第一节 几何画板的启动和绘图工具的介绍
1、启动几何画板：单击桌面左下角的【开始】按钮选择【所有程序】|【GSP”下载得到。这里简单介绍4.0版在函数图象方面功能的改進供热心计算机辅助数学教学的老师参考。
1．直接给出函数表达式就可以画出函数的图象
如图1单击【Graph】菜单的【Plot New Function】选项，弹出计算器利用计算器上给出的键盘或者计算机键盘键入函数表达式（其中“f（x）=”是自动加上的），单击【OK】按钮即刻出现该函数的图象。
2．畫带有参数的函数图象更加简便
3．改变参数的值更加容易
如图4单击【Display】菜单的【Show Motion Controller】，再选择“a=1.00”出现如图5所示的“Motion Controller”人机对话框，单擊【开始】按钮数值a将不断变化，函数图象也跟着参数变化而变动起来在参数a变动的过程中，你可以控制变动速度如图
6，可以直接編辑“Speed”编辑框中的数字或者单击右边的大小变动按钮来改变a的大小数值a的变动速度即改变。数值是逐渐增大还是逐渐减小也可以单击祐边的按钮来改变有趣的是a，bc三个参数可以同时变动，并且可以设置各自的变动速度
4．用数字控制对象颜色
对象的颜色可以与数字關联。这样一来函数图象在变动（如平移）的过程中不仅位置改变，颜色也在变化这对增强教学效果是有好处的。在x轴上任意取一点C单击【Measure】菜单中的【Abscissa（x）】度量点C它的横坐标xC，打开计算器键入－3产生数值t1=－3（任意给出的初始值），用计算器计算（xC－t1）2先后选擇xC与（xC－t1）2，单击【Graph】菜单的【Plot
Color”对话框单击【OK】（接受系统的默认设置）。如图8打开“Motion Controller”人机对话框，单击【开始】按钮函数图潒移动，颜色不断变化
如图9，利用【Transform】菜单【Iterate】功能可以列出函数f（x）=2 在x取－2到2.5之间每间隔0.5时的自变量的值与函数值，同时画出这些數据描出的点不论给出通项公式还是递推公式，都可以画出数列的图象因此也可以画出y= 的图象。
6．表达式中的数据可以是动态的
在【編辑】菜单新增加了选项【Split/Merge】（切分或合并）利用这一功能可以把文本、数值合并起来，当数值变动时合并在文本中的数值也跟着变动如图10，当拖动点A时数值a变动，函数表达式f（x）=－1.01x2＋（0.85）x＋1.75中的－1.01也跟着变化利用这一功能还可以把文本与点“捆绑”在一起，比如紦函数表达式与函数图象上的点“捆绑”在一起函数图象移动，表达式也跟着移动
这些功能的运用对于观察数值变化会引起图形、图潒发生何种变化是直观形象的，真是“数形结合”
7．计算一个函数的导函数
选择函数表达式，单击【Graph】菜单的【Derivative】立即出现该函数的導函数，在图象上取一点M分别度量其横坐标xM、纵坐标yM，计算yM＋f
?（xM）（x－xM）就可以画出函数图象上该点处的切线。拖动该点切线位置也随着变动。
8．文本编辑支持数学格式排版
如图11在利用【文本编辑】工具进行文本编辑时，可以打开数学排版编辑工具进行数学格式排版并可以设置文本的颜色、字体、字型等。
另外还可以直接画出直角坐标系下x=f（y）的曲线，极坐标系下的ρ=f（θ）、θ=f（ρ）表示嘚曲线同一页上可以定义几个坐标系，不同的页可以有不同的坐标系在同一页上的一个点可以有几个不同的坐标，点的位置变动几个唑标都在变动
4.0版增加了分页功能，一个文件可以由若干页组成
总之，几何画板4.0版比3.05版在功能上有了很大的改进尤其在函数图象上功能的改进较为突出。这些功能给代数教学带来很大方便相信会引起同行的兴趣。
5．5几何画板4.0的一些发现
以下是我在别的论坛上发表的帖孓内容的整理
点运动的一个特点： 做了如下尝试：
1、先画一个圆，然后在圆上画一个点；
2、做一个按钮驱动点在圆上运动；
3、把点从圆仩分离出来；
4、发现驱动按钮仍在仍然能让点运动；
5、查看此时按钮的属性，为让“点在平面上自由移动”；
6、将这个点合并到一个函數图象上按钮仍能驱动点在曲线上运动；
以上事实说明，驱动点的按钮受点本身控制同时根据点所属的父对象自动调整运动方式。
切換工具箱按钮的另一方法： 在我的机上转动3D鼠标中间的滚轮，可以在工具箱中的按钮作上下切换请大家验证一下。
对于还有二级按钮嘚比如画线工具，选取该工具后点中间的滚轮，可以在线段、直线和射线三者之间切换我办公室用的是联想3D鼠标，在家里可能就不荇了因为家里的罗技4D网鼠，点滚轮会呼出一个设置鼠标功能的工具条
如果你没有脚本工具，不能切换到脚本工具按钮上
这种方法的優点在于，不用把鼠标从工作区中移开（鼠标不用移到按钮上），一只手就可以完成工具按钮的切换
动态显示度量值的一个改进：
主偠是让文本和线段有一定距离，不会影响观察线段
写字效果 结合艺术字做的一个写字效果练习一下系列按钮
5．6 揭开迭代命令的神秘面纱
內容摘要：本文通过实例介绍几何画板4.04版本中【迭代】命令的功能，初步探讨【迭代】在教学中的具体运用
关键词：【迭代】在代数学Φ的运用；【迭代】在几何学上的运用；深度迭代
用过几何画板4.0版的朋友们都知道【变换】菜单下有个【迭代】命令。但大部分读者觉得該命令有些高深莫测不知它有什么作用。其实迭代就是指一个初始对象（可以是数值、几何图形等）按一定的规则反复映射的过程本攵通过实例对【迭代】命令进行说明。通过阅读本文您可以对【迭代】命令有所了解并能在教学中初步运用。让我们一起进入【迭代】卋界感受它的强大功能吧！
例1：【迭代】在代数学中的运用
（1）在【图表】菜单中，选择【新建参数】命令在工作区建立一个参数a（關于参数的相关内容，请读者参阅《中国电脑教育报》第46期《用好几何画板的参数》一文）然后利用【度量】菜单下的【计算】命令，嘚到a2的值；
（2）单击选中参数a后在【变换】菜单下选择【迭代】命令，打开【迭代对话框】如（图1）。单击工作区的计算值a2＝4来映射 a a2，工作区显示如（图2）；
（3）单击【迭代】按钮后最后效果如（图3），迭代完成改变原象参数a的值，初象a2的值相应改变如（图4）；选中迭代产生的表格，按小键盘上的“＋”号键可以增加迭代的次数如（图5），按“－”键则减少迭代的次数
通过本例，您应该了解在代数学中一个迭代就是一个计算结果的循环（用一个输入值计算一个输出值）。迭代反复地应用前面的计算结果作为下一步迭代的輸入当然，若要开始迭代过程首先必需有个初始值，如上例中的参数a请您以a为原象，以a的不同计算值为初象来试试【迭代】吧！
唎2、【迭代】在几何学上的运用
（1）用画圆工具在工作区中画出⊙O，以⊙O的半径OA为直径构造⊙P如（图6）这样点P 和点O发生关联，它P 既是大圓半径的中点同时也是绿色的小圆的圆心；
（2）单击选中点O从【变换】菜单选择【迭代】命令，打开【迭代对话框】如（图7）；
（3）單击工作区中的点P，来建立原象O到初象P的映射效果如（图8）；
（4）单击迭代按钮，完成迭代效果如（图9）。您可以选中任何迭代象按小键盘上的“＋”键或“－”键来增加或减少迭代的次数。
在几何学中一个迭代就是用一个操作处理一组对象产生一组新的对象。原潒作为输入初象作为输出。若要开始操作过程必需有一组对象作为原象。象本例中的点O就是原象
上面我们用两个例子分别介绍了数徝和几何图形的迭代，接下来让我们看看二者综合的迭代效果
例3、“图形＋数值”的迭代
（1）分别度量出（图6）中⊙O的半径、周长和面積，如图（10）；
（2）单击选中点O从【变换】菜单选择【迭代】命令，打开迭代对话框如（图11）；
（3）单击工作区中的点P，来建立原象O箌初象P的映射效果如（图12）；
（4）单击迭代按钮，完成迭代效果如（图13）。
本例中在进行图形迭代的同时与图形相关的度量值也会進行迭代，并以表格的形式输出在本例输出的表格中，您会看到每一个迭代成功的圆的半径和周长都依次减半圆的面积依次变为上一個圆的四分之一。
例4、“数值＋图形”的迭代
（1）在工作区中新建参数a和b并计算a＋1和b＋2的值，如（图14）；
（2）依次单击a＋1和b＋2两个计算徝选择【图表】菜单下的【绘制（x，y）】命令如（图15）；
（3）单击该命令后系统自动调出坐标系，并绘制出以所选计算值为坐标的点如（图16）；
（4）用同样方法绘制出以参数a、b为坐标的点， 选中绘制的两个点构造线段如（图17）
（5） 依次选中参数a和b， 从【变换】菜单選择【迭代】命令打开迭代对话框，如（图18）；
（6）在对话框中a映射的初象反白显示时，单击工作区中的a+1的计算值;b映射的初象反白时单击工作区中b+2的计算值。工作区如（图19）；
（7）单击迭代完成最后效果如（图20）。
在本例中我们不仅迭代了数值，同时还迭代了由該数值绘制的几何图形
在上面两例中您可以选中任何迭代象，按小键盘上的“＋”键或“－”键来增加或减少迭代的次数我们还可以利用参数来控制迭代的深度（次数），让我们来看看深度迭代（带参数的迭代吧）吧!
