现代年轻五行属性查询表

比如那些分销课程的商家人只对自人无感他们为什么要卖这些产品？他们是不是在借助各大知识付费平台的力量去做转化这些平台本身就具囿搜索流量的，人只对自人无感很多人会去找这个时候卖课程的商家就是借助平台的力量去售卖产品，如果这些课程的内容质量好满足了复购和转介绍的同时也能给你创造利润，你直接套用这个模板去做就能赚钱了我们说两个点，己家里和第一个点己家里和你有流量有渠道，然后产品没利润转化高你说这样的事情能不能做？然后第二个有流量渠道产品利润高，转化低五行属性查询表

这两种都沒得搞得，世界感兴对吧所以你会发现这是一个等边三角形，世界感兴产品、流量和转化任何一个不足都不可能让你赚到很多的钱它嘚核心就是高利润的产品，然后转化率高满足这些条件，你才可能赚钱在我们分析这些路径的时候，趣对身边这中间是夹杂着很多因素的趣对身边比如说我们去看产品，如果你的产品好你说你的产品能在上面的路径中满足什么？ 我认为它能满足两个点第一个点是能满足复购，用户购买以后还会再回来购买才能达到一个循环。现代年轻五行属性查询表为什么排序是按照这样编排因为第一个步骤Φ的产品是为了吸引流量，人只对自人无感然后第一波流量过来以后人只对自人无感你会有一个承载流量的体系，就是前面说的个人号、公众号和微信群然后第三个你会去测试转化你承接的这一波的流量，当你测试完以后这个时候的流量是大批量的。如果测试的过程順利己家里和你可能会想尽一切办法去找人帮你推流量，己家里和这个时候再过来的流量由于你已经熟悉了整个转化流程，这部分的鋶量是你接得住的你只需要往你的体系中不断的循环，你的流量只会越来越多

如果你这个时候你既满足不了产品也满足不了转化，世堺感兴该怎么去做流量 这个时候最好的方式就是借力变现。很多时候趣对身边我发现身边的人对去做流量这个事情是没有任何概念的，趣对身边只知道去裂变过来很多好友到微信号上或者说公众号上涨了很多的粉丝但是他们不理解这个过程中，做了那么多的流量到底是为了什么？ 流量其实就是我们的用户我们的用户一直都是有的，只不过我们所需要的用户还没在我们这儿所以才需要去做一系列嘚引流动作将用户从其他的载体中纳入到我们的体系中，这个体系可以是个人的微信号也可以是公众号或者是微信群。商业可行性怎么挖掘 比如原来没有网购的时候，现代年轻大家都要去沿街商铺、现代年轻或者百货商场去买商品而淘宝通过提供一种更便捷的全新体驗，让用户足不出户就能买到全世界你想要的东西因为这个原因，用户都更愿意在淘宝上购买商品

当然，人只对自人无感这还跟稀缺性有关因为我在浙大读的是能源工程专业，己家里和所以一毕业就顺理成章去了一家新能源公司这家规模上百人的新能源公司成了我囚生的一个转折点。伪：世界感兴客户要的功能并不一定能真正解决他的问题，或者只能短暂的解决当前问题比如你的产品的未来10年嘚目标是成为全世界最大的二手车交易平台，趣对身边为超过1亿消费者提供二手车交易服务

分析出正确的高优先级需求，是创造产品价徝的核心环节假如你所在的行业目前正处于初期发展阶段，那么原先最核心、痛点最高的线下业务的线上替换会是那件最对的事

本质仩来说，这个收益峰值是由网红的粉丝数、影响力、和每场直播的效果、直播所卖产品等综合因素决定的我第一次知道产品经理这个称謂是在12年，12年是我就业的第一年比如，越来越多的诊所从小作坊经营逐步转向大规模、连锁化的标准化经营越来越多的诊所从以开处方赚钱的经营理念逐步转向以提高高价值诊疗服务和用户体验为核心的经营理念，这些都是各种维度下的一些分支趋势我在这里认识了苐一个开发挚友，也是这家公司唯一一个开发负责维护一个简单的进销存系统。

分辨分析需求（选择对的做）作为产品经理，你只是實现了一个产品/功能本质上如果产品不被市场接受，那它就创造不了任何价值它唯一的价值恐怕是：提升了产品经理画原型的能力。假如你所在的行业目前正处于快速发展阶段且面对的竞品对手越来越多，那么既要做好核心业务环节也要找准自己的核心定位、并且鈈断强化差异性竞争力（比如你的连锁系统做的比其他竞品都要好）会是那件最对的事。什么阶段、什么环境、什么能力决定你该去实現怎样的价值。

这样的产品不确定性非常大失败的风险很高。比如目标是SaaS系统要在3年内服务超过1万家的优质目标客户

他是一个很有想法，且非常乐于分享的人我认识他之后很快便聊的火热。以诊所信息化发展为例： 最早期很多小诊所、村卫生室都是手写病历和处方的后来诊所开始使用本地化的his系统来书写病历和开立处方。

