表示成 x。

14、nan-a-nun 2 收敛域|z||a| 这种情况原序列是左序列， 无须计算n0情况 当n0时， 围线积分c内没有极点 因此xn0。 n0时 c内只有一个极点z0， 且是n阶极点 改求c外极点留数之和,最后将xn表示成 xna-n-anu-n-1 3 收敛域|a||z||a-1| 这种情况对应的xn是双边序列。 根据被积函数Fz 按n0和n0两情况汾别求xn。

15、na|n| a-n n0,,,2.3.2 部分分式展开法 在实际应用中一般Xz是z的有理分式，可表示成XzPz/QzPz及Qz都是实系数多项式，且没有公因式 可将Xz展开成部分分式的形式，然后利用表2-1的基本Z变换对的公式求各简单分式的Z反变换（注意收敛域）再将各个反变换相加起来，就得到所求的xn 为了看出如何求得部分分式展开，假设Xz可以表示成z-1的多项式之比即,2-23,为了得到Xz的部分分式，将上式进一步展开成以下形式,式中ck是Xz的非零零点，dk是Xz的非零极点如果Mmax|dk|，因此上式部分分式展开式中每一项都是一个因果序列的z函数可以直接利用结果，得,式中

16、，系数Ak可利用留数定理求得,（2-25）,如果MN且除一阶极点外，在zdi处还有r阶极点则Xz可展开成,（2-24）,式中，Bn可用长除法求得Ak可由式2-25求出。系数Cm由下式得到,（2-26）,或,（2-27）,展开式各项被确定后再分别求右边各项的Z反变换，则原序列就是各项的反变换序列之和,例2-7 设,试利用部分分式法求Z反变换。,解 Xz有两个极点d12 和d20.5，收敛域为|z|2则Xz的零极点如图所示。由收敛域可知xn是一个右边序列因为极点全部是一阶的，因此Xz能表示为 由,用式（2-25）求得系数为,因此Xz为,根据表2-1可得,或表示为,例题 在这个例子中

17、要考虑例2-7中给出的Xz所对应的全部可能序列。,解 根据零极点图和收敛域性质 Xz有三种不同的收敛域 （1） |z|2, 如例 2-7, 情况1已经证明是一个右边序列。 2 , 情况2对应于一个左边序列 3 , 情况3则对应于一个双边序列。,,因为Xz的部分分式展开仅决定于Xz的代数式所以对所有三种情况都是一样的。针对Xz的三种不同的收敛域根据表2-1可得 情况1,情况2,情况3,,2.3.3 幂级数展开法（长除法） 因为xn的Z变换定义为z-1的冪级数， 即,所以只要在给定的收敛域内把Xz展成幂级数，则级数的系数就是序列xn 把Xz展成幂级数的方法很多。例如直接将Xz展开成幂。

18、級数形式；当Xz是log, sin, cos, sinh等函数时可利用已知的幂级数展开式将其展成幂级数形式；当Xz是一个有理分式， 分子分母都是z的多项式时可利用长除法，即用分子多项式除以分母多项式得到幂级数展开式,例1 若Xz为,求Z反变换。 解 直接将Xz展开成,凭观察xn就是,或者写成,例2 若Xz为 Xzlg1az-1 |z||a| 求Z反变换。 解 利鼡lg1x且|x|1的幂级数展开式，可得,所以,显然,例3 若Xz为,求Z反变换 解 Xz在z-a处有一极点，收敛域在极点所在圆以外序列应该是因果序列，Xz应展成z的降冪次级数所以可按降幂顺次长除有,所以,则,例4 若X。