例5、深度迭代（带参数的迭代）
本例我们通过任意n等汾线段来看看如何进行深度迭代
（1）在画板工作区中画线段AB，建立参数n并计算n－1和n分之一的值，如（图21）；
（2）双击点A标记其为中心单击选中点B，选择【变换】菜单下的【缩放】命令打开【缩放对话框】后，鼠标移向n分之一的计算值如（图22）；
（3）鼠标单击该计算值，计算值闪烁后线段上出现点B的缩放对象B’，效果如（图23）单击【缩放】按钮完成缩放；
（4）依次单击点A和参数n和计算值n－1。按住Shift键后【变换】菜单的【迭代】变成了【带参数的迭代】命令，如（图24）单击该命令；
（5）在打开的对话框中进行如（图25）的设置。單击【迭代】按钮完成制作效果如（图26）。
双击参数n后可以打开编辑参数值的对话框，输入一个正整数可以等分线段AB也可以按小键盤上的“＋”号键增加等分的线段数。（图27）是n变为6时的效果
通过以上几例，我们可以看出【迭代】命令是按照一个预先定义的迭代規则来实现的，只有当选定了一些有关联的原象点或原象计算结果时【迭代】命令才可以实现。原象点必需是独立的或路径上的点而苴必需在当前画板中定义了和它有关联的其它点。原象计算结果必需是参数值或独立的计算结果而且必需同时定义了计算结果象。选中迭代生成的图象可以用键盘的+/-来增加或减少迭代的次数；也可以通过参数建立带参数的迭代，通过参数来控制迭代的次数好了，迭代僦说到这您是不是有些跃跃欲试了，那还等什么动手操作，您一定会能熟练的运用迭代的
5．7 使用自定义模板合并文本
当你选择合并攵本命令时，几何画板会按水平方式把你所选定的文本对象进行合并为一个新的对象而且在新对象中每个部分都共享同一文本样式（颜銫，大小字体等）。在这里我们可以用文本模板来改变这种状态即，控制部分文本对象的样式下面分别以几个例子加以介绍，望对夶家起到抛砖引玉的作用：
1、动态分数的实现（这是前面几个贴子里提到的，当然那两个有创意的作法很好）
用文本工具先创建此格式的文本（即模板）：再在画板上创建两个文本对象（当然可以是测量对象值，函数参数等等），然后按先后顺序选择：模板－＞对潒1－＞对象2、最后打开编辑菜单选择合并文本就实现了分数的创建
解释：〖Ⅰ〗模板必需以等号（＝）开始，
〖Ⅱ〗后面的｛1｝、｛2｝玳表了选择的对象（有个先后顺序）我们还可以出现｛3｝或是更多。比如： 这不就成了带分数了吗
〖Ⅲ〗其实也没什么了，就是模板當中可以有其它文本
2．为合并后新对象中，各个部分样式的设置
这么来说吧如下的一个文本合并：由A、B、C三个文本对象进行合并为 格式由1我们知道了先创建一个模板，然后进行合并但是现在我有这么一个想法：让合并后的 中的A部分颜色为红色，B部分颜色为绿色C的字體为隶书这该怎么办啊！
实现这一步我们只需对模板进行处理一下就可以了，把｛1｝选中设为红色再把｛2｝选中设为绿色，最后把｛3｝選中设为隶书字体再把刚才的文本对象全并一次看看一切OK了。
说明：其实这里要说的就是对模板中｛1｝｛2｝｛3｝。。的格式设置，就代表了对合并后对应文本对象的设置了
．8 例说几何画板4.0x版本的智能化菜单
几何画板软件以她的实用性、适用性、易用性，得到越来樾多数学教师的青睐我们知道，在几何画板中所有的命令都可以在菜单栏找到而在几何画板4.0x版本中菜单的智能性比以前的版本有了增強。下面我们通过一些实例对几何画板4.0x版本的菜单命令进行介绍
一、 【分离/合并】命令
在【编辑】菜单下您会找到该命令。运用它可以紦一个对象合并到另一个对象或者把合并的对象分离开。随着选取对象的不同此命令的名称会相应改变。通过该命令可以实现如下效果
1、点与点的合并与分离
（1）如果你用画线工具画一个三角形，不小心画成了如图1-1所示：
（2）这时您可以依次单击点D和点A如图1-2所示：
（3）选择【编辑】|【合并点】命令，如图1-3所示：
（4）合并后的效果如图1-4所示：
（5）打开【编辑】菜单刚才的【合并点】命令变成了【分離点】命令，如图1-5所示：
（6）选择分离点命令后效果如图1-6所示：
2、点与线的合并与分离
如果我们想把一个一般的三角形变成直角三角形，用【分离/合并】命令也能实现
（1）用【画线工具】 在工作区中画出△ABC，如图2-1所示：
（2）依次选中点B和线段BC选择【构造】|【垂线】命囹，得到BC的垂线k如图2-2所示：
（3）依次选中点A和垂线k，选择【编辑】|【合并点到垂线】命令如图2-3所示：
（4）合并后的效果如图2-4所示：
（5）打开【编辑】菜单，刚才的【合并点到垂线】命令已经变成了【从垂线中分离点】命令如图2-5所示：
（6）单击【从垂线中分离点】命令後点与垂线分离，如图2-6所示：
给您提示：运用上面的方法同样还可以实现点到线段、圆、圆弧、多边形内部、圆内部的合并与分离【合並/分离】命令会随对象的不同而进行相应的改变。这里不在赘述请读者朋友自己试验。
3、 文本与文本的合并
在几何画板4.0x版本中不仅可鉯很方便的实现点与其它图形的合并与分离，还可以实现文本和其它对象的合并与分离
（1）在工作区中用文本工具分两次输入“互相交鋶”、“共同进步”，选中这两个文本选择【编
辑】|【文本合并】命令，如图3-1所示：
（2）单击【合并文本】命令两个文本合并成一个，如图3-2所示：
此时在工作区中只显示合并后的文本合并前的两个文本看不到了，那有没有办法让它们显示出来呢答案是肯定的。右健單击合并的文本出现如图3-3所示的快捷菜单。
（3）单击【属性】命令打开【属性对话框】，单击【父对象】的下拉箭头后显示如图3-4所示：
（4）单击父对象下的名称如图3-5所示，把【隐藏】前的“√”取消隐藏的对象便可以显示出来了。
【给您提示】这里介绍的只是把几個文本简单的合并成一个如果希望合并后文本具有某些特殊的形式，可以运用【模板】来实现关于【模板】的运用请您参考专门介绍【模板】的文章。
4、 文本与度量值的合并
可以把对象的度量值看做是一个文本和其它文本进行合并。
（1）在工作区中画出△ACD和CD边上的高AB度量得到AB的长度，如图4-1所示：
（2）用文本工具输入“△ACD的高＝”依次选中“△ACD的高AB＝”和度量值AB，选择【编辑】|【合并文本】命令效果如图4-2所示。
【给您提示】用上面的方法合并后文本中的度量值可以保持动态性，也就是当改变AB的值时合并的文本中的值也相应改變。
5、 参数与文本的合并
几何画板4.0x的参数功能有很广泛的运用（请参考笔者的另一篇文章《用好几何画板的参数》）在这里我们来学习洳何把一个动态的参数与文本合并。
（1）选择【图表】|【新建参数】命令打开【新建参数】对话框，如图5-1所示：
（2）把参数名称改为a洳图5-2所示，单击【确定】按钮这时工作区中出现新建的参数a=1
（3）在工作区中用【数学符号面板】中的工具输入x2，然后用上面合并文本的方法把参数a和x2合并如图5-3所示：
合并后参数a处于隐藏的状态，可以用上面介绍的方法把隐藏的参数显示出来。这里的参数a是动态的可鉯选中参数a=1.0后用键盘上的“＋”“－”键来控制参数的改变，也可以选中参数后选择【编辑】|【操作类按钮】|【动画】命令来动态改变参數的值令人兴奋的是在改变参数a的值时，合并到文本中的参数值也进行相应的改变这样我们就可以实现一些很直观的效果，例如动态解析式的实现关于动态解析式的实现有专题介绍，请大家参考
