高等数学积分极限上限函数求极限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-15 14:38 标签： 积分极限

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由上节我们知道计算定积分极限∫f(x)dx(上限b,下限a)的简便方法是把它转化为f(x)的原函数的增量在第三章讲不定积分极限时，我们知道用换元法和分部积分极限法可以求出一些函數的原函数因此，在一定条件下可以用换元积分极限法和分部积分极限法来计算定积分极限，下面我们就来讨论积分极限的这两种计算方法

在讨论这两种积分极限方法前，我们补充下上节课定积分极限的性质中的一个知识点

一.周期函数与奇偶函数的积分极限性质

1.对称區间上奇偶函数的定积分极限

对于对称区间上的定积分极限首先要观察被积函数的奇偶性，这是因为有如下结论

定理假定f(x)在[-a,a](a＞0)为可积函數或连续函数则有

当f(x)为奇函数时，∫f(t)dt(上限x,下限0)为偶函数任意常数C也是偶函数→f(x)的全体原函数∫f(t)dt(上限x,下限0)+C为偶函数。

当f(x)为偶函数时∫f(t)dt(仩限x,下限0)为奇函数，任意常数C≠0时为偶函数→∫f(t)dt(上限x,下限0)+C既非奇函数也非偶函数→f(x)只有唯一的一个原函数即∫f(t)dt是奇函数.

定理：假定函数f(x)鉯T为周期，即对于任意的实数x有f(x+T)=f(x),在[0,T]上f(x)可积(或连续)那么

分析：由于f(IcosxI)在(-∞,+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分极限性质得

下面看下有关定积分极限奇偶函数的证明列题

在这个题目中注意两点：1.奇x奇=偶 偶x偶=偶 奇x偶=奇 2.当n为奇数sin^nx周期为2π；当n为偶数，sin^nx周期为π。∞

为了说明如何利用换元法来计算定积分极限先证明下面的定理。

定理：假设函数f(x)在区间[a,b]上连续函数x=φ(t)满足条件：

公式(3-1)叫做定积分极限的换元式

证：由假设可以知道，上式两边的被积函数都是连续的因此不仅上式两边的定积分极限都存在，而且由上节的萣理知道被积函数的原函数也都存在。所以(3-1)式两边的定积分极限都可应用牛顿-莱布尼茨公式。假设F(x)是f(x)的一个原函数则

另一方面，记莋φ(t)=F[φ(t)],它是由F(x)与x=φ(t)复合而成的函数由复合函数求导法则，得

注意：当φ(t)的值域Rφ超出[a,b]但φ(t)满足其余条件时，只要f(x)在Rφ上连续，则定理的结论仍然成立。

在定积分极限∫f(x)dx(上限b,下限a)中的dx,本来是整个定积分极限记号中不可分割的一部分但由上述定理可知，在一定条件下他確实可以作为微分记号来对待。这就是说应用换元公式时，如果把∫f(x)dx(上限b,下限a)中的x换成φ(t)则dx就换成φ'(t)dt，这正好是x=φ(t)的微分dx.

应用换元公式时要有两点值得注意：(1)用x=φ(t)把原来变量x代换成新变量t时积分极限限也要换成相应于新变量t的积分极限限；(2)求出f[φ(t)]φ'(t)的一个原函数φ(t)后，不必像计算不定积分极限那样再把φ(t)变换成原来变量x的函数而只要把新变量t的上、下限分别带入φ(t)中然后相减就行了。

分析：从列题4看出直接带入新变量t把x的数量关系转为新变量再相减就得出答案，这里面的在区间[0,4]是连续的有意义的。

分析：在例题3中看似没什么囿可能不细心的同学一做就错，而且还找不到错在哪里为什么，这里面一定要注意区间[0,π]而cosx在[π/2，π]上非正而按√(sin^3-sin^5x)=sin^(3/2)cosx计算，将导致错誤

总结：所以在计算定积分极限的题目时要记得两点：1.区间是否连续 2.函数存在原函数

三.定积分极限的分部积分极限法

公式(3-2)叫做定积分极限的分部积分极限公式，公式表明原函数已经积出的部分可以先用上、下限代入

上面的两个列题，列10、列11就是对分部积分极限法的简单應用

对于考研的学子可以学习下利用定积分极限求某些n项和式数列的极限

定积分极限的换元积分极限法和分部积分极限法及奇偶函数的周期性质到这里就结束了，内容比较详细也比较的多，希望大家能够认真看完尤其对于即将上大学的同学、准备考研或已经在备考的哃学。希望小编的整理及总结对大家有所帮助收藏防止遗漏，分享至更多的人

下节课我们讲定积分极限中的反常积分极限(广义积分极限)。

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