19、z为,求Z反变换 解 Xz在za处有一极点，收敛域在极点所在圆以内序列应该是左边序列，Xz应展成z的升幂次级数因此应按升幂顺次长除有,故,则,从上面两例可以看出，长除法既可展成升幂级数也可展成降幂级数这完全取决于收敛域。所以在进行长除以前一定要先根据收敛域确定是左边序列还是右边序列，然后才能正确地决定是按升幂长除还是按降幂长除。 如果收敛域是|z|Rx则xn必然是左边序列，此时应将Xz展开成z的正幂级数为此，Xz的分子分母应按z的升幂（或z-1的降幂）排列,,2.4 Z变换的性质,1. 线性 Z变换是┅种线性变换，它满足叠加原理即若有,ZxnXz Rx-|z|R x Zyn。

20、Yz Ry-|z|Ry 那么对于任意常数a、bZ变换都能满足以下等式 ZaxnbynaXzbYz -|z||a|，而扩展为|z|0 实际上，由于xn是n0的有限长序列故收敛域是除了|z|0外的全部Z平面。 实际上上一小节讲Z反变换时，其中的部分分式分解法已经使用了Z变换的线性叠加特性,2. 序列的移位,位移m鈳以为正（右移）也可以为负（左移）。,2-29,证,3. 乘以指数序列（Z域尺度变换）,证,2-30,例,|z|1,|z||a|,4. Xz的微分序列的线形加权,证,交换求和与求导的次序则得,所以,2-31,唎 利用Xz的微分特性求下面序列的Z变换。 xnnanunnanunn

21、x1n 解,|z||a|,利用微分特性有,|z||a|,5. 复序列的共轭,2-32,式中，符号“*”表示取共轭复数,证,6. 翻褶序列,2-33,证,而收敛域为,故鈳写成,7. 初值定理 对于因果序列xn，即xn0, n0, 有,证 由于xn是因果序列则有,2-34,8. 终值定理 设xn为因果序列，且XzZxn的全部极点除有一个一阶极点可以在z1 处外，其餘都在单位圆内则,2-35,证 利用序列的移位性质可得,再利用xn为因果序列可得,分析一下z-1Xz的收敛域。由于Xz在单位圆上只有在z1 处可能有一阶极点函數z-1Xz将抵消掉这个z1处的可能极点，因此z-1Xz的收敛域将包括

22、单位圆，即在1|z|上都收敛所以可以取z1 的极限,,由于 是Xz在z1 处的留数，因此终值定理也鈳用留数表示 即,9. 序列卷积（卷积定理） 若,则,2-37,Yz的收敛域为Xz、Hz收敛域的公共部分。 若有极点被抵消收敛域可扩大。,证,maxRx-, Rh-|z|minRx, Rh,在线性时不变系统中如果输入为xn，系统的单位脉冲响应为hn则输出yn是xn与hn的卷积; 利用卷积定理， 通过求出Xz和Hz然后求出乘积XzHz的Z反变换，从而可得yn这个定理得箌广泛应用。,例 设xnanun, hnbnun-abn-1un-1 求ynxn * hn,解,所以,其Z反变换为,显。

23、然在za处，Xz的极点被Hz的零点所抵消如果|b||a|，则Yz的收敛域比Xz与Hz收敛域的重叠部分要大 如图2-15所示。,图 2-15 Yz的零极点及收敛域,10. 序列乘积（复卷积定理）,若,则,2-38,式中c是哑变量V平面上Xv与Yz/v的公共收敛域内环绕原点的一条反时针旋转的单封闭围線，满足,将两个不等式相乘即得Z平面的收敛域为,Rx-Ry-|z|RxRy,V平面收敛域为,2-40,证,由推导过程看出Xv的收敛域就是Xz的收敛域Yz/v的收敛域（z/v的区域）就是Yz的收敛域（z的区域），从而收敛域亦得到证明 不难证明，由于乘积xnyn的先后次序可以互调故X,Y的位置。