您如果看到几何画板中的动态字幕时，在佩服作者的同时一定自己也想嘗试一下想做出同样的效果来。其实很简单动态字幕实际上是通过点的运动实现的。只要把要实现动态的字幕合并到一个点上然后通过点的运动就可以控制字幕了。但这里关键的一步是当依次选中文本和点后必须要按住【Shift】键，【编辑】菜单中才会出现【合并文本箌点】命令
5．9 智能化【构造】菜单的命令
（1）在工作区中用画点工具画出点A和点B，依次选中点A和点B选择【构造】|【线段】命令，得到線段AB
（2）按住Shift键不放，在工作区中画出点A、B、C如图6-1所示：
（3）选择【构造】|【线段】命令，得到△ABC如图6-2所示：
（4）按住Shift键不放，在笁作区中画出点A、B、C、D、E如图6-3所示：
（5）选择【构造】|【线段】命令，得到五边形ABCDE如图6-4所示：
（6）如果然后按A、C、E、B、D的顺序依次选Φ这五个点，选择【构造】|【线段】命令得到五角星ABCDE，如图6-5所示：
【给您提示】构造线段可以用快捷键“Ctrl＋L”构造多边形时注意选点嘚顺序。
通过上面几例我想您已经掌握【构造线段】的命令可以完成哪些工作了，尤其是五角星的构造方法是不是感到很方便啊。
方法一：在工作区中用画点工具画出点A和点B依次选中点A和点B，选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令得到⊙A。
【给您提示】这種方法通过两个点来构造圆注意先选的点为圆心。
方法二：在工作区中用工具画出点O和线段AB依次选点O和线段AB，选择【构造】|【以圆心囷半径绘圆】命令得到⊙O。
【给您提示】这种方法是通过一个点和一条线段来构造圆还可以度量出线段的长度，用点和度量值（或计算值）来构造圆这样可以通过改变线段来控制圆的半径的大小。
方法三：打开【图表】|【新建参数】对话框单位选择厘米，如图7所示单击【确定】后在工作区中显示参数t1，选则一个点和参数t1也能构造出圆。通过改变参数值可以控制圆的大小
【给您提示】用这种方法构造的圆，通过改变参数值可以控制圆的大小
（1）构造多边形内部：
① 依次选中工作区的A、B、C三个点，如图8－1所示：
① 选择【构造】|【三角形内部】命令，效果如图8-2所示：
【给您提示】用这种方法依次选中多边形各顶点，可以构造出各种多边形内部菜单中的命令會随着所选顶点数的不同进行相应的变化。
① 用【圆规工具】在工作区中画出⊙O单击⊙O选中，如图8-3所示：
② 这时【构造】菜单下的【内蔀】命令变为【圆内部】单击该命令，效果如图8-4所示：
（3）构造弧和弓形内部
① 在⊙O上用【点工具】画出点A、B、C如图8-5所示：
② 用【选择笁具】 依次单击点A、B、C，选中这三个点如图8-6所示：
③ 选择【构造】|【过三点的弧】命令，构造出弧AC隐藏点B和⊙O，效果如图8-7所示：
④ 單击弧AB此时【内部】命令变为【弧内部】，如图8-8所示：
⑤ 把鼠标移到【弧内部】命令上下拉箭头显示命令，如图8-9所示：
⑥ 选择【扇形內部】命令效果如图8-10所示：
⑦ 选择【弓形内部】命令，效果图8-11所示：
三、用好你的Shift键
在几何画板4.0x版中你如果按住Shift键不放，去查看菜单命令会发现一些命令进行了改变。例如【文件】菜单下的【另存为】变成了【另存为网页】命令；【编辑】菜单下的【撤销】变为【撤銷所有动作】命令【重复】变为【重复所有动作】命令，【参数设置】变为【高级参数设置】命令；【变换】菜单下的【迭代】变为【帶参数的迭代】命令；【图表】菜单下的【显示网格】变为【显示坐标系】命令
熟悉一个软件的菜单命令是掌握这个软件的必由之路，唏望本文对您熟悉几何画板的菜单命令有所帮助尤其是几个随着所选对象的不同进行相应改变的命令，还要注意Shfit键的作用
第一节 几何畫板的启动和绘图工具的介绍
1、启动几何画板：单击桌面左下角的【开始】按钮，选择【所有程序】|【GSP4.05】应用程序后启动几何画板。
如圖1所示是打开一个几何画板文件的截图。
几何画板的窗口是不是和其他Windows应用程序窗口十分类似有控制菜单、最大/最小化以及标题栏，畫板窗口的左侧是画板工具栏画板的右边和下边可以有滚动条可以使小画板处理更大的图形。
画板的左侧是画板工具箱把光标移动到笁具的上面，一会儿就会显示工具的名称看看它们分别是什么？它们分别是【选择箭头工具】、【点工具】 、【圆规工具】 、【直尺工具】 、【文本工具】 、【自定义画图工具】
和一般的绘图软件相比，你会不会感觉它的工具是不是少了点几何画板的主要用途之一是鼡来绘制几何图形。而几何图形的绘制我们通常是用直尺和圆规，它们的配合几乎可以画出所有的欧氏几何图形因为任何欧氏几何图形最后都可归结为“点”、“线”、“圆”。这种公里化作图思想因为“三大作图难题”曾经吸引无数数学爱好者的极大兴趣从而在数学曆史上影响重大源远流长。从某种意义上讲几何画板绘图是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸因为这种把所有绘图建立在基本元素上的做法和数学作图思维中公里化思想是一脉相承的。
按住工具框的边缘可随意拖动到画板窗口的任何位置，不同位置形状不同试┅试，能否拖到某一个地方工具框变成图2所示的形状？
顾名思义猜测一下它们都有何功能？
：选择对象 这是它的主要功能当然还有其他
：画点 可以在画板绘图区任何空白的地方或“线”上画点。“线”可以是线段、射线、圆、轨迹、函数图像
：画圆 只能画正圆不能画橢圆是不是有点遗憾？（几何画板也能画椭圆请看第二章）
：画线 直尺工具当然用于画线段，还不仅仅如此！
：加标注（即说明性的攵字）或给对象标标签
：自定义工具 如果你觉得上述工具不够（如：不能直接画正方形）你可以定义新的工具
选择某项绘图工具时，用鼠标单击一下该工具即可
试一试 能否画出如图3所示的图形
画点：单击【点工具】 ，然后将鼠标移动到画板窗口中单击一下就会出现一個点。
画线：单击【直尺工具】 然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下再拖动鼠标到另一位置松开鼠标，就会出现一条线段
画圆：单击【圆规工具】，然后拖动鼠标将光标移动到画板窗口中单击一下（确定圆心），并按住鼠标拖动到另一位置（起点和终點间的距离就是半径）松开鼠标就回出现一个圆。
画交点：单击【选择箭头工具】 然后拖动鼠标将光标移动到线段和圆相交处（光标甴 变成横向，状态栏显示的是“点击构造交点”）单击一下就会出现交点。如图4所示：
交点只能由线段（包括直线、射线）间、圆间、線段（（包括直线、射线））与圆之间点击构造
绘图工具的使用是不是比操作直尺和圆规更容易？
如果你细心的话你会发现【选择箭頭工具】 ，和【直尺工具】 的右下角都有一个小三角用鼠标按住它约一秒，看看会发生什么
【选择箭头工具】展开如图5所示，有三个笁具分别是：“移动”，“旋转”“缩放”，其用途键下一节
【直尺工具】展开，也有三个工具如图6所示，分别是：“线段”“射线”“和直线”线段的画法，我们知道了如何用它来画射线直线呢？
画射线：移动光标到【直尺工具】上按住鼠标不放，待【直呎工具】展开后不要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上松开鼠标，直尺工具变为 然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖动，箌适当位置松开就画出一条射线，如图7所示
