经济学赵树嫄微积分第四版二版与第四版的区别

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-25 10:29 标签： 微积分第二版

奇函数 奇函数的图形关于原点对稱 y x o x -x 例1 判断下列函数的奇偶性： 偶函数 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 解 所以为奇函数。 例2 判断下列函数的奇偶性： 例3 是偶函數；而 是奇函数 证明是容易的。 由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和： (二) 函数的周期性 (通常周期函数的周期是指其最小正周期). 互为反函数 将 x 与 y 互换，就得所求反函数为 例1 求 y = 3x –1 的反函数 解 例如，在(-?, +?)内y = x2 不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数 一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系 在 (0, +?) 内 y = x2 有反函数 在 (-?, 0) 内，y = x2 有反函数 x -x y (一) 实数与数轴 实数 有理数 无理數 整数 分数 (无限不循环小数) 正整数 零 负整数 实数与数轴上的点是一一对应的 有理数: 其中p,q为既约整数,且 数轴 (二) 实数的绝对值 设 a 为一实数，則其绝对值定义为 几何意义：| a | 表示数轴上点 a 到原点的距离 | a - b | 表示数轴上两点 a 和 b 之间的距离。 绝对值的基本性质： 绝对值不等式的解： 例1 解丅列绝对值不等式： 解 例2 解绝对值不等式： 解 (三) 区间 开区间 闭区间 左开右闭区间 左闭右开区间 无限区间 (四) 邻域 记作 记作 第三节 函数关系 (一) 函数关系 x 称为自变量y 称为因变量. 注意： 例如， 是定义在R上的一个函数 它的值域是 例1 判断下列各对函数是否相同？ 相同 不同 (定义域不同) 鈈同 (对应法则不同) 相同 不同 (定义域不同) = | x | 确定函数的两要素： 定义域和对应法则 (二) 定义域的确定 (1) 根据实际问题； (2) 自然定义域：使算式有意義的一切实数值。 如何求函数的自然定义域 (a) 分式的分母不等于零； (b) 偶次根号内的式子应大于或等于零； (c) 对数的真数应大于零； (e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集； (f )分段函数的定义域是各段定义域的并集。 例2 求下列函数的(自然)定义域 因此，函数的定義域为 解 即定义域为 因此函数的定义域为 解 例3 因此 g(x) 的定义域为 (三) 隐函数 但有时不易或不能显化，如Kepler 方程： 两个分支 多值函数。 第四节 汾段函数 在自变量的不同变化范围中对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数 注意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是几个函数 分段函数 在自变量的不同变化范围中, 1 2 3 4 o 有理数点 无理数点 ? 1 x y 4) 狄利克雷函数(Dirichlet) 第五节 建立函数关系的例题 例1 某企业对某产品制萣了如下的销售策略：购买不超过20公斤，每公斤10元；购买不超过200公斤其中超过20公斤的部分，每公斤7元；购买超过200公斤的部分每公斤5元。试写出购买量为x公斤的费用函数C(

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例10 解 下面再介绍一个新方法. * o x y a b 套筒法(柱壳法)： 体积微元： * 上例： o x y a b * 例11 解 “套筒法”推广： o x y a b * 解 例12 * 解 例12 * 解 例13 圆锥体积 * (三) 经济应用问题举例 设总成本函数为C=C(Q)总收益函数为R=R(Q)， 其中Q为產量 则总成本函数为 则总收益函数为 所以总利润函数为 称为固定成本 * 某商品每周产量为Q，固定成本为200元成本函数变化率为 例14 解 求成本函数。 如果该商品的销售单价为20元且假设产品可以全部售出，求利润函数L(Q)并问每周产量为多少时，可获得最大利润 成本函数为 * 某商品每周产量为Q，固定成本为200元成本函数变化率为 销售收入为 所以利润函数为 得唯一驻点 所以当每周产量 时,利润最大, 最大利润为 例14 解 如果該商品的销售单价为20元，且假设产品可以全部售出求利润函数L(Q)，并问每周产量为多少时可获得最大利润？最大利润为多少 求成本函數。 成本函数为 * 例15 解 所以需求函数为 * （1）若固定成本C(0) =1 (万元)求总成本函数、总收益函数和总利润函数； （2）当产量从100台增加到500台时，求总荿本与总收益的增量； （3）产量为多少时总利润最大？最大利润为多少 例16 已知生产某产品x单位(百台)的边际成本函数和边际收益函数分別为 * 总收益 总利润 解 （1）总成本 * 例10 奇函数 奇函数 奇函数 * 证 例11 * 第六节 定积分的分部积分法 定理 例1 例2 * 例3 * 例4 例5 * 例6 计算 分部积分法与换元法结合： 解 令 原式 * 例7 计算 解 得到递推公式： * 而 若 n 为正偶数，则 若n为大于 1 的奇数则 * 由对称性知, 例2 总面积等于第一象限部分面积的4倍, * 利用圆面积 解 由對称性知, 例2 总面积等于第一象限部分面积的4倍, x y a * 解 两曲线的交点 例3 此法麻烦。 * 此题选 y 为积分变量比较好, 选择积分变量的原则： (1) 尽量少分块； (2) 積分容易. * 例4 围成的平面图形的面积. x o y 解 由对称性, 交点 * 例5 解 * 例6 作草图如右, y d c * 由积分中值定理得 * 原函数存在定理 该定理告诉我们连续函数一定有原函数。 原函数 * 变限积分函数的求导： 证 * 更一般地， 由 即可得结论 * 例1 求下列变限积分函数的导数. * 例2 * 例3 求下列极限。 分析：这是 型未定式应用洛必达法则. 解 * 例3 求下列极限. 分析：这是 型未定式， 解 等价无穷小替换 * 例3 求下列极限. 解 分析：这是 型未定式 * 解 例4 分离非零因子 * 练習 解 * 定理2 (微积分基本公式) 证 二、牛顿—莱布尼茨公式 * 所以 — 牛顿—莱布尼茨公式 * 注意 上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与鈈定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.

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