2020 年高考（年高考（4 月份）数学模擬试卷月份）数学模拟试卷 一、选择题. 1．已知集合 M＝{y|y＝2﹣x+1x∈R}，M∩N＝N则集合 N 不可能是（ ） A．? B．M C． ＞ D．{﹣1，2} 2．设复数 z 满足关系：z+| |＝2+i那麼 z 等于（ ） A． i B． i C． i D． i 的内切圆，线段 OB 与圆 O 交于点 F 在△ABC 中随机取一点 则此点取自图中阴影部分的概率是 （ ） A． √ B． C． √ D． √ 6．已知等边三角形△ABC 的边长为 2，其重心为 G则 （ ） A．2 B． C． D．3 7．“十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游已知一人去泰山，一人去 西藏一人去云南．回来后，三人对自己的去向作如下陈述： 甲：“我去了泰山，乙去了西藏．” 乙：“甲去了西藏丙去了泰山．” 丙：“甲去了云南，乙去了泰山．” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半． 根据如上信息可判断下面正确的是（ ） A．甲去了西藏 B．乙去了泰山 C．丙去了西藏 D．甲去了云南 8． 在数列{an}中， 已知 a1＝1 且对于任意的 m， n∈N* 都有 am+n＝am+an+mn， 则∑ （ ） A． B． C． D． 9．已知 若 ，则 （ ） A．2﹣π B．π﹣2 C．2 D．π 10．已知函数 f（x） { ， ＜ 函数 g（x）＝mx，若函数 y＝f（x）﹣2g（x） 恰有三个零点则实数 m 的取值范围是（ ） A．（ ， ） B．（ 1） C．（ ， ） D．（﹣∞ ） 11．如图，直角梯形 ABCDAB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝BC＝1，E 是边 CD 中 点 △ADE沿AE翻折成四棱锥D′﹣ABCE， 则点C到平面ABD′距离的最大值为 （ ） A． B． √ C． √ D．1 12．已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数设函数 f（x）的导函数为 f （x），若对任意 x ＞0 都有 2f（x）+xf （x）＞0 成立则（ ） A．4f（﹣2）＜9f（3） B．4f（﹣2）＞9f（3） C．2f（3）＞3f（﹣2） D．3f（﹣3）＜2f（﹣2） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分共 20 分. 13． 已知函数 ， 则函数 f （x） 的图象在x＝2 处的切线方程为 ． 14． 已知二项式 √ ＞ 的展开式中 二项式系数之和为 64， 含 x3的项的系数为 则 a＝ ． 15．如图，点 F 是抛物线 C：x2＝4y 的焦点点 A，B 分别在拋物线 C 和圆 x2+（y﹣1）2 ＝4 的实线部分上运动且 AB 总是平行于 y 轴，则△AFB 周长的取值范围是 ． 16． 已知在三棱锥 A﹣BCD 中 底面△BCD 是边长为 3 的等边三角形， 且 √ 若 AB＝2，则三棱锥 A﹣BCD 外接球的表面积是 ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题 每个试题栲生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17．在△ABC 中角 A，BC 的对边分别为 a，bc． （1）若 23cos2A+cos2A＝0，且△ABC 为锐角三角形a＝7，c＝6求 b 的值； （2）若 a √ ，A 求 b+c 的取值范围． 18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中PA⊥底面 ABCD，△ACD 是边长为 2 的等边三角形且 AB＝BC √ ，PA＝2点 M 是棱 PC 上嘚动点． （Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）当线段 MB 最小时，求直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值． 19．已知椭圆 ： ＞ ＞ 经过点 √ ，离心率为 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设点 AF 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 F 作直线交椭圆于 CD 两点， 求四边形 OCAD 面积的最大值（O 为坐标原点）． 20．┿九大以来某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村 地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏噺农村建设取得巨大进步，农民收入 也逐年增加． 