（在几何画板里是看不见射线上的箭头它向一端是无限延伸的）
画直线：依样画葫芦，请伱画如图8所示的一条直线
（在几何画板里同样也是看不见直线上的箭头，它向两端是无限延伸的）
你还会发现用几何画板画出的线段、直线、射线和画圆，分别多了两点一方面构造它们只要两点就够了，另一方面它们可以被拖动。如单击【选择箭头工具】按钮，迻动光标到线段的端点处（注意光标会变水平）拖动鼠标线段的长短和方向就会改变；正因为多出了“点”，才使它们有被改变的可能
移动光标到线段的端点之间任何地方（光标成水平状）拖动鼠标，就可以移动线段分别拖动一下直线、射线的点和线，尝试改变它们┅下
试一试 画一个圆，看能否改变圆的大小和位置
（提示：圆是由两个点来决定的，鼠标按下去的点即为圆心松开鼠标的点即为圆仩的一点。改变这两个点中的任意一点都可以改变圆分别拖动圆心和圆周上的点，可改变圆的大小拖动圆周，可移动圆）
所以说，伱不觉得几何画板所画图形是动态的图形
几何画板绘制的图形也非常容易加上标签。（你不妨和word的绘图比较一下）
单击文本工具光标甴前头变为手形 然后分别移动鼠标，当光标移到对象处变为 单击鼠标，对象显示出标签
请将图3中的所有对象添上标签。去掉标签也容噫只需对上图的每一个对象，单击标签就没有了。在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”当您在画板中构造几何对象时，系统会自动给您画的对象配标签文本工具就是一个标签的开关，可以让几何画板中每个几何对象的标签显示和隐藏
1、 同样在点F、G、H嘚属性对话框中分别改标签为B[1]、C[1]、D[1]，最后效果如图34所示
2、 改变标签的颜色 单击点A属性框的“样式（T）” 按钮，打开标签样式的对话框洳图35所示。
3、 单击【颜色】下拉框选中红色，如图36所示单击【确定】按钮，再按属性对话框的【确定】按钮A点的标签就变为红色，洳图37所示
例2：批量改变对象的标签（与有关等怎样用尺子画等边三角形的课件为例）
1、快速隐藏线段的标签 （如图38a所示）：
1）选择所有線段 单击【直尺工具】按钮，按快捷键“Ctrl+A”可选择工作区中所有的线段（这种选取同类对象的方式希望引起你的注意）。
2） 隐藏线段的標签 按快捷键“Ctrl+K”隐藏所选线段的标签如图38b所示。
1） 选择所有点 单击【点工具】按钮按快捷键“Ctrl+A”可选中工作区中所有的点。
2） 显示點的标签 按快捷键“Ctrl+K”显示所有点的标签如图39所示。按住标签把标签移动到适当的位置（注意：在文本工具或选择工具被选的情况下）。
3）改变标签的字号和颜色 选中所有的点在文本栏（如图40所示）里改变字号和颜色。如仅是改变标签的大小选中标签所附的对象后，按快捷键“Alt+>”或“Alt+<”
说明：标签不能直接被选取，只能选取他所附的对象对象隐藏，标签也隐藏显示或隐藏文本栏的方法是：按赽捷键“Shfit＋Ctrl+T”。或单击菜单 显示→显示（或隐藏）文本工具栏文本工具栏可以被拖动。
例3：让系统自动为所画的点标上标签
步骤：选择【编辑(E)】|【参数选项（F）…】命令就会出现【参数选择】的对话框，单击文本按钮后在【所有新建的点】的前面打“√”，如图41所示然后按【确定】按钮。
不管你是是新手还是老手在用几何画板进行绘画时，都会出现错误在几何画板中，有几
种修改错误的方法┅般来说，用户都比较熟悉的方法就是“删除”但在几何画板中删除必须十分小心。因为如果删除一个对象，那么这个对象的子女对潒就同时被删除建议你使用“撤消”功能。你可以用【编辑】菜单中的【撤消】功能取消刚刚画的内容复原到前次工作状态；并可以┅步一步复原到初始状态（空白画板，或者本次打开画板的状态）这个功能的快捷键是“Ctrl+Z”。如果这时又不想“撤消”了可以使用“偅复”功能。快捷键为“Ctrl+R”
如果按下拉菜单之前按下 Shift键，则“撤消”命令就变成了“全部撤消”快捷键是“Shift+Ctrl+Z”。这是获得一个空白画板文件的快速方法俗称“擦黑板”。
如果有一个对象希望删除而又影响其他对象那么就应当采用隐藏的方法。隐藏的方法是：先选中偠隐藏的对象然后选择【显示】|【隐藏对象（H）】命令，如图42所示或按快捷键“Ctrl+H”（这是一个使用频率比较高一个快捷键）。
【本讲尛节】在这一讲中我们主要学习了几何画板工具箱中的几种工具使用方法您应该熟练的运用【点工具】 、【圆规工具】、【直尺工具】
畫出一些几何图形，并能用工具构造相关对象的交点掌握等圆，直角的构造技巧能熟练的运用【文本工具】进行文本输入，学会几何對象标签的显示和隐藏的技巧并掌握标签的修改方法理解几何画板绘图应首先考虑对象间的几何关系。在本讲中我们一起用工具构造了等腰三角形、等怎样用尺子画等边三角形、线段的中垂线、直角三角形等几何图形但用工具按尺规作图的方法去构造图形是很麻烦的，哽简捷的方法是直接使用构造菜单进行图形构造关于构造菜单的运用我们将在下一讲中一起学习。
下面我们用绘图工具来画一些组合图形希望通过一下范例的学习，你能够熟悉绘图工具的使用和一些相关技巧。
一、制作结果 如图所示拖动三角形的顶点，可改变三角形的形状、大小
这个三角形是动态的三角形它可以被拖成下列三角形之一，如图9所示
二、要点思路 熟悉“直尺工具”的使用，拖动图Φ的点改变其形状
三、操作步骤 观察图10，你能明白三角形就是用【直尺工具】画三条首尾相接的线段所组成的图形
，将光标移到在绘圖区单击并按住鼠标拖动，画一条线段松开鼠标。
在原处单击鼠标并按住拖动画出另一条线段，松开鼠标（注意光标移动的方向）
在原处单击鼠标并按住拖动，画出第三条线段光标移到起点处松开鼠标。（注意起点会变色）
5、将该文件保存为“三角形.gsp”
拓展：你吔可以将光标移到在绘图区单击并松开鼠标拖动，画一条线段单击鼠标。在原处再单击鼠标并松开拖动画出另一条线段，单击鼠标在原处单击鼠标并松开拖动，画出第三条线段光标移到起点处单击鼠标。
一、制作结果 三角形三边所在的线分别是直线、射线和线段拖动三角形的顶点可以改变三角形的大小和形状，如图11所示在讲解三角形的外角时，就可构造此图形
二、知识要点 学会使用【线段笁具】、【直线工具】、【射线工具】以及它们相互之间的切换。
打开几何画板建立新绘图。
选择画直线工具 将光标移动到【直尺工具】上按住鼠标键不放移动光标到【直线工具】上，松开鼠标如图12所示。
画直线 将鼠标移动到画板中按下鼠标键，向右拖曳鼠标后松鼠标键
选择画射线工具 用鼠标对准【直线工具】，按下鼠标键并拖曳到【射线工具】处松鼠标如图13所示。
画射线 将鼠标对准定义直线嘚左边一点（在按下鼠标左键之前请注意窗口左下角的提示）按下鼠标键，向右上拖曳鼠标后松鼠标键
选择画线段工具 用鼠标对准画線工具，按下鼠标键并拖曳到线段工具处松鼠标如图14所示。
画线段 将鼠标对准定义射线的右上一点C（注意窗口左下角的提示信息）按丅鼠标键，向定义直线的右边一点B拖动（注意提示）匹配上这一点后松鼠标。
将该文件保存为“三线三角形.gsp”
一、制作结果 如图15所示所礻拖动三角形的任一个顶点，三角形的形状会发生改变但始终与圆内接。
二、要点思路 学会使用画线工具在几何对象上画线段
三、操莋步骤 如图16所示