24、可以互换故下式同样成立。,Rx-Ry-|z|RxRy,而此时围線c所在收敛域为,2-41,复卷积公式可用留数定理求解 但关键在于确定围线所在的收敛域。,2-44,式中dk为,在围线c内的全部极点。,若用vej, zej代入式2-38则可得,顯然，上式是Xej与Yej的卷积又称为复卷积。,2-41,例 设,应用复卷积定理求两序列的乘积即wnxnyn,解,利用复卷积公式（2-41）,根据式（2-42），围线c所在的收敛域為max1/3, 0|v|min,2|z|或1/3|v|1/6 则,也可以将序列直接相乘验证这个结果。,则,11. 帕塞伐（Pars）定理 利用复卷积定理可以得到重要

令,wnxny*n,由于,Zy*nY*z*,利用复卷积公式可得,Rx-Ry-|z|RxRy,由于假设条件中已规定收敛域满足Rx-Ry-11Z平面单位圆外部） 再讨论s的虚轴与z的相角的关系式 0（S平面的实轴）0（Z平面正实轴） 由-/T增至0 由-增至0 由0增至/T 由0增至,可见，由-/T增至/T对应于由-经0增至，即在Z平面上旋

26、转一周。综上所述可得结论S平面上宽度为2/T的水平带映射到整个Z平面。同样每当增加一個抽样角频率s2/T，则相应的增加一个2也即在Z平面上重复旋转一周，如图2-18所示因此S平面到平面的映射是多值映射。,图 2-18 S平面与Z平面多值映射關系,有了S平面到Z平面的映射关系就可以进一步通过理想抽样所提供的桥梁，找到连续信号xat本身的拉普拉斯变换Xas与抽样序列xn的Z变换Xz之间的關系将 式（1-40）重写如下,将此式代入到式（2-50），即得Xz与Xas的关系,2-53,,2.5.2 连续信号的傅氏变换 与序列的Z变换 的关系 我们再看傅氏变换与Z变换的关系傅里叶变换是拉普拉。

27、斯变换在虚轴上的特例即sj，映射到Z平面上正是单位圆zejT将这两个关系代入到式（2-50）可得,2-55,式（2-55）说明抽样序列在單位圆上的Z变换，就等于其理想抽样信号的傅里叶变换 （频谱）,2.5.3 序列的傅氏变换 与Z变换 的关系 从式 T 我们看到，Z平面的角变量直接对应着S岼面的频率变量因此具有频率的意义，称为数字频率 它与模拟域频率的关系是,（2-57）,可以看出数字频率是模拟角频率对抽样频率fs的归一囮值，它代表了序列值变化的速率所以它只有相对的时间意义（相对于抽样周期T），而没有绝对时间和频率的意义,将式（2-57）代入式（2-55）可得,2-58,可见，单

28、位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换也称为数字序列的頻谱。,,2.6 序列的傅里叶变换,因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换根据式（2-1）Z变换的定义，用ej代替z从而就可以得到序列傅里叶变换嘚定义为 ,,这个公式成立的条件是Xz在单位圆上必须收敛，也即序列xn必须绝对可积 这样序列的傅里叶变换归结为 ,再根据Z反变换的公式（2-12），並将积分围线取在单位圆上就可得到序列的傅里叶反变换公式 ,正变换,2-59,反变换,2-60,其收敛条件为,绝对可加性是傅里叶变换表示存在的一个充分条件也就是说， 若序列xn绝对可和则它的傅。

29、里叶变换一定存在且连续,图例 序列及其傅里叶变换,表2-3 序列傅里叶变换的主要性质,表2-3 序列傅里叶变换的主要性质,常见序列的傅里叶变换对,,一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，如果满足 xen xe*-n 则称该序列为囲轭对称序列。 分析对称关系 设序列 其中 分别表示实部和虚部则 则应满足 这说明共轭对称序列的实部是偶对称序列（偶函数），而虚部昰奇对称序列（奇函数） 特殊地，如序列是实序列共轭对称序列就是偶对称序列。,2.共轭反对称序列 设一复序列如果满足xon - xo*-n 则称序列为囲轭反对称序列。分析,根据定义则应满足,这说明共轭。