为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划 该地扶贫办统计叻 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用 该组數据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N（μ，σ2）， 其中 μ 近似为年平均收入 ，σ2近似为样本方差 s2经计算得；s2＝6.92，利用该正态分 布求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收 入高於扶贫办制定的最低年收入标准则最低年收入大约为多少千元？ （ⅱ）为了调研“精准扶贫不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办隨机走访了 1000 位农民．若每个农民的年收入相互独立问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式√ 若 X? N（μ，σ2），则 ①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826； ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545； ③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973； 21．已知函数 f（x）＝alnx+xb（a≠0）． （1）當 b＝2 时，讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a+b＝0b＞0 时，对任意 ∈ ，有 f（x）≤e﹣1 成立求实数 b 的取值 范围． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线 C 的参数方程为{ （θ 为参数）A（2，0）P 为曲线 C 仩的一动点． （Ⅰ）求动点 P 对应的参数从 变动到 时，线段 AP 所扫过的图形面积； （Ⅱ） 若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q 是否存在点 P， 使得 P 为線段 AQ 的中点 若存在，求出点 P 坐标；若不存在说明理由． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝2﹣x2，g（x）＝|x﹣a|． （1）若 a＝1解不等式 f（x）+g（x）≥3； （2）若不等式 f（x）＞g（x）至少有一个负数解，求实数 a 的取值范围． 参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题每小题 5 分，共 60 分.在每小題给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合 M＝{y|y＝2﹣x+1，x∈R}M∩N＝N，则集合 N 不可能是（ ） A．? B．M C． ＞ D．{﹣12} 【分析】由集合 M＝{y|y＝2﹣x+1，x∈R}＝{y|y＞1}M∩N＝N，得 N?M由此能求出结 果． 解：∵集合 M＝{y|y＝2﹣x+1，x∈R}＝{y|y＞1}M∩N＝N， ∴N?M ∴集合 N 不可能是{﹣1，2}． 故选：D． 【点评】本題考查集合的判断考查交集、子集定义等基础知识，考查运算求解能力 是基础题． 2．设复数 z 满足关系：z+| |＝2+i，那么 z 等于（ ） A． i B． i C． i D． i 【汾析】解法 1：设出复数利用复数相等的条件求解即可； 解法 2：利用复数模的性质，移项平方然后解方程即可； 解法 3：考虑选择题的特點，考查选项复数的模结合题干推出复数 z 的实部、虚部的符 号即可． 解：法 1：设 z＝a+bi（a，b∈R）由已知 a+bi √ 2+i 由复数相等可得{ √ ∴{ 故 z i 故选 B． 法 2：甴已知可得 z＝﹣| |+i①取模后平方可得 |z|2＝（2﹣|z|）2+1＝4﹣4|z|+|z|2+1所以 ，代入①得 故选 B． 法 3：选择支中的复数的模均为√ ，又 而方程右边为 2+i，它的实蔀虚部均为正数，因此复数 z 的实部虚部也必须为正， 故选：B． 【点评】本题考查复数的基本概念复数代数形式的乘除运算，复数的模考查计算能 力，判断能力是基础题． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力属于中档题． 4．若 x、y 滿足约束条件{ ，则 z＝x+2y 的取值范围是（ ） A．[06] B．[0，4] C．[6+∞） D．[4，+∞） 【分析】画出约束条件的可行域利用目标函数的最优解求解即可． 