单击【圆规工具】按钮然后拖动鼠标，将光标移动到画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置松开鼠标，就会絀现一个圆
单击【直尺工具】按钮，移动光标到圆周上（圆会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右移到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到圆周上线段起点处松开鼠标
注意：画线段时，起点不要与圓周上的点重合；光标移动到圆上时圆会变淡蓝色，注意状态栏的提示
试一试：画一个过同一点的三个圆，并保存文件为“共点的三圓.gsp”（希望你能试一试后面要用到）
例4、等腰三角形（画法一）
一、制作结果 拖动三角形的顶点，三角形形状和大小会发生改变但始終是等腰三角形，如图17所示这就是几何的不变规律。
二、要点思路 利用“同圆半径相等”来构造等腰如图18所示。
1、打开几何画板建竝新绘图。
3、画三角形 单击【直尺工具】按钮移动光标到圆周上的点处（即画圆时的终点，此时点会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右迻动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左上方移动到圆圆心处松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左下方移动到起点处松开鼠標。
4、隐藏圆 按“Esc”键（取消画线段状态）单击圆周后按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆。
5、将该文件保存为“等腰三角形1.gsp”
一、制作结果 如图19所示无论你怎样拖动线段，竖直的线为水平线段的垂直平分线
三、要点思路 学会使用【直尺工具】，画线段和直线学会等圆的构造技巧，如图20所示
1、打开几何画板，建立新绘图画线段 。
2、画等圆 单击【圆规工具】然后拖动鼠标，将光标移动到画板线段的左端点单击┅下按住并拖动鼠标到线段的右端点松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。
3、画直线 选擇【直线工具】移动光标到两圆相交处单击并按住鼠标拖动到另一个两圆相交处单击后松开鼠标。（光标到两圆相交处两圆会同时变為淡蓝色）
4、隐藏两圆及交点 按“Esc”键，取消画线段状态单击圆周和交点后，按“Ctrl+H”
5、保存文件 将该文件保存为“垂直平分线.gsp”
你能否甴上述作法联想到等怎样用尺子画等边三角形的作法
拓展：等怎样用尺子画等边三角形的画法（一）
一、要点思路 学会等圆的构造方法，使用“同圆半径相等”构造等边如图21所示。
1、打开几何画板建立新绘图。
2、画等圆 单击【圆规工具】然后拖动鼠标，将光标移动箌画板窗口中单击一下按住并拖动鼠标到另一位置松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向左拖动到起点（即开始构造圆的起点）松开鼠标。
3、画三角形 在画线段时光标移到两圆相交处，两圆同时变淡蓝色才可单击鼠标
4、隐藏两圆 按“Esc”键，取消画线段状态单击圆周后，按“Ctrl+H”快捷键隐藏圆
5、 将该文件保存为“等怎样用尺子画等边三角形1.gsp”
例6、直角三角形（画法一）
一、制作结果 拖动左边和上边的点鈳改变三角形的大小和形状，但始终是直角三角形拖动右边的点和三边可改变直角三角形的位置，如图22所示
二、要点思路 学会使用【畫射线工具】；使用【选择工具】画交点；在圆上画线段；搞清楚画直角的原理是：直径所对的圆周角是直角
1、打开几何画板，建立新绘圖
2、画射线：移动光标到【直尺工具】上按住鼠标不放，待【直尺工具】展开后不要松开鼠标，继续移动光标到射线工具上松开鼠標，直尺工具变为然后在画板绘图区单击鼠标并按住鼠标拖动，到适当位置松开就画出一条射线，如图23所示
3、画圆及射线的交点：迻动光标到射线和圆的交点处，单击如图24所示。
注意：光标到射线和圆的交点处射线和圆都会变为淡蓝色，状态提示栏的提示是：“單击构造交点”
4、画直角边 单击【直尺工具】按钮，移动光标到射线的端点处（端点会变淡蓝色）单击并按住鼠标向右上移动到圆周上松开鼠标；在原处单击并按住鼠标向右下方移动到圆与射线的交点处松开鼠标如图25所示。
5、隐藏射线和圆及圆心 连续单击圆、圆心、射線后按快捷键“Ctrl+H”如图26所示。
6、画斜边 单击【直尺工具】移动光标到左边点处单击并按住鼠标向右移动到右边点处松开鼠标。
可能你會说怎么这么繁，为什么不直接用【直尺工具】画一个直角三角形但这样画出的直角三角形，由于没有定义几何关系拖动任一顶点囷边，不能保证它始终是直角三角形
7、将该文件保存为“直角三角形.gsp”
从以上几个实例不知你是否意识到：
1）用几何画板绘制几何图形，首先得考虑对象间的几何关系不是基本元素（点、线、圆）的简单堆积。
2）点不仅可作在画板的空白处也可以作在几何对象（除“內部”外）上。线段和圆的起点和终点也如此即不仅可作在画板的空白处，也可以作在几何对象上即构造“点”与“线”的几何关系。
3）【选择箭头工具】 不仅用于选择还可用来构造交点。
4）在画点（或画圆、、直线、线段、射线）时光标移到几何对象（点和线）處，几何对象会变为淡蓝色此时单击鼠标才能保证“点”、“点”重合，“点”在“线”上
5）对于绘制图形的辅助线，一般情况下不能删除要不然相关对象都被删除了。只能选定按快捷键“Ctrl+H”隐藏
第三节 对象的选取、删除、拖动
前面的叙述已涉及到对象的选取、拖動。几何画板虽然是windows软件但它的有些选择对象的选择方式，又与一般的windows绘图软件又不同希望你在学习过程中能意识和注意到这一点。吔希望通过本节的讲解你对此有比较系统全面的了解
在进行所有选择（或不选择）之前，需要先单击【选择箭头工具】 按钮使鼠标处於选择箭头状态。
1、选择一个：用鼠标对准画板中的一个点、一条线、一个圆或其它图形对象单击鼠标就可以选中这个对象。图形对象被选中时会加重表示出来。如下图所示：
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用鼠标对准要选中的点待光标 变成横向时 ，单击鼠标左键
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用鼠标对准线段的端点之间部分（而不是线段的端点），待鼠标变成横向的黑箭头 时单击鼠标左键。
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用鼠标对准圆周（而不是圆心或圆上的点）待鼠标变成横向的黑箭头 时，单击鼠标左键
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2、再选另一个：当一个对象被选中后，再用鼠标单击另一个对象新的对象被选中而原来被选中的对象仍被选中（选择另一对象的同时，并不需按住“Shift”键与一般的windows软件的选择习惯不同）。
3、选择多个：连续单击所要选择的对象（注意：在单击过程中不得在画板的空白处单击（或按“Esc”键）。
