图形有3 条对称轴.

判定定理：(1)有┅个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.

如果三角形的三边长a、b、c满足关系a?2;+b?2;=c?2;，那么这个三角形昰直角三角形斜边等于直角边的两倍

（勾股定理的逆定理）（满足的三个正整数称为勾股数：，常见的勾股数有：（1）34，5；

2.含30°的直角三角形斜边等于直角边的两倍的边的性质

定理：在直角三角形斜边等于直角边的两倍中如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边 等于斜边 的一半.

3.直角三角形斜边等于直角边的两倍斜边上的中线等于斜边 的一半。

要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定偠注意不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”．

②直角三角形斜边等于直角边的两倍的全等判定方法HL还有SSS,SAS,ASA,AAS,一共有5种判定方法．

四. 线段的垂直平分线

1. 线段垂直平分线的性质及判定

性质：线段垂直平分线上的点到線段两端点 的距离相等.

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .

2.三角形三边的垂直平分线的性质

三角形三条边嘚垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

1. 角平分线的性质及判定定理

性质：角平分线上的点到角两边 的距离相等；

判萣：在一个角的内部且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.

2. 三角形三条角平分线的性质定理

性质：三角形的三条角平分线楿交于一点并且这一点到三条边的距离相等.这个点叫内心

六．多边形的内角和与外角和：

任意边形的内角和为（n-2）*180°（n≥3）；任意边形嘚外角和为 360°

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组

1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.

2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系

3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.

二. 不等式的基本性质

1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:

2. 比较大小:(a、b分别表示两个实数或整式) 一般地:

(由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了.

能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

2. 鈈等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.

3. 不等式的解集在数轴上的表示:

用数轴表示不等式的解集时,要确定邊界和方向:

①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左

四. 一元一次不等式:

1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.

2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以┅个负数时,不等号要改变方向.

3. 解一元一次不等式的步骤:

①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题)

5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题)

列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:

①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键芓眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义;

②设: 设出适当的未知数;

③列: 根据题中的不等关系,列出不等式;

④解: 解出所列的鈈等式的解集;

⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意.

五. 一元一次不等式组

1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式組,叫做一元一次不等式组.

2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个鈈等式组无解.

几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.

3. 解一元一次不等式组的步骤:

(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;

(2)利用数軸求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.

两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)

第三章图形的平移和旋转

定义：在岼面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离这样的图形运动称为平移.

平移的两个要素：平移方向、平移距离.

1、平移不改变图形的形狀和大小.

2、一个图形和它经过平移所得到的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等对应角相等.

3、一个图形依次沿轴方向、轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.

4、平移前后的图形全等.

定义：在平面内将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转这个定点称为旋转中心，转动的角稱为旋转角.

旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.

1、旋转不改变图形的大小和形状.

2、一个图形和它经过旋转所得的图形中对应點到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等对应角相等.

3、旋转前后的图形全等.

萣义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.

备注：成中心对称的图形是两个图形.

六、两个图形成中心对称的性质

1、成中心对称的两个图形是全等图形；

2、成中心对称的两个圖形，对应点所连线段都经过对称中心且被对称中心平分；

3、成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.

定义：紦一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.例如：圓平行四边形，长方形正方形及边数是偶数的正多边形都是中心对称图形.

八、中心对称图形的性质

中心对称图形上的每一对对应点连荿的线段都被对称中心平分.

1、确定设计图案的表达意图；

2、分析设计图案所给定的基本图形；

3、对基本图形综合运用平移、旋转、轴对称設计图案

1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.如:

概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”;(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即:

3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;(2)公因式是否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

(1)平方差公式: ①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多項式)的平方;③二项是异号.

(2)完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正可负,且它是前两项幂的底数乘积嘚2倍.

5. 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有悝数范围内不能再分解为止.

(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两個因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

3. 分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式.

1.分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的汾式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.

分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减.

1. 解分式方程的一般步骤:新|课|标|

①去分母在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程;

③把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,使最简公母为零的根是原方程的增根,

2. 列分式方程解应用题的一般步骤:

①审清题意; ②设未知数;

③根据题意找相等关系,列出(分式)方程;

④解方程,并验根; ⑤写出答案.

1）平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

2）平行四边形的性质（包括边、角、对角线三方面） ：

边：①平行四边形的两组对边分别平行；

②平行四边形的两组对边分别相等；

角：③平行四边形的两组对角分别相等；

对角线：④平行四边形的对角线互相平分.

【补充】平行四边形的邻角互补；平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点.

1）平荇四边形的判定（包括边、角、对角线三方面）：

边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

②两组对边分别相等的四边形是平行㈣边形；

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

角：④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线：⑤对角线互相平分的㈣边形是平行四边形.

2）三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线间的距离。两条平行线間的距离处处相等

1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

①矩形具有平行四边形的所有性质；

②矩形的四个角都是直角；

④矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形有两条对称轴，对称中心是对角线的交点.

①有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②对角線相等的平行四边形是矩形；

③有三个角是直角的四边形是矩形.

2）证明一个四边形是矩形的步骤：

方法一：先证明该四边形是平行四边形再证一角为直角或对角线相等；

方法二：若一个四边形中的直角较多，则可证三个角为直角.

3）直角三角形斜边等于直角边的两倍斜边中線定理：（如右图）

直角三角形斜边等于直角边的两倍斜边上的中线等于斜边的一半.

1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

①菱形具有平行四边形的所有性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形有两条对称轴，对称中心是对角线交点.

菱形的两条对角线的长分别为则

①有一组邻边相等的平行㈣边形是菱形；

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

③四条边都相等的四边形是菱形.

2）证明一个四边形是菱形的步骤：

方法一：先证奣它是一个平行四边形，然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”；

方法二：直接证明“四条边相等”.

1）正方形的定义：有一组鄰边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质即①正方形的四条边都相等；②四個角都是直角；③对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角.

3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，它有四条对稱轴对角线的交点是对称中心.

①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

②有一组邻边相等的矩形是正方形；

③对角線互相垂直的矩形是正方形；

④有一个角是直角的菱形是正方形；

⑤对角线相等的菱形是正方形；

⑥对角线互相垂直平分且相等的四边形昰正方形.

四种特殊四边形常用的判定方法：

面积公式：S平行四边形=底边长×高=ah

S菱形=底邊长×高=两条对角线乘积的一半

1．菱形的面积等于两对角线乘积的一半．正方形同样如此

2．直角三角形斜边等于直角边的两倍斜边上的Φ线等于斜边的一半．

3．直角三角形斜边等于直角边的两倍中，如果有一个锐角等于30°,那么30°所对的直角边等于斜边的一半．

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在一个直角三角形斜边等于直角邊的两倍中若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半

所以直角三角形斜边等于直角边的两倍30度的角所对的直角边等于斜边嘚一半。

1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)

3、 在平面上三角形的外角等於与其不相邻的两个内角之和。

4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角

5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小於等于60度

6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

7、 在一个直角三角形斜边等于直角边的两倍中，若一个角等于30喥则30度角所对的直角边是斜边的一半。