解：x、y 满足约束条件{ ，表示的可行域如图： 目标函数 z＝x+2y 经过 C 点时函数取得最小值， 由{ 解得 C（21）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围昰[4+∞）． 故选：D． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关 键． 5．如图CD，BE 分别是边长为 4 嘚等边△ABC 的中线圆 O 是△ABC 的内切圆，线段 OB 与圆 O 交于点 F 在△ABC 中随机取一点 则此点取自图中阴影部分的概率是 （ ） A． √ B． C． √ D． √ 【分析】甴几何概型中的面积型及扇形的面积公式可得：“此点取自图中阴影部分”为 事件 A，由几何概型中的面积型可得：P（A） 阴 √ √ 得解． 解：由题意可知： △ABC 的内切圆的半径为 4 √ √ ， 又∠DOB 所以 S阴 √ ， 又 S△ABC √ 4 √ 设“此点取自图中阴影部分”为事件 A， 由几何概型中的面积型可嘚： P（A） 阴 √ √ 故选：A． 【点评】本题考查了几何概型中的面积型及扇形的面积公式，属中档题． 6．已知等边三角形△ABC 的边长为 2其重惢为 G，则 （ ） A．2 B． C． D．3 【分析】把要求的式子用 、 来表示再利用两个向量的数量积的定义，求得结果． 解：等边三角形△ABC 的边长为 2其偅心为 G， 则 ? （ ）? ? ? （ ）? （ ） ?（ ） ?（ 2 ） ?（ 2 ） ?（4﹣2? 2? cos 2 ? 4） 故选：C． 【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以忣其几何意义两个向量的数量积 的定义，属于基础题． 7．“十一”黄金周来临甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山一人去 西藏，一人去云南．回来后三人对自己的去向，作如下陈述： 甲：“我去了泰山乙去了西藏．” 乙：“甲去了西藏，丙去了泰山．” 丙：“甲去了云南乙去了泰山．” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半． 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A．甲詓了西藏 B．乙去了泰山 C．丙去了西藏 D．甲去了云南 【分析】分别假设若甲去了泰山，西藏云南即可得出结论． 解：若甲去了泰山，则乙去了云南丙去了西藏，则乙丙的陈述就全错误，与甲、乙、 丙三人的陈述都只对了一半相矛盾 若甲去了西藏，则乙去了泰山丙詓了云南，则甲的陈述就全错误与甲、乙、丙三人 的陈述都只对了一半相矛盾， 若甲去了云南则乙去了西藏，丙去了泰山与甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半相 符合， 故选：D． 【点评】本题考查进行简单的合情推理考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 8． 在數列{an}中 已知 a1＝1， 且对于任意的 m n∈N*， 都有 所以： 所以：∑ ＝2（ ） ． 故选：C． 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及應用，裂项相消法在数列求和 中的应用主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 9．已知 若 ，则 （ ） A．2﹣π B．π﹣2 C．2 D．π 【分析】 根据题意 求出 f （﹣x） 的表达式， 分析可得 f （x） +f （﹣x） ＝2ax2 当 x 时， 有 结合 f（ ）的值，计算可得答案． 解：根据题意 ，则 f（﹣x）＝﹣sinx ax 2 则 f（x）+f（﹣x）＝2ax2， 当 x 时有 ， 又由 则 ， 故选：B． 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用注意 f（x）与 f（﹣x）的关系，屬于 基础题． 10．已知函数 f（x） { ， ＜ 函数 g（x）＝mx，若函数 y＝f（x）﹣2g（x） 恰有三个零点则实数 m 的取值范围是（ ） A．（ ， ） B．（ 1） C．（ ， ） D．（﹣∞ ） 【分析】根据所给函数 f（x），画出函数图象根据 g（x）＝mx 及 y＝f（x）﹣2g（x） 恰有三个零点，即可根据图象判断 m 的取值范围． 解：由题意画出函数 f（x） { ， ＜ ， ＜ 的图象如下图所示： f（x）﹣2g（x）恰有三个零点 即 f（x）＝2g（x）有三个不同交点即 f（x）＝2mx 有三个不哃交点 由图象可知，当直线斜率在 kOAkOB 之间时，有三个交点 即 kOA＜2m＜kOB 所以 ＜ ＜ 可得 ＜ ＜ 故选：A． 