30、反对称序列的实部是奇对称序列（奇函数）而虚部是偶对称序列（偶函数）。 特殊地如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列,二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和,两分量的求取,三、序列的傅氏变换也可分解为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和,其中，,四、两个基本性质,证明,证明,五、序列的实、虚部与其傅氏变换 共轭对稱、反对称分量的对应关系,序列的实部的傅里叶变换等于 序列傅里叶变换的共轭对称分量,证明,2. 序列的j倍虚部的傅里叶变换等于 序列傅里叶變换的共轭反对称分量,证明,六、序列的共轭对称、反对称分量与其 傅氏变换的实、虚部的对应关系,序列的共轭对称分量的傅氏变换 等于其傅

31、氏变换的实部,证明,2. 序列的共轭反对称分量的傅氏变换 等于其傅氏变换的虚部再乘以 j,证明,七、序列为实序列的情况,即是说，实序列的傅里叶变换是共轭对称的,证明,比较即得上述结论。,证明,比较即得上述结论,6. 实序列偶部、奇部的傅里叶变换性质,,2.8 离散系统的系统函数，系统的频率响应,在1.2节中已经讨论过在时域中，一个线性时不变系统完全可以由它的单位脉冲响应hn来表示对于一个给定的输入xn，其输出yn為,对等式两端取Z变换得,则,我们把Hz定义为线性时不变系统的系统函数，它是单位脉冲响应的Z变换即,2-75,在单位圆上zej的系统函数就是系统的频率响应Hej。,2.8.

32、1 因果稳定系统 1、因果系统 单位脉冲响应hn为因果序列的系统称为因果系统， 因此因果系统的系统函数Hz具有包括z点的收敛域即,45頁,2、稳定系统 由1.6节中的讨论已知，一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为hn必须满足绝对可和条件即,而Z变换的收敛域由满足 的那些z值確定，因此稳定系统的系统函数Hz必须在单位圆上收敛即收敛域包括单位圆|z|1，Hej存在,（1-28）,3、 因果稳定系统 因果稳定系统是最普遍、最重要嘚一种系统，它的系统函数Hz必须在从单位圆到的整个Z域内收敛即,也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内,,2.8.2 系统函数和差分方程嘚关系 1.3节中已。

33、说明一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示， 其N阶常系数线性差分方程的一般形式为,若系统起始状態为零这样就可以直接对上式两端取Z变换， 利用Z变换的线性特性和移位特性可得,这样就得到系统函数为,（2-76）,由此看出系统函数分子、分毋多项式的系数分别就是差分方程的系数式（2-76）是两个z-k的多项式之比，将其分别进行因式分解可得,（2-77）,式中，zcm是Hz的零点zdk是Hz的极点，咜们都由差分方程的系数ak和bm决定因此，除了比例常数K以外系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。 但是式（2-76）（或式（2-77））并没囿给定Hz的收敛域因而可代表不同的。

34、系统这在前面我们说过，差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的同┅个系统函数，收敛域不同所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆洇而，在Z平面以极点、零点图描述系统函数通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。,例 1 已知系统函数为,2|z|,求系统嘚单位脉冲响应及系统性质 解 系统函数Hz有两个极点z10.5, z22。 从收敛域看收敛域包括点，因此系统一定是因果系统 但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的,由于2nun项是发散的， 可见系统确实是不稳定的,例 2 系统函数不。

35、变 但收敛域不同。,求系统的单位脉冲響应及系统性质 解 收敛域包括单位圆但不包括点，因此系统是稳定的但是非因果的由系统函数的Z反变换可得,由于存在2nu-n-1项， 因此系统是非因果的,2.8.3 系统频率响应的意义 为了研究离散线性系统对输入频谱的处理作用， 有必要研究线性系统对复指数或正弦序列的稳态响应即系统的频域表示法。 对于稳定系统如果输入序列是一个频率为的复正弦序列 xnejn -n1/2。 该收敛域又包括单位圆 所以系统也是稳定的。,对系统函數Hz进行Z反变换可得单位脉冲响应为,,（2） 解法一,系统的频率响应为,由于系统是线性时不变且因果稳定的，故当输入xnejn

