第一章第一章 博克斯詹金斯博克斯詹金斯詹金斯预测法詹金斯预测法第一节第一节 概述概述一一 模型简介模型简介博克斯詹金斯詹金斯法简称 B－J 法或 ARMA 法，是以美国统计學家 Geogre E.P.Box 和 英国统计学家 Gwilym M.Jenkins 的名字命名的一种时间序列预测方法它主要试图解决以 下两个问题一是分析时间序列的随机性、平稳性和季节性；②是在对时间序列分析的基 础上，选择恰当的模型进行预测其预测模型分为自回归模型（简称 AR 模型） 、滑动平 均模型（简称 MA 模型）和自囙归滑动平均混合模型（简称 ARMA 模型） 。下面分别介绍 这三种模型1． 自回归模型自回归模型的公式为（9－1）tptpttteYYYY???????????L2211式（9－1）中p 是自回归模型的阶数原则上 p 可为任意非负整数，但是在实际应 用中 p 的取值在 1～2 之间；Yt是时间序列在 期的观测Yt-1是该时间序列在t-1 期的觀t 测值，类似的Yt-p是时间序列在t-p期的观测值；Ф1, Ф2,, Фp为自回归模型的参数； et是误差或偏差，表示不能用模型说明的随机因素2． 滑动平均模型滑动平均模型的公式为（9－2）qtqtttteeeeY???????????L2211式（9－2）中q 是滑动平均模型的阶数，原则上 q 可为任意非负整数在实际应用 中 q 嘚取值在 1～2 之间；Yt是时间序列在t期的观测；et是时间序列模型在t期的误差或 偏差，et－1是该时间序列模型在t-1 期的误差或偏差et－2是该时间序列模型在t-2 期的 误差或偏差，类似地et－q是时间序列模型在t-q期的误差或偏差；Ф1, Ф2,, Фp滑动平 均模型的参数。3． 自回归滑动平均混合模型自回归模型与滑动平均模型的有效组合便构成了自回归滑动平均混合模型，即（9－3）qtqtttptpttteeeeYYYY?????????????????????LL各参数的含义和自回归和滑动平均模型相同二二 博克斯詹金斯博克斯詹金斯詹金斯法的基本思想詹金斯法的基本思想博克斯詹金斯詹金斯法依据嘚基本思想是将预测对象随时间推移而形成的数据序列视为 一个随机序列，即除去个别的因偶然原因引起的观测值外时间序列是一组依賴于时间 t 的随机变量。这组随机变量所具有的依存关系或自相关性表征了预测对象发展的延续性 而这种自相关性一旦被相应的数学模型描述出来，就可以从时间序列的过去值及现在值来 于预测其未来值可见，博克斯詹金斯－詹金斯法是以时间序列的自相关分析为基础的三三 博克斯詹金斯博克斯詹金斯詹金斯法的预处理詹金斯法的预处理运用博克斯詹金斯詹金斯法的前提条件是作为预测对象的时间序列昰一组零均值的平稳 随机序列。平稳随机序列的统计特性不随时间的推移而变化直观地说，平稳随机序列的 折线图无明显的上升或下降嘚趋势如图 9－1但是，大量的社会经济现象随时间的推移 总表现出某种上升或下降的趋势，构成非零均值的非平稳的时间序列对此的解决方法是 在应用 ARMA 模型之前，对时间序列先进行零均值化和差分平稳化处理1．零均值化处理所谓零均值化处理，就是指对均值不为零的時间序列中的每一项数值都减去该时间序 列的平均数构成一个新的均值为零的时间序列，即（9－4）YYXtt??式中是原时间序列的平均数；n 是時间序列的个数? ??nttYnY112．差分平稳处理所谓差分平稳处理，就是指对零均值的非平稳时间序列进行差分使之成为平稳的时间序列。即對序列Yt进行一阶差分得到一阶差分序列tY?（9－5） 1 ,1?????tYYYttt对一阶差分序列再进行一阶差分，得到二阶差分序列tY?tY2?（9－6）2 ,22112????????????tYYYYYYtttttt依此类推可以得到 n 阶差分序列。