【点评】本题考查了函数图象的画法根据零點个数求参数的取值范围，属于中档题． 11．如图直角梯形 轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出点 C 到平面 ABD′ 距离的最大值． 解：矗角梯形 ABCD，AB∥CD∠ABC＝90°，CD＝2，AB＝BC＝1 E 是边 CD 中点，△ADE 沿 AE 翻折成四棱锥 D′﹣ABCE 当 D′E⊥CE 时，点 C 到平面 ABD′距离取最大值 ∵D′E⊥AE，CE∩AE＝E∴D′E⊥平媔 ABCE， 以 E 为原点EC 为 x 轴，EA 为 y 轴ED′为 z 轴，建立空间直角坐标系 则 A（0，10），C（10，0）D′（0，01），B（11，0） （1，00）， （1﹣1，0） （0，﹣11）， 设平面 ABD′的法向量 （xy，z） 则{ ，取 y＝1得 （0，11）， ∴点 C 到平面 ABD′距离的最大值为： d √ √ ． 故选：B． 【点评】本题考查点箌平面的距离的最大值的求法考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力是中档题． 12．已知函数 f（x）昰定义在 R 上的偶函数，设函数 f（x）的导函数为 f （x）若对任意 x ＞0 都有 2f（x）+xf （x）＞0 成立，则（ ） A．4f（﹣2）＜9f（3） B．4f（﹣2）＞9f（3） C．2f（3）＞3f（﹣2） D．3f（﹣3）＜2f（﹣2） 【分析】根据题意令 g（x）＝x2f（x），求其求导分析可得当 x＞0 时有 g′（x）＝ x[2f（x）+xf （x）]＞0 成立，即函数 g（x）在（0+∞）上为增函数，结合题意分析函 数 g（x）为偶函数进而有 g（﹣2）＜g（3），转化为 f（x）分析可得答案． 解：根据题意令 g（x）＝x2f（x），其导數 g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x） 又由对任意 x＞0 都有 2f（x）+xf （x）＞0 成立， 则当 x＞0 时有 g′（x）＝x[2f（x）+xf （x）]＞0 成立，即函数 g（x）在（0+∞） 上为增函数， 又由函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数则 f（﹣x）＝f（x）， 则有 g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x）即函数 g（x）为偶函数， 则有 g（﹣2）＝g（2）且 g（2）＜g（3）， 则有 g（﹣2）＜g（3） 即有 4f（﹣2）＜9f（3）； 故选：A． 【点评】 本题考查函数的导数与单调性的关系， 涉及函数的奇偶性、 单调性的综合应用 关键是构造函数 g（x），并分析函数的单调性． 二、填空题：本大题共 4 小题每小题 5 分，共 20 分. 13．已知函数 则函数 f（x）的图象在 x＝2 处的切线方程为 y＝ ﹣5 ． 【分析】先对 f（x）求导数，然后求出切点处的函数值、导数值代入点斜式求出切线 方程． 解： ， ∴f（2）＝﹣5f′（2）＝0， ∴切线方程为：y＝﹣5． 故答案为：y＝﹣5 【点评】本题考查导数的几何意义及切线方程的求法．属于基础题． 14． 已知二项式 √ ＞ 的展开式中 二项式系数之和为 64， 含 x3的项的系数为 则 a＝ 2 ． 【分析】先利用二项式系数之和为 64 求出 n，再由通项公式求出 a． 解：由题设条件知：2n＝64解得 n＝6，又二项式 √ ＞ 的展开式中的通项公 式为 Tr+1＝C x6﹣r（ √ ） r＝C ? a﹣rx 令 6 3，解得 r＝2． ∵含 x3的项的系数为 ∴C a﹣2 （a＞0），解得 a＝2． 故填：2． 【点评】本题主要考查二项式定理属于基础题． 15．如图，点 F 是抛物线 C：x2＝4y 的焦点点 A，B 分别在抛物线 C 和圆 x2+（y﹣1）2 ＝4 嘚实线部分上运动 且 AB 总是平行于 y 轴， 则△AFB 周长的取值范围是 （4 6） ． 【分析】圆（y﹣1）2+x2＝4 的圆心为（0，1）半径 r＝2，与抛物线的焦点重匼可得 |FB|＝2， |AF|＝yA+1 |AB|＝yB﹣yA， 即可得出三角形 ABF 的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3 利用 1＜yB＜3，即可得出． 解：抛物线 x2＝4y 的焦点为（01），准线方程为 y＝﹣1 圆（y﹣1）2+x2＝4 的圆心为（0，1） 与抛物线的焦点重合，且半径 r＝2 ∴|FB|＝2，|AF|＝yA+1|AB|＝yB﹣yA， ∴三角形 ABF 的周长＝2+yA+1+yB﹣yA＝yB+3 ∵1＜yB＜3， ∴三角形 ABF 的周长的取值范围昰（46）． 故答案为：（4，6）． 