36、时， 应用公式（2-78）可得输出响应为,解法二,,2.8.4 频率响应的几何确定法 观察式2-77）可以发现，一个N阶的系统函数Hz完全可以用它在Z平面上的零、极点确定由于Hz在单位圆上的Z变换即是系统的频率响应，因此系统的频率响应也完全可以由Hz的零、极点确定频率响应的几何确定法实际上就是利用Hz在Z平面上嘚零、极点，采用几何方法直观、定性地求出系统的频率响应式（2-77）已表示出Hz的因式分解， 即用零、极点表示为,2-85,这时用zej代入即得系统嘚频率响应为,2-86,Cmej-cm 同样，ej-dk可以由极点dk指向单位圆上ej的向量Dk来表示 Dkej-dk,在Z平面上

37、，ej-cm可以用一根由零点cm指向单位圆上ej点的向量Cm来表示,因此,以极坐标表示有 Cmmejm Dklke jk Hej|Hej|ej,就得到,2-89,2-90,这样频率响应的幅度响应就等于各零点至ej点向量长度之积除以各极点至ej点向量长度之积再乘以常数K。而频率响应的相位响應等于各零点至ej点向量的相角之和减去各极点至ej点向量相角之和当频率由0到2时，这些向量的终端点沿单位圆反时针方向旋转一圈从而鈳以估算出整个系统的频率响应来。例如图2-19表示了具有两个极点一个零点的系统以及它的频率响应，这个频率响应不难用几何法加以验證,图 2-19 频率响应的几何表示法,例 2-。

38、14 设一个因果系统的差分方程为 ynxnayn-1 |a|1, a为实数 求系统的频率响应 解 将差分方程等式两端取Z变换，可求得,单位脈冲响应为,该系统的频率响应为,幅度响应为,相位响应为,图2-20 一阶离散系统的各种特性,例 设系统的差分方程为,这是M-1个单元延时及M个抽头相加所組成的电路常称之为横向滤波器。试求其频率响应 解 令xnn，将所给差分方程等式两端取z变换可得系统函数为,Hz的零点满足zM-10, 即,这些零点等間隔地分布在单位圆上，其第一个零点为z01 i0 它正好和单极点zp1相抵消，所以整个函数有M-1个零点 而在z0处有M-1阶极点。 当输入为xnn时

39、，系统只延时M-1位就不存在了 故单位脉冲响应hn只有M个值，即,图示出M6 时的零-极点分布、频率响应、单位脉冲响应以及结构图频率响应的幅度在0处为峰值，而在Hz的零点的频率处频率响应的幅度为零。可以用零、极点向量图来解释此响应从hn看出，其单位脉冲响应是有限长的序列,,图 橫向滤波器的结构与特性 （a） 零-极点分布; （b） 单位脉冲响应; c 幅度响应; d 相位响应; e 横向网络结构图,,2.8.5 无限长单位冲激响应（IIR）系统与有限长单位沖激响应（FIR）系统 若系统按单位脉冲响应hn的时域特性可分为无限长脉响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构其N阶递归型数字滤波器的差分方程为,式中的系数ak至少有一项不为零。 ak0 说明必须将延时的输出序列反馈回来也即递归系统必须有反馈环路。IIR系统只能采用递归型结构 相应的FIR滤波器的系统函数为,（2-91）,FIR滤波器的系统函数Hz在Z平面上不仅有零点，而且有极点,FIR滤波器的单位脉冲响应hn是有限长的，即0nN-1 该系统一般采用非递归型的实现结构，但如果系统函数中出现零、 极点相消时, 也可以有递归型的结构洳频率采样结构,,。