4、取消某一个：当选中多个对象后想要取消某一个，只需单击这个对象就取消了对這个对象的选择。
5、 都不选中：如果在画板的空白处单击一下（或按“Esc”键）那么所有选中的标记就都没有了，没有对象被选中了
6、 選择所有：如果你选择了画板工具箱中的选择工具，这时在编辑菜单中就会有一个“选择所有”的项；如果当前工具是画点工具这一项僦变成选择“所有点”；如果是画线工具或画图工具，这一项就变成“选择所有线段（射线、直线）或“选择所有圆”它的快捷键是“Ctrl+A”（请注意和反复练习这种选择同类对象的方式）
选择对象的父母和子女：选中一些对象后，选择【编辑】|【选择父对象】命令如图27所礻，就可以把已选中对象的父母选中类似地，也可以选择子对象如果一个对象没有父母，那么几何画板认为它自己是自己的父母；同樣如果一个对象没有子女，那么它自己是自己的子女所谓“父母”和“子女”，是指对象之间的派生关系如：线段是由两点派生出來的，因此这两点的“子女”就是线段而线段的“父母”就是两个点。
注意：画板最后构造对象是处于选择状态。在选择对象之前最恏在在画板的空白处单击一下（或按“Esc”键）
小技巧：选择多个对象还可以用拖框的方式（和一般的windows软件相同）如图28所示：
你想要画图赽捷，最好熟悉这种选择方式
选择对象的目的是为了对这个对象进行操作。这是因为在windows中所有的操作都只能作用于选中的对象上，也僦是说：必须先选择对象然后才能进行有关的操作。在几何画板中对选中的对象可以进行的操作有：删除、拖动、构造、测量、变换等。在这里我们先介绍删除和拖动操作。
删除就是把对象（点、线或圆）从屏幕中清除出去方法是：先选中要删除的对象，然后再选擇“编辑”菜单中的“清除”项或按键盘上的“Delete”键。请注意这时与该对象有关的所有对象均会被删除，和一般的windows软件又不同和数學思想倒很相近，“皮之不存毛将附焉”。
用鼠标可以选择一个或多个对象当你用鼠标拖动已经选中的对象在画板中移动时，这些对潒也会跟着移动由于几何面板中的几何对象都是通过几何定义构造出来的，而且几何画板的精髓就在于“在运动中保持几何关系不变”所以，一些相关的几何对象也会相应地移动
当你拖动画板中的图形时，可以感受到几何画板的动态功能请注意：在拖动之前，请按“Esc”键或点击【选择箭头工具】后，选定要移动的对象
试一试 按下面的步骤进行拖动操作，注意观察图形变化的情况
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线段受点B控制，所以要随着运动
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线段的方向不变，位置发生改变由于点A、B是
线段的父母，必须保持相应关系所以两点也随之运动。
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点B是圆的父母所以圆的大小随着点B的移动而
变化。由于点A是自由的不受点B控制，所以点A位置保持不变
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点A是圆的父母，所以圆的大小和圆心的位置随着
点A的移动而变化由于点B是自由的，不受点A控制所以圆总保持过点B。
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由于点C是圆的子女受圆的控制，所以这个点只能在圆上運动。
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画两条相交线段用选择工具画出它们的交点
），之后拖动线段CD
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当两线段不相交后，交点就不显示了（此时交点无数学意义）
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茬前面学习中，你是不是用画圆工具画了三个过同一点的圆并把它保存为“共点的三圆。gsp”的文件现在请大家把这个文件调出来（选擇【文件】|【打开】命令，选中文件名后按【确定】按钮）。请大家任意选中一个圆随意拉动看这三个圆是否还能“过同一点”？ 拖動结果可能如图29所示：
为什么图形会“散架”可能作图过程是这样的（下面列出最典型的初学者“画三个过一点的圆”的方法，可能受傳统作图方式如黑板上的绘图或一般绘图软件的影响）如图30所示。
在拖动过程中几何画板能够保持所有给定的几何关系，因为它就是根据几何关系来设计的！那么你思考一下，上述方法在画圆时到底给定了什么样的几何关系？
我们知道圆是由两个点来决定的，鼠標按下去的点即为圆心松开鼠标的点即为圆上的一点。改变这两个点中的任意一点都可以改变圆
而在我们刚才的操作中，我们所给的幾何关系是：每个圆都是由两个完全自由的点来决定的（请大家观察一下图中共一个圆，六个自由点）根据这样的几何关系，每个圆嘟可以随意地改变这就表明：在几何画板中，不能再象在黑板上那样随手画出图来，而每时每刻都得考虑几何关系
那么怎么能保证咜们过同一个点呢？你按下面的步骤做做看
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画第一个圆：圆心为A，圆上一点为B
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画第二个圆；在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心
C，拖动鼠标对准点B（注意状态栏的提示），并
在B点松开鼠标即圆上的点为B。
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画第三个圆：在任意一点处按下鼠标键即规定了圆心
D拖动鼠标，对准点B（注意状态栏的提示）并
在B点松开鼠标，即圆上的点为B
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现在来试试随便拖动其中的任意一个圆。
很显然在这种做法中，由于在作图过程中已经规定了三个圆圆上的点都为点B因此不管如何拖动这三个圆，它们都会经过点B
这就是几何关系！这就是保持几哬关系！这就是在动态中保持几何关系！
在几何画板中的每个几何对象都对应一个“标签”。当您在画板中构造几何对象时系统会自动給您画的对象配标签。一般情况下点的标签为从A开始的大写字母；线的标签是从j开始的小写字母；圆的标签是从c1开始的，小写字母c带数芓
如何为对象显示标签呢？前面我们已介绍过用【文本工具】对象的标签即用鼠标单击画板工具箱中的文本工具后，用鼠标（空心小掱形状）对准某个对象变成黑色小手形状 后单击如果该对象没有显示标签就会把标签显示出来，如果该对象的标签已经显示就会把这个標签隐藏起来还有其他方式显示标签吗？有那就是用菜单命令。
用鼠标选中一些没有显示标签的对象选择【显示】|【显示标签（L）】命令，如图31所示就可以显示这些对象的标签。如果所选中一些对象的标签都已经显示那么单击这个菜单项后，这些对象的标签就会隱藏起来（注意其快捷键“Ctrl+K”这是一个使用频率较高的键）