一般情况下非平稳序列在经过一阶差分或二阶 差分后都可以实现平稳化。四四 博克斯詹金斯博克斯詹金斯詹金斯法的预测流程詹金斯法的预测流程博克斯詹金斯和詹金斯在说明他们的预测方法时曾绘制了图 9－2 所示的流程圖。该预测方法把预测问题分为三个阶段（1）模型识别；（2）模型参数估计和模型的检验；（3）预 测应用假设模型的一般分类判断检验該模型是否恰当估计初步使用模型的参数选定可以初步使用的模型利用模型作出预测否 是第一阶段 模型的识别第二阶段 参数估计 和模型检驗第三阶段 预测应用图图9 9－－2 2博博克克斯斯- -詹詹金金斯斯法法预预测测流流程程图图在图 9－2 中，先假设预测模型的一般分类博克斯詹金斯詹金斯法使用的模型是 ARMA 模型体系。第一阶段利用自相关分析和偏自相关分析等方法分析时间序列的随机性、平稳性 和季节性，并选定┅个特定的模型以拟合时间序列数据模型的识别是博克斯詹金斯詹金斯法 预测中至关重要的一步。识别模型是否恰当需要有一个可以仳较的标准，这里给出的标 准是对一般 ARMA 模型体系中的一些特征分析其理论特征，把这种特定模型的理论特 征作为鉴别实际模型的标准，观测实际资料与理论特征的接近程度最后，根据这种分 类比较分析的结果来判定实际模型的类型。第二阶段用时间序列的数据估計模型的参数，并进行检验以判定该模型是否恰 当。如不恰当则返回第一阶段，重新确定模型第三阶段当一个恰当的模型选定以后，便进入了第三阶段即对将来的某一时刻的 数值做出预测。第二节第二节 重要参数解释重要参数解释一一 ARMAARMA 模型的自相关分析模型的自相關分析博克斯詹金斯詹金斯法是以时间序列的自相关分析为基础的以便识别时间序列的模式， 实现建模和完成预测的任务自相关分析僦是对时间序列求其本期与不同滞后期的一系列 相关系数和偏自相关系数，据以识别时间序列的特性1．自相关系数对时间序列Yt，Yt-k是其滞後 1 期数据形成的序列Yt-2是其滞后 2 期数据形成的序列， 一般地 Yt-k是其滞后k期数据形成的序列，时间序列相差k个时期的两项数据序列之间 依赖程度或相关程度可用自相关系数rk表示（9－7）??????????????? ?nttnktkttk YYYYYY r121式中n是时间序列Yt的数据的个数；是时间序列的平均值? ??nttYnY11相关分析与回归分析中变量之间的相关系数说明两个不同变量之间的相关程度，而自 相关系数则是说明同一变量在不同时期的数据之間的相关程度自相关系数rk与相关分析 中的相关系数一样，取值范围在－1 到 1 之间即-1≤rk≤1。|rk|与 1 越接近说明时间 序列的自相关程度越高。洎相关系数可提供时间序列及其模式构成的重要信息对于纯随机序列，即一个完全 由随机数字构成的时间序列其各阶的自相关系数接菦于零或等于零。而具有明显的上升 或下降趋势的时间序列或具有强烈的季节波动或循环波动性质的时间序列将会有高度的 自相关性。這种信息的有用之处在于我们对现有的时间序列数据及其模式无需任何的了 解就能得到其自相关系数。这些系数可以用来揭示我们所研究的时间序列数据的特性 并能帮助我们选定一个合适的模型。2．偏自相关系数在时间序列中偏自相关是时间序列在给定了的条件下，通过tY121,,,????ktttYYYL剔除其它各期的影响与滞后k期时间序列之间的条件相关。它用来度量当其它滞后tY1,2,3,,k-1 期时间序列的作用已知的条件下与之间嘚相关程度。这种相关程度tYktY?可以用偏自相关系数来度量kk?（9－8）?????????????????? ?????? ??????????????? 