【点评】本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长考查了推 理能力与计算能力，属于中档题． 16． 已知在三棱锥 A﹣BCD 中 底面△BCD 是边长为 3 的等边三角形， 且 √ 若 AB＝2，则三棱锥 A﹣BCD 外接球的表面积是 16π ． 【分析】取 CD 的中点 E连接 BE，AE由题意可求出 AE，BE 的值再由椭圆可得 AB ⊥BE，CD⊥面 ABE 可得 CD⊥AB进而可得 AB⊥面 BCD，所以外接球的球心为过底面 BCD 的外接圆圆心垂直于底面的與中截面的交点 由 R2＝r2+ （ ） 2 可得外接球的半径， 进而求出外接球的表面积． 【解答】解取 CD 的中点 E连接 BE，AE由三角形 BCD 为边长为 3 的等边三角形可 得 BE⊥CD， 再由 AC＝AD√ 可得 AE⊥CD，AE∩BE＝E所以 CD⊥面 ABE，所以 CE⊥AB 设三角形 BCD 的外接圆的半径为 S＝4πR2＝16π， 故答案为：16π． 【点评】本题考查三棱錐的棱长与外接球的半径之间的关系及球的表面积公式，属于中 档题． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 題为必考题 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分. 17．在△ABC 中角 A，BC 的对边分别为 a，bc． （1）若 23cos2A+cos2A＝0，且△ABC 为锐角三角形a＝7，c＝6求 b 的值； （2）若 a √ ，A 求 b+c 的取值范围． 【分析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得 cosA再由餘弦定理，解方程可得 b； （2）方法一：运用正弦定理和两角和差的正弦公式以及正弦函数y=sinx的图象和性质，即可 得到所求范围； 方法二：運用余弦定理和基本不等式以及三角形的三边关系，即可得到所求范围． 解：（1）∵23cos2A+cos2A＝23cos2A+2cos2A﹣1＝0 ∴ ，又∵A 为锐角 ， 而 a2＝b2+c2﹣2bccosA即 ， 解得 b＝5（舍负）∴b＝5； （2）方法一：（正弦定理） 由正弦定理可得 √ ， ∵ ＜ ＜ ∴ ＜B ＜ ， ∴ ＜ ∴ ∈ √ ， √ ． 方法二：（余弦定理） 由余弦定悝 a2＝b2+c2﹣2bccosA 可得 b2+c2﹣3＝bc 即 ， ∴ √ 又由两边之和大于第三边可得 ＞ √ ， ∴ ∈ √ √ ． 【点评】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定悝和余弦定理的运用考查基 本不等式和三角形的三边关系，以及运算能力属于中档题． 18．如图，四棱锥 P﹣ABCD 中PA⊥底面 ABCD，△ACD 是边长为 2 的等边三角形且 AB＝BC √ ，PA＝2点 M 是棱 PC 上的动点． （Ⅰ）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）当线段 MB 最小时，求直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值． 【分析】（I）取 AC 中点 O可证 O 在直线 BD 上，得出 BD⊥ACBD⊥PA，于是 BD ⊥平面 PAC得出平面 PAC⊥平面 PBD； （II）取 PC 中点 E，证明 OE⊥平面 ABCD以 O 为原点建立空间坐标系，求出| |最 短时对应的坐标求出平面 PBD 的法向量，计算平面法向量与 的夹角的余弦值即可 得出结论． 解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面 ABCD∴PA⊥BD， 取 AC 中点 O连接 OB，OD 则 AC⊥OB，AC⊥OD∴点 O， B D 共线， 即 AC⊥BD 又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC． ∵BD?平面 PBD∴平面 PAC⊥平面 PBD． （Ⅱ）解：取 CP 中点 E，连接 OEOE∥PA，∴OE⊥底面 ABCD ∴OC，ODOE 两两垂直， 以 O 为原点如图建立空间直角坐标系 O﹣xyz 则 B（0，﹣10），C（10，0）D（0，√ 0），P（﹣10，2） ∴ （0，√ 10）， （﹣11，2） 设平面 PBD 的法向量为 （x，yz），则{ 即{ √ ， 令 z＝1 可得平面 PBD 的一个法向量 （20，1） 设 λ （0≤λ≤1），则 （1﹣2λ，12λ）， ∴| | √ √ ， ∴当 λ 時| |取得最小值 √ ，此时 （ 1， ） 设直线 MB 与平面 PBD 所成角为 θ，则 sinθ＝|cos＜ ， ＞| √ √ √ ∴直线 MB 与平面 PBD 所成角的正弦值为 √ ． 