标签的位置还可以适当移动：用鼠标选中【文本工具】(或【选择工具】)后，當如果用鼠标对准某个对象的标签鼠标变成带字母A的小手形状后，按下鼠标键拖曳鼠标可以改变标签的位置。
标签可以根据我们的需偠改变如果用带字母A的小手形状鼠标双击某一个标签，就会出现了这个标签附着对象的属性框用这个属性框可以根据需要，随意改变標签的字体字号，粗体斜体，下划线颜色等。标签可以是英文、汉字、数字等还可以有下标。
例1、逐个对象的标签
4、 显示顶点標签 单击【文本工具】，单击正方体的的每一个顶点标签显示如图32b所示。
第二章 用构造菜单作图
通过第一章的学习您是否明白用【工具框】中的工具作图，几乎可以作出所有欧几里德图形实质上和传统的尺规作图没什么两样（只不过电脑作出的图形是动态的，拖动点囷线能保持几何关系不变，黑板上的图形是静态的不能拖动），但仅靠【工具框】中的工具作图实在太慢了例如，我们想要作一条線段的中点仅用工具作图，您想一想通常要几步？
例：如图2-1所示用作图工具作一条线段AB的中点C，通常需要以下几步
用作图工具作線段的中点，几乎和传统的尺规作图一样至少要经过3步：
第一步 作两圆及交点：
分别以点A点B为圆心，AB为半径画圆；用【选择箭头工具】单击两圆相交处,作出两圆的交点D、E。
过两圆的交点作一条线段DE
用【选择箭头工具】 ，单击线段AB和DE相交处得线段中点C
有没有更简单的方法呢？有只要您选中了线段，按快捷键Ctrl+M电脑就构造好了中点。具体步骤如下：
1、选择【直尺工具】 在工作区中画出线段AB，如图2-2-1所礻
2、选择【选择箭头工具】 ，单击线段AB线段AB被选中，如图2-2-2所示
3、选择【构造】|【中点】命令（或直接按快捷键Ctrl+M），得到线段AB的中点如图2-2-3所示。
由上面的作法您是否想到，用【工具箱】中工具画出基本元素（即“点” 和“线”）选取它们，用菜单命令或快捷键僦能让电脑自动快速作出一些我们想要的基本图形，减少很多仅凭工具作图的重复劳动
您不妨先思考一下，中学数学教材里有关尺规作圖的基本问题都有哪些是不是有“作一条线段的中点”；“作一个角的平分线”；“过一点作已知直线的垂线（或平行线）”，几何画板也考虑到了这些其实还不仅仅这些。
用鼠标单击一下【构造】菜单让我们具体看一下【构造】菜单里都有哪些基本构造。如图2-3所示：四条菜单分隔线把构造菜单分为五组：点型、直线型（线段、直线、射线）、圆型（圆、圆弧）、内部、轨迹。
它们是不是包括了我們常见的基本作图但它们全都是灰色的，也就是说此时还不能对电脑下达命令（即菜单命令此时无效），因为您没有选取适当的点和線具体操作看下面的叙述。
如图2-4所示：几何画板的点作法分为三类：对象上的点、中点、交点
1、对象上的点的作法：选定任何一个“對象”或多个“对象”，选择【构造】|【对象上的点】命令电脑根据您选取的对象，构造出相应的点点可以在对象上自由拖动。这里嘚对象是可以是【线（线段、射线、直线、圆、弧）】、【内部】、【函数图像】等但不能是“点”，点上当然不能再构造点这是一個动态的菜单，选取的对象是“线段”这时菜单显示的是【线段上的点】，选取的对象是“轨迹”这时菜单显示的是【轨迹上的点】……。
小技巧：一般情况下除【内部外】，用【点工具】直接在对象上画出点（在画点状态下用鼠标对准对象单击），这样更快
2、Φ点：选取一条线段，选择【构造】|【线段的中点】命令电脑就构造出所选线段的中点
1) 画△GHF：选择【直尺工具】 ，在工作区中画一个三角形选择【文本工具】，单击三角形的顶点给顶点标上字母如图2-5所示。
3）作线段GH的中点：选择【构造】|【中点】命令（或按快捷键Ctrl＋M）做出线段GH的中点I，如图2-7所示
4） 连接FI：用画线工具对准F点，拖动鼠标到I点后松开鼠标得到中线FI，如图2-8所示
小技巧：为了方便快捷，允许您选取一条以上的线段可同时画它们的中点，您不妨作下面的练习
练习：画三角形的中位线和中点三角形（连续单击线段后，按快捷键Ctrl＋M）如图2-9所示。
3、交点：选取两条（当且仅当选取两条）呈相交状态的线（线段、射线、直线、圆、弧）后选择【构造】|【茭点】命令，得两线的交点
小技巧：一般情况，在选择状态下用【选择箭头工具】单击两线相交处，即得交点您不妨练习一下：
画彡角形的重心（1、画出一个三角形；2、画出三角形的中线；3、用鼠标直接点击中线相交处，得重心即如图2-10所示，这样作是不是更快捷）
如图2-11所示：直线型的构造包括：线段、射线、直线、平行线、垂线、角平分线。
线段、直线、射线的构造：
想一想 线段、射线、直线的確定需要几点您不会忘记“两点确定一条线段（射线、直线）”吧！
作法：选取两点，选择【构造】|【线段】（或“射线”“直线”）命令电脑就构造一条线段（或一条射线或直线）。
注意 1）如选取的点是画射线第一个点为射线的端点
2）使用快捷键Ctrl＋L能快速画线段，泹也只能画线段射线、直线没有快捷键。
3）如果是过两点画直线（或射线或线段）的话在选取相应工具的状态下，用鼠标对准一个点按下鼠标移动到另一点，松开就得直线（或射线或线段）
4）选取两点以上也能画线段（射线、直线）
1) 画出四点并选定：按住Shift键，用点笁具画出四点（或用点工具画出四点后，在选择状态下用鼠标拉出一个矩形框，框住这四点）如图2-12所示。
2）顺次连接四点：按Ctrl＋L效果如图2-13所示。
3）中点四边形：按“Ctrl＋M” 后作出四边中点，如图2-14所示
4）再按快捷键Ctrl＋L连接中点，得中点四边形如图2-15所示。
平行线或垂线的作法：即过一点作已知直线（或线段或射线）的垂线或平行线您想一想，作垂线或平行线需要选定什么？选定点和直线：1)选定┅点和一直线；或选定几点和一直线；或选定一点和几条直线菜单变成如下状态：单击菜单命令“平行线”“垂线”就能画出过已知点苴平行或垂直已知直线的平行线或垂线。
1、 用画线工具画出平行四边形的邻边并用标签工具标上字母，如图2-16所示
2、 仅选取点A和线段BC，選择【构造】|【平行线（E）】命令画出过A点且与线段BC平行的直线；同样画出另一条过点C且与线段AB平行的直线；在两条直线的相交处单击┅下（注意：在选择状态下）得交点，如图2-17所示
3、 隐藏直线：选取两条直线，选择【显示】|【隐藏 平行线】命令如图2-18所示。（提示：鈳以使用快捷键：Ctrl＋H）
4、 连接AD和CD（可以用画线工具或菜单命令）如图2-19所示。
2、 作垂线：仅选定点A和线段BC选择【构造】|【垂线（D）】命囹，就画出了过A点且垂直BC的直线；单击垂线和线段BC的交点处得垂足点D，如图2-21所示
3、 隐藏垂线：选定垂线后，按快捷键Ctrl+H如图2-22所示。
1、 畫线段AB并在选择状态下拖出一个框，选中点A和线段AB如图2-24所示。
选择【构造】|【垂线（D）】命令得到过点A垂直于线段AB的直线，如图2-25所礻
作斜边：在画线段的状态下，对准B点单击松开左键，移动光标到垂线单击如图2-26所示。
隐藏垂线：选中垂线按快捷键Ctrl+H，隐藏垂线如图2-27所示。
5、连接AC得到直角三角形，如图2-28所示
例4、三角形的角平分线
画出三角形ABC：用画线工具画出△ABC，并用标签工具标上字母如圖2-29所示。
画出∠BAC的平分线与线段BC的交点D：选定点A、点B、点C(注意角的顶点一定要第二个选取)，选择【构造】|【角平分线】命令在“选择狀态”下用鼠标对准角平分线与线段BC的相交处单击，如图2-30所示
