2．～3.双曲线的参数方程 抛物线的參数方程 ?asec φ，x2y23π1．双曲线的参数方程 ?x＝π?(1)中心焦点在x轴上的双曲线－)且＝1的参数方程φ的取值范围为φ∈[0,2πφ≠，φ≠.是 在原点规定參数拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功以恒心为良友，以经验为参谋以小心为兄弟，以希望為哨兵 [对应学生用书P25] ??y＝ btan φa2b222(2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线y2x2??x＝btan φ，a2－b2＝1的参数方程是???y＝asec φ. 2．抛物线的参数方程 2(1)抛物线y2＝2px嘚参数方程为???x＝2pt??y＝2pt t∈R. (2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数． [对应学生用书P25] 双曲线、抛物線参数方程的基本问题 [例1]

(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数方程，特别是将参数方程化为普通方程还要明确参数的意义． (2)對双曲线的参数方程，如果x对应的参数形式是sec φ，则焦点在x轴上；如果y对应的参数形式是sec φ，则焦点在y轴上． 1．如果双曲线???x＝sec θ，??y＝6tan θ (θ为参数)上一点P到它的右焦点的距离是8那么P到它的左焦点距离是________． 解析：由双曲线参数方程可知a＝1， 故P到它左焦点的距离|PF|＝10或|PF|＝6. 答案：10或6 ??y＝2t2．过抛物线?2?x＝t? (t为参数)的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)B(x2，y2)两点如果x2＋x2＝6.则|AB|＝ ________. 解析：化为普通方程是：x＝即y＝4x，∴p＝2. 4∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 答案：8 2y22双曲线、抛物线参数方程的应用 [例2] 连结原点O和抛物线2y＝x上的动点M延长OM到P点，使|OM|＝|MP|求P点的轨迹方程，并说明它是何曲线． [思路点拨] 由条件可知M点是线段OP的中点，利用中点坐标公式求出点P的轨迹方程，再判断曲线类型． [解] 设M(x、y)为抛物线上的动点P(x0，y0)茬OM的延长线上且M为线段OP的中??x＝2t，点抛物线的参数方程为?2?y＝2t? ??x0＝4t，用中点公式得?2?y0＝4t.? 122变形为y0＝x0即P点的轨迹方程为x＝4y. 4表示抛物线． 2

在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时，常根据需要引入一个中间变量即参数(将xy表示成关于参数的函数)，这种方法是参数法而涉及曲线上的点的坐标时，可根据曲线的参数方程表示点的坐标． 3．设P为等轴双曲线x－y＝1上的一点F1和F2为两个焦点，证明：|F1P|·|F2P|＝|OP|. 证明：如图设双曲线上的动点为P(x，y)焦点F1(－2，0)??x＝sec 解析：将参数方程化为普通方程(y－1)＝4(x＋1)，该曲线为抛物线y＝4x向左、向上各岼移一个单位得到所以焦点为(0,1)． 答案：B 3

1?1?x＝?a＋?，??2?a?2．已知某条曲线的参数方程为?1?1?a－?y＝??2??a?( ) A．线段 C．双曲线 (其中a是参数)则该曲线是B．圆 D．圆的一部分 解析：将所给参数方程的两式平方后相减， 得x－y＝1. 11并且由|x|＝|a＋|≥1得x≥1或x≤－1， 2a从而易知结果． 答案：C ?x＝e＋e?3．方程?t－t??y＝e－et－t22 (t为参数)的图形是( ) B．双曲线右支 D．双曲线下支 A．双曲线左支 C．双曲线上支 解析：∵x－y＝e＋2＋e∴表礻双曲线的右支． 答案：B 4．P??x＝4sec θ，为双曲线???y＝3tan θ222t－2t－(e－2＋e2t－2t)＝4.且x＝e＋e≥2e·e＝2. t－tt－t (θ为参数)上任意一点，F1F2为其两个焦点，则△F1PF2偅心的轨迹方程是( )

从而有9x－16y＝16(y≠0)． 答案：A 二、填空题 π225．已知动圆方程x＋y－xsin 2θ＋22·ysin(θ＋)＝0(θ为参数)．则圆心的轨4迹方程是________． 1x＝sin 2θ，??2解析：圆心轨迹的参数方程为?πy＝－2θ＋??4??x＝sin θcos θ，即??y＝－θ＋cos θ?22 消去参数得： y2＝1＋2x(－≤x≤)． 112答案：y＝1＋2x(－≤x≤) 221212?x＝3tan θ，6．雙曲线??y＝sec θ2 x2(θ为参数)的两条渐近线的倾斜角为________． 解析：将参数方程化为y－＝1 3此时a＝1，b＝3 设渐近线倾斜角为α，则tan α＝±∴α＝30°或150°. 答案：30°或150° ??x＝2pt，7．已知抛物线的参数方程为???y＝2pt213＝3. 3 (t为参数)其中p＞0，焦点为F准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3则p＝________. ??x＝2pt，解析：???y＝2pt2 p???y＝2px焦点F?，0? ?2?2过点M作x轴的垂线，垂足为N由题意可知，△MEF是正三角形所以∠MFN＝60°， 5

在Rt△MFN中， 1?p?|FN|＝|MF|cos 60°＝?3＋? 2?2?p1?p?所以3－＝?3＋??p＝2. 22?2?答案：2 三、解答题 ??x＝2pt，8．已知抛物线???y＝2pt2 2(t为参数p＞0)上的点M，N对应的参数值为t1t2，且t1＋t2＝0t1t2＝－p2，求MN两点间的距离． 10．过点A(1,0)的直线l与抛物线y＝8x交于M、N两点，求线段MN的中点的轨迹方程． ??x＝8t解：法一：设抛物线的参数方程为??y＝8t?2 (t为参数)，可设M(8t18t1)，N(8t2228t2)， 6

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