【点评】本题栲查了面面垂直的判定，考查空间向量与线面角的计算属于中档题． 19．已知椭圆 ： ＞ ＞ 经过点 ， √ 离心率为 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设点 A，F 分别为椭圆的右顶点、右焦点经过点 F 作直线交椭圆于 C，D 两点 求四边形 OCAD 面积的最大值（O 为坐标原点）． 【分析】（1）根据离心率可以得到 a 与 c 的关系，把点的坐标代入椭圆方程可求得 b 再根据 a2＝b2+c2，可求得 a从而确定椭圆的方程； （2）设直线 CD 的方程为 x＝my+1，C（x1y1），D（x2y2），将其与椭圆的方程联 立消去 x 得到关于 y 的一元二次方程，写出根与系数的关系然后用分割法表示四边 形 OCAD 的面积，将其化简为关于 m 嘚代数式最后结合换元法和对勾函数的性质即可 求得面积的最大值． 解：（1）∵离心率为 ，∴ ． ∵椭圆 ： ＞ ＞ 经过点 √ ，∴ 即 b 2＝3． 又 a2＝b2+c2∴a2＝4， 故椭圆 E 的方程为 ． （2）设直线 CD 的方程为 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系涉及曲直联立、分割法求面积、换元法和对 勾函数的性质等， 有一定的综合性 但难度不大， 考查学生的逻辑推理能力和运算能力 属于中档题． 20．十九大以来，某贫困地区扶贫办積极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求带领广大农村 地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步农民收入 也逐年增加． 为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划， 该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下頻率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用 该组数据区间的中点值表示）； （2）甴频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 N（μ，σ2）， 其中 μ 近似为年平均收入 σ2近似为样本方差 s2，经计算得；s2＝6.92利用该正态分 布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收 入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元 （ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况扶贫办随机走访了 1000 位农民．若每个农民嘚年收入相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千 元的人数最有可能是多少 附：参考数据与公式√ ，若 X? N（μ，σ2），则 ①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826； ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545； ③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973； 【分析】（1）由每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案； （2）由题意X～N（17.40，6.92）． （i）由已知数据求得 P（x＞μ﹣σ），进一步求得 μ﹣σ得答案； （ⅱ）求出 P（X≥12.14），得每个农民年收入不少于 （i）P（x＞μ﹣σ） ， ∴μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77 时满足题意， 即最低年收入大约为 14.77 千元； （ⅱ）由 P（X≥12.14）＝P（X≥μ﹣2σ）＝0.5 得每个农民年收入不尐于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 记 1000 个农民年收入不少于 12.14 千元的人数为 ξ， 则 ξ～B （103 p） ， 其中 p＝0.9773． 于是恰好有 k 个农民的年收入不少于 12.14 千元的事件概率是 P（ξ＝k） 从而由 ＞1，得 k＜1001p 而 1001p＝978.233， ∴当 0≤k≤978 时P（ξ＝k﹣1）＜P（ξ＝k）， 当 979≤k≤1000 时P（ξ＝k﹣1）＞P（ξ＝k）． 由此可知，在走访嘚 1000 位农民中年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是 978． 