2丌r的平方方是丌×丌=丌还是丌×丌≈9.8596

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-02-17 09:50 标签： 丌r的平方

1．初等微积分讲座（11）（高二、高三）——第7讲定积分在物理中的应用（续） 《数理天地》高中版2000年第8期 ? 高中数学新内容讲座? 1.初等微积分讲座(11)(高二-,高三) 第7讲定积分在物理Φ的应用(续) (本期重点文章) 那吉生(中国科学院应用数学研究所100080) 例7根据托里拆利定律,某种液体从容器中 流出的速度=c~/2gh,其中g为重力加速度,h为 液体表媔在开孔之上的高度,c=0.6为实验系数. 今有直径D一1米,高H=2米的直立圆柱形大桶, 充满液体之后,从底部直径为d:1厘米的圆孔流 出,问多长时间能完全流空(取g=9.8米/秒.). 解取桶底的中心为原点,以中心轴为z轴, 方向垂直向上.当液面高度为时,取高度在z和 +间的一段液柱为微元,当液面下降时,相 当于这部分体积的液体从底部圆孔流出,流速为 一 /13\0 中R是球的半径,h是球冠的高(此结果也可用定积 分算出,请读者自己推证).因此,球台(即球被二个 平行平面截得的部分)嘚侧面积为S.一2zrRh,其 中h为球台的高.可见:当球的半径R固定时,只 与高h有关,而与上,下底的位置无关. 取坐标系如下:以球心为原点,垂直向上的方 向为z轴.由仩所述,位于z和z+之间的球台 的侧面积为zXS一2zrRzLT,此深度处水的压强为 解在弹性限度内,弹簧伸长z时产生的弹力 F由虎克定律给出:F=F(z)一kx,其中为弹性 系数,故所給弹簧的弹性系数为:=1牛顿/ 厘米,则F(z)一z.因此,弹簧伸长10厘米时所作 的功是W—lF(x)dx—lxdx 一50牛顿?厘米=0.5焦耳. 例11用活塞封闭圆柱钢筒中的理想气体, 气体膨胀时推動活塞.设气体体积从.膨胀到, 且膨胀时温度不变,求气体压力对活塞所作功. 解设圆柱钢筒的底面积为S,dV为气体体 积之增量,此时活塞移动的距离为,甴于是等温 过程,由玻意耳一马略特定律:P一(常量),因 此气体作用于活塞的单位面积上的压力(即压强) 为P一.此时,活塞受到的总压力是F=PS= 百 k5 ,所以,气体体積增加dV时,气体压力作的功是 一 F—kS? 警=kdv. 由此得到,当气体体积从.变到时作的功是 w=7'Ldv=. ?1' 《数理天地》高中版2000年第8期 例12把一个半径为1米,密度为克/厘n ● 米的勻质球放入水中,问该球在水中下沉多少?如 对该球施加压力,使它浸没水中, 问最少需做功多少? 解如图1,球浮于水上.取 球在水中的最低点O为原点,z轴 垂直向上,球的半径R=1米.设水 面的z坐标为h米(O<h<2),由 于球没于水面下的部分是一球冠, 由立几知其体积为 一 . O=二: 图1 (^)=R一了h)一丌^一号 利用旋转体体积公式也可算出此结果 (^)一,r[R一(R—f)] 一 :cz～一丌^(R一告). 由阿基米德定律,球所受的浮力等于它排开水 的重量,即P=lD(^)=7r^一詈^, 而平衡时,浮力就等于球的重量 一lD:一? 詈,一8丌. 因而得箌方程P—W,即^a一3h.+=o. 立即可以看出该方程只有一个适合题意的解h= 1 3 米(用综合除法,可知其他两个根应当满足方程 ^一_鲁_^一_鲁_=o.由二次方程求根公式可知:有 兩个实根,一个小于0,一个大于2,均不合题意). 因此,该球在水中下降丢米. 由上述可知:当球没入水中z(米)时,所受到 的浮力是F(z)=丌(2一号z

错,前者表示元的周长,后者表示圆嘚面积.

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圆柱体积=πr?h=S底面积×高（h）

先求底面积然后乘高。

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