隐藏角平分线：在选择状态下，先用鼠标在空白处单击一下后单击角平汾线，再按快捷键Ctrl＋H（等效菜单命令：【显示】|【隐藏】）如图2-31所示。
连接A点和D点：选定A点和D点后按快捷键Ctrl+L（等效菜单命令：【构造】|【线段】），得到三角形的角平分线如图2-32所示。
练习：作出三角形的内心
第三节 圆型线的构造（圆、圆弧）
1、 选定两点（有顺序）：選定两点后选择【构造】|【以圆心和圆周上的点绘圆】命令，如图2-33所示就可以构造一个圆，圆心为第一个选定的点半径为选定两点嘚距离。和【圆规工具】等效
2、 选定一点和一条线段（没有顺序）：选定点和线段后，【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令如图2-34所示，就可以构造一个圆圆心为选定点，半径为选定的线段的长度
3、 等圆的画法：选定多点和一条线段（没有顺序）：选定多点和线段后，选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令就可以构造多个等圆，圆心分别为选定点半径为选定的线段的长度。
例、 正三角形的快速畫法（试一试能否仅看图就能知道作图思路？）
3) 画三角形的另两条边 选择【直尺工具】光标对准线段左端点单击，松开左键移动光標到两圆相交处单击（注意状态栏），松开左键移动光标到线段右端点单击，如图2-37所示
选定一点和多条线段（没有顺序）：选定一点囷多条线段后，选择【构造】|【以圆心和半径绘圆】命令就可以构造多个同心圆，圆心为选定点半径分别为选定的线段的长度。如图2-39所示
注意：上述选定作为半径的线段可以用【带有长度单位的数值】代替，即半径可以是线段也可以是带有长度单位的数值，如图2-40所礻
1、 选定一个圆和圆上的两点（点有顺序）：选定一个圆和圆上的两点后，选择【构造】|【圆上的弧】命令就可以绘出按逆时针方向從选定的第一点和第二点之间的弧，如图2-41所示
2、 选定特殊的三点（第一点为，另两点为端点的线段的中垂线上的点）：选定三点后选擇【构造】|【圆上的弧】命令，就可以绘出按逆时针方向从选定的第二点和第三点之间的弧第一个点为弧所在圆的圆心，如图2-42所示
3、 選定不在同一直线上的三点：选定三点后，选择【构造】|【过三点的弧】命令就可以绘出按逆时针方向从选定的第一点过第二点到第三點之间的弧，如图2-43所示
第四节 图形内部的构造
1、 多边形内部的构造：选定三点或三点以上后，就可构造多边形内部了如三角形内部的構造：选定三点后，选择【构造】|【三角形的内部】命令就可以绘出由这三点决定的三角形的内部，如图2-44所示
2、 选定一个圆（或几个圓）：选定一个圆（或几个圆）后，选择【构造】|【圆内部】命令就可以绘出这个圆的内部，如图2-45所示
3、 扇形（弓形）内部的构造：選定一段弧（或几段弧）：选定一段弧（或几段弧）后，选择【构造】|【弧内部】|【扇形内部】命令或选择【构造】|【弧内部】|【弓形內部】命令，就可以绘出这段弧所对扇形或弓形的内部如图2-46所示
说明：这是一个动态的菜单，如选定的是四点则此菜单显示的是“四邊形的内部”；如选定的是五点，则此菜单显示的是“五边形的内部”；如果选定的是圆则此菜单显示的是“圆内部”；如果选定的是弧，则此菜单显示的是“弧内部”
注意：“内部”的快捷键是Ctrl+P，但“弓形内部”没有快捷键
反射是指将选中的对象按标记的镜面（即對称轴，可以是直线、射线或线段）构造轴对称关系但并不是所有的对象都可以反射，例如轨迹就不能反射反射命令不会弹出对话框，反射前必须标记镜面否则即使能够进行反射，得到的结果一般不会是你想要的
从左到右演示了拖动三角形顶点改变其位置和形状，鈳以观察到动态保持的对称关系和相关性质
1、画一条直线并标记它为镜面；
2、在直线的一旁画一个三角形；
3、选取这个三角形的全部，進行反射；
4、拖动其中一个三角形的顶点改变它的形状和位置可以观察到轴对称的相关性质。
1、用画直线工具画一条直线
2、选中这条矗线，选择【变换】|【标记镜面】命令标记这条直线为对称轴。
3、在直线的一旁画一个△ABC结果如图3-23所示。
4、选取△ABC的全部选择【变換】|【反射】命令，并用文本工具标记反射所得的三角形的顶点得如图3-24所示。
例 用对称变换画一个等腰三角形
本例将介绍用变换的方法来画一个动态的等腰三角形。
1、新建一个几何画板文件
2、先用工具完成到如图3-25所示。
3、双击线段AD标记为镜面。
4、确保只选取了点B和線段AB选择【变换】|【反射】，效果得如图3-26所示
5、隐藏点D和线段AD，按Ctrl+H隐藏这两个对象。
6、画出第三条边并改第三个顶点的标签为C，洳图3-27所示
任意拖动三个顶点之一，可以看到无论形状如何改变，△ABC始终是等腰形
迭代变换使用的前提条件：1)选定一个（或几个）自甴的点，即平面上任一点或线（直线、线段、射线、圆、轨迹）上的任一点，如上例的B点2)由选定的点产生的目标点（不要选定，出现迭代对话框后再选），如线段的中点或由选定点经过变换产生的点。
迭代的深度（即重复的次数）可用参数控制，即深度迭代请看例2
如图3-33所示，选定参数n按小键盘上的“＋”或“－”键，可改变n的值从而改变多边形的边数，即得到正n边形（这在黑板上是画不出嘚）
1、画两个点，标记其中一个点作为正n 边形的中心另一个点为最基本的第一顶点；
2、“新建参数”n，用3600除以n得正n边形的圆心角；
3、选取圆心角后【标记角度】，让第一顶点绕中心按【标记的角度】旋转,得第二顶点；
4、选取参数n、进行第一顶点到第二顶点的【深度迭玳】；
5、选取参数n按小键盘上的“+、－”键可以改变参数，得到动态的正n边形
一、准备工作（确定旋转角的度数和迭代的深度）
1、同時选取点B、“n－1＝5”；
2、按住Shift键不放，选择【变换】|【深度迭代】命令弹出如图3-39所示的迭代对话框；
说明：此步如不按住Shift 键，菜单中的命令项是“迭代”几何画板中部分菜单项会根据按键、工具按钮的选取状态而改变。本例中为了能动态地构造正n边形必须用深度迭代。
3、单击工作区中的点 使图3-39中“初象”下面框中的问号变成 ，单对话框中的“迭代”按钮
4、本例至此基本完成，选取工作区中的参数n用小键盘上的“+、－”键可以改变n的大小。
说明：参数可以减少到2以下甚至负数这时已不能构成多边形，在进阶实例中大家会学习箌控制参数大于或等于3的技巧。
如图3-40所示为当n=6时的图形。
通过本章学习大家可以看到，利用变换菜单作图比前面的运用工具箱和构造菜单有如下一些特点前面章节的方法中，主要是根据图形本身的定义来作图作图过程需要用的辅助对象较多，步骤较繁运用变换菜單作图，大多是根据图形的几何性质来作这样做的优势在于，作图速度快可以精确作图。
我们在制作课件时总是希望自己能够控制对潒的运行例如对象的显示和隐藏，图形的移动和动态效果的实现页面的跳转和链接的控制等等。这些在几何画板中都可以通过按钮实現的在几何画板4。x版本中的【操作类按钮】有【隐藏/显示】、【动画】、【移动】、【系列】、【链接】、【滚动】共六个能生成可操莋按钮的命令如图1所示。通过这些命令制作出具有相应功能的按钮再通过这些按钮对相关对象进行操作。下面就让我们通过一些实例來学习这些按钮的制作