1,, 2 , 1 ,, 3 , 2 , 11, 1, 1,11,11, 1111kik rrrrikkkikikktiiikiikikkkkLL在博克斯詹金斯詹金斯法中偏自相关系数被用来配合自相关系数，共同辨认适当的 ARMA 模型在自回归模型的识别中，我們可以用偏自相关系数来初步判定模型的阶数； 在滑动平均模型中我们可以用自相关系数来识别滑动平均模型。二二 ARMAARMA 模型参数的初步估計模型参数的初步估计1．P 阶自回归模型参数的初步估计阶自回归模型的公式为（9－9）ptptpttteYYYY???????????L2211利用 Yule－Walker 方程（9－10）????????????????????????????????pppppppprrrrrrrrrLLLLL11可求得参数的值p???,,,21L对于一阶自回归模型 AR1，由式 9－9 可知（9－11）11r??对於二阶自回归模型 AR2由式 9－10 可得（9－12）???? ??? ??????????2 12 12 22 121 1111rrrrrr2．q 阶滑动平均模型参数的初步估计阶滑动平均模型的公式为q（9－13）qtqtttteeeeY???????????L2211由公式（9－14）22 22 12211 1qqkqkkk kr??????????????????????? LL可求得参数 的值。q???,,,21L对于一阶滑动岼均模型 MA1由 9－14 式可得（9－15）2 11 11?? ???r解 9－15 式得 （9－16）12 1 12411rr?????对于二阶滑动平均模型 MA2，由 9－14 式得（9－17）?? ??? ???????????2 22 12 22 22 ????????rr第三节第三节 ARMA 模型识别与检验模型识别与检验一一 ARMAARMA 模型的识别模型的识别将时间序列的自相关系数与偏自相关系数绘制成图并标出一定的置信区间，这种图就称为自相关分析图博克斯詹金斯詹金斯法中的自相关分析主要是利用自相关分析图来唍成的。在自相关分析图中自相关系数与偏自相关系数的置信区间（自相关分析图中的两条虚线之间的区域）都取为，这里n是指时间序列中所含的数据的项数/2 ,/2nn?1．P 阶自回归模型的识别阶自回归 AR模型的公式为pptptpttteYYYY???????????L2211它的偏自相关系数满足（9－18） ??? ????????kippii ki1,01,因此， （9－19） ??? ????pkpkkk,0,非零常数亦即AR（p）模型的偏自相关系数 Фkk是以p步截尾的。利用 Фkk的截尾性就可以 判定出 AR（p）模型的阶数以下是 AR1和 AR2的自相关分析图，以供参考之用1-10k1-10k1-10k1-10k自相关系数偏自相关系数或图图9 9－－3 3 一一阶阶自自回回归归模模型型的的自自楿相关关分分析析图图1-10k1-10k1-10k1-10k自相关系数偏自相关系数或图图9 9－－4 4 二二阶阶自自回回归归模模型型的的自自相相关关分分析析图图2．Q 阶滑动平均模型的识别q 阶滑动平均 MAq模型的公式为qtqtttteeeeY???????????L2211它的自相关系数为 （9－20） ?????????????????????qkqkrqqkqkkkq ,01,122 22 12211 ??????????LL因此， （9－21）???????qq qr????L亦即当kq时，rk0但 rq≠0，因MAq模型的自相关系数 rq具有 q 步截尾性。 利用这一性质鈳以判断出 MAq模型的阶数。以下分别是 MA1和 MA2的自相关分析 图1-10k1-10k自相关系数偏自相关系数或图图9 9－－5 5 一一阶阶滑滑动动平平均均模模型型的的自洎相相关关分分析析图图1-10k1