导的自变量和因变量直接有复杂嘚多层链式导的关系此时微分法使用起来也有些麻烦。需要一些简洁的方法
本文我们讨论矩阵向量导链式法则，使用该法则很多时候鈳以帮我们快速出导数结果如果遇到其他资料
导结果不同，请先确认布局是否一样
若没有特殊说明，默认情况定义如下：导的自变量鼡x表示标量x表示n维向量，X表示m×n维度的矩阵导的因变量用y表示标量，y表示m维向量Y表示p×q维度的矩阵。默认向量为列向量若是行向量，本文全部使用对应字母的转置表示
总的导准则：形式和平时高中所述的链式导方式一样，这里矩阵和向量导一定要注意维度统一
假设多个向量存在依赖关系，比如三个向量 x → y → z 存在依赖关系则我们有下面的链式导法则：
维度探讨：假设x y z 的维度分别为m，np，?z/?x 是 n×m符合矩阵乘法维度原则。
最后到1标量的依赖关系： x → y → z 此时很容易发现维度不相容。不能再简单套用上面的式子而做了对应的变形：
维度探讨：假设x y z 的维度分别为m，n1，?z/?x 是 m×1(?y/?x)T 是 m×n，?z/?x 是 n×1符合矩阵乘法维度原则。
对于更加复杂的形式：如： y1 → y2 →…… yn → z ,则表达式为：
ML-2最小二乘法中使用到的最小二乘法优化的目标是最小化如下损失函数:
很容易得到以下表达式：
假设： X → Y → z 存在依赖关系，则我们有下面的链式导法则：
上面的式子是矩阵迹性质来的不是特别实用，也不便于推广我们再看一个偏难得问题：
我们再来看看後半部分的导数：
那么最终的标签链式导公式转化为：
对上面的式子做个总结：
维度探讨：假设Y A X 的维度分别为p×n，p×mm×n，?z/?X是m×n(A)T 是 m×p，?z/?Y是 p×n符合矩阵乘法维度原则。
这结论在是一个向量x的时候也成立即
同理：如果要导的自变量在左边，线性变换在右边也有類似稍有不同的结论如下:
使用好上述四个结论，对于机器学习尤其是深度学习里的导问题可以非常快的解决
矩阵向量导的三种方法：定义法微分法和链式导法。在同等情况下优先考虑链式导法，尤其是第三节的四个结论其次选择微分法、在没有好的导方法的时候使用萣义法是最后的保底方案。
基本上大家看了系列里这四篇后对矩阵向量导就已经很熟悉了对于机器学习中出现的矩阵向量导问题已足够。
??机器学习中经常涉及到一些優化工作优化时又涉及矩阵、向量的Frobenius 范数（Frobenius-Norm），这个F范数又可以转化成矩阵自乘迹trace的形式然后对trace导。这块没学过矩阵论的话有时候經常会感觉到困惑。所以这里找到一篇有助于理解这块的内容。同时我也在一些地方留了笔记更有助于理解。
抱歉在F-Norm那块留的墨迹有錯误当时我想算一下Linear Regression导，所以在那块写了一点墨迹但是写的有误，这里重新写一下：
其实总的来看线性的情况下用的比较多的是（9）、（11）、
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