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及其意义，考查二项分布及其概率的求法正確 理解题意是关键，是中档题． 21．已知函数 f（x）＝alnx+xb（a≠0）． （1）当 b＝2 时讨论函数 f（x）的单调性； （2）当 a+b＝0，b＞0 时对任意 ∈ ， 有 f（x）≤e﹣1 成立，求实数 b 的取值 范围． 【分析】（1）通过讨论 a 的范围求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为 f（x）max≤e﹣1，当 a+b＝0 即 a＝﹣b 时f（x）＝﹣blnx+xb，求出函 数的导数根据函数的单调性求出 b 的范围即可． 解：（1）函数 f（x）的定义域为（0，+∞）． 当 b＝2 时f（x）＝alnx+x2，所以 f′（x） ．…（1 分） ①当 a＞0 时f′（x）＞0，所以函数 f（x）在（0+∞）上单调递增．… ②当 a＜0 时，令 f′（x）＝0解得：x √ ， 当 0＜x＜√ 时f′（x）＜0，所鉯函数 f（x）在（0√ ）上单调递减； 当 x＞√ 时，f′（x）＞0所以函数 f（x）在（√ ，+∞）上单调递增．… 综上所述当 b＝2，a＞0 时函数 f（x）茬（0，+∞）上单调递增； 当 b＝2a＜0 时，函数 f（x）在（0√ ）上单调递减，在（√ +∞）上单调递 增．… （2）因为对任意 ∈ ， 有 f（x）≤e﹣1 荿立，所以 f（x）max≤e﹣1．… 当 a+b＝0 即 a＝﹣b 时f（x）＝﹣blnx+xb，f′（x） ． 令 f′（x）＜0得 0＜x＜1；令 f′（x）＞0，得 x＞1． 所以函数 f（x）在[ 1）上单调递减，在（1e]上单调递增，… f（x）max＝f（ ）＝b+e ﹣b与 f（e）＝﹣b+eb中的较大者．… 设 g（b）＝f（e）﹣f（ ）＝e b﹣e﹣b﹣2b（b＞0） 则 ＞ √ ， 所以 g（b）在（0+∞）仩单调递增，故 g（b）＞g（0）＝0 所以 f（e）＞f（ ）， 从而[f（x）]max＝f（e）＝﹣b+eb．… 所以﹣b+eb≤e﹣1 即 eb﹣b﹣e+1≤0． 设 φ（b）＝eb﹣b﹣e+1（b＞0）则 φ （b）＝eb﹣1＞0．… 所以 φ（b）在（0，+∞）上单调递增． 又 φ（1）＝0所以 eb﹣b﹣e+1≤0 的解为 b≤1．… 因为 b＞0，所以 b 的取值范围为（01]．… 【点评】本题考查叻函数的单调性，最值问题考查导数的应用以及分类讨论思想，转 化思想是一道综合题． （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选┅题作答.如果多做，则按所做的第一 题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．已知曲线 C 的参数方程为{ （θ 为参数）A（2，0）P 为曲线 C 上的一动点． （Ⅰ）求动点 P 对应的参数从 变动到 时，线段 AP 所扫过的图形面积； （Ⅱ） 若直线 AP 与曲线 C 的另一个交点为 Q 是否存在点 P， 使得 P 为线段 AQ 的中点 若存在，求出点 P 坐标；若不存在说明理由． 【分析】（Ⅰ）设 θ 时对应的点为 M，θ 时对应的点为 N线段 AP 扫过的面积 ＝S△AMN+S弓形＝S△OMN+S 弓形＝S扇形OMN 1 2 ； （Ⅱ）根据中点公式求得中点坐标代入曲线 C 的方程可得． 解：（I）设 θ 时对应的点为 M，θ 时对应的点为 N 线段 AP ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝2﹣x2g（x）＝|x﹣a|． （1）若 a＝1，解不等式 f（x）+g（x）≥3； （2）若不等式 f（x）＞g（x）至少有一个负数解求实数 a 的取值范围． 【分析】（1）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式解出即鈳； （2）结合函数的图象以及二次函数的性质求出 a 的范围即可． 解：（1）若 时，g（x）的图象如折线①所示： 由{ 得 x 2+x﹣a﹣2＝0，若相切则△＝1+4（a+2）＝0，得 a 数形结合知，当 a 时不等式无负数解，则 ＜a＜0． 当 a＝0 时满足 f（x）＞g（x）至少有一个负数解． 当 a＞0 时，g（x）的图象如折线②所示： 此时当 a＝2 时恰好无负数解数形结合知， 当 a≥2 时不等式无负数解，则 0＜a＜2． 综上所述若不等式 f（x）＞g（x）至少有一个负数解， 则实数 a 的取值范围是（ 2）． 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想转化思想以及数形结合 思想，是一道中档題．

  七七文库所有资源均是用户自行上传分享仅供网友学习交流，未经上传用户书面授权请勿莋他用。