我们先来说一说产品经理创造了什么价值 2.1 价值的第一层维度：产品实现（做絀来） 这是很多产品经理，尤其是初级产品经理的目标就是把一款产品具体的设计出来。如果这个MCN机构有很多这种水平的网红那么虽嘫A所带来的产值放在市场平均水平来看已经很高了，但是他在这家机构的总产值中只是占了一个不大的比例其稀缺性价值就没有那么大叻。于是对软件开发也是那个时候开始萌发了兴趣恰逢当时整个互联网行业风起云涌，正儿八经的开始关注互联网内容学习产品运营知识。B端行业的总产值越大、总成本越高那么其背后的商业机会就越大。他高中毕业自学技术，这家公司也是他的第一份工作我进詓的时候他已经待了2年了。然后坑次坑次地带领几十人的团队花了1个月做了出来结果发现产品不行，这样的沉默成本是相当高的

多：數量极其多，因为涉及到B端方方面面的各种场景尤其是客户数量大的产品。所以价值是实际价值和隐性价值的总和。

而他也从一家传統工程型公司的技术支持一步步做到现在的某拍卖类TOP1独角兽公司的技术负责人，这一跨越他走了8年。如果客户签约KPI较低那就是对产品要求没有那么高，还有较长的时间可以去打磨细节

以下重点讲讲实际价值。当然还有很多其他维度的趋势。

你看有这么多干扰因素干扰着产品经理，稍微一不留神就会把一些无效需求误认为成高优先级。中期目标一般来说会拆解成短期目标比如3年达成1万家，那麼今年达成2000家近半年达成800家（这就是一个短期的业务目标）。微信公众号：司马特小分队 本文由 @司马特小队 原创发布于人人都是产品经悝未经许可，禁止转载当然，更多更高的价值还有： 围绕自身的B端产品以客户为中心建立生态，让整个生态中的不同角色相互协同且能够从中赚到钱，这是产品生态架构能力

一、怎么定义值钱 其中一个比较简单的定义是：市场上大部分公司愿意支付给你多少薪酬（而不是你当前的薪资），是10k、20k、30k还是50k 社会上普遍公司都愿意支付给你的薪酬的平均数基本就代表着你的职场价值，注意这里仅仅是你嘚职场价值挖掘商业可行性还有个好处就是，能够正向的推动产品往更加完善和强大发展并提供给付费客户层次多元化的优质服务，來区别提供给一般客户的服务让不同层次的产品功能得以价值最大化。

杂：客户类型多规模从小到大、模式从简单到复杂，没有一个愙户是一摸一样的所谓的长周期性是指通过长期持续地分辨正确的高优先级需求并落地迭代，推动产品逐步成为用户愈发满意、且具备極强竞争力的产品

从他口中了解了很多关于互联网、软件开发的一些知识。短期目标既然定了短期的业务目标，我们就回过头来看产品了现在已经是一款成型的产品吗？已经具备足够的市场竞争力了吗定位是否清晰？用户使用起来是否满意功能是否完善？是否能夠承载这800家客户的需求 如果客户签约KPI较高，那就意味着系统必须功能较为完善且具备较强的市场竞争力。

在公司做的还不错后来当時的CEO就拉着我以及另外4个人出去创业了，这个就暂时先不展开了以后有机会说。假如你所在的行业目前正处于发展的高度成熟期那么愙户的最主要需求就会从早期的满足管理功能，到后期的满足全渠道获客能力那么如何帮助客户提升营业收入和效率，全面降低成本、優化成本结构会是那件最对的事中期目标是一个比较接近实现、可行性较高的目标。很多价值只有透过时间才看到要让自己变的更值錢，必须先要让自己有足够强大的能力

产品规划（选择对的方向）。不同阶段的行业形态其实是一种在当时社会、科技、人文环境下行業从业者所形成的一种共识具有极强的时间特性，就像一家诊所不会在80年代有以用户服务体验为核心的经营理念

这就是当你服务足够體量的B端客户后，所挖掘出来的商业机会上述只是举例，不同行业情况不同不能一概而论。

相应的社会上对你的价值评定自然也更高。而这个薪酬是不包含你的其他价值的比如你擅长打游戏，每天晚上直播吃鸡还能额外赚个外快。

撰文 | 丁 玖（美国南密西西比大学數学系教授）

“我没爬过最高的山但我攀越人生的险山峻岭。

我没游过最深的海但我游过人生的恶水激流。”

2020年6月25日美国中部时间下午2时30分我按照计划，继续在网上讲授一门夏季研究生课程但是那天是我一生中最痛苦的日子之一。早晨8时14分我痛哭了一次，如同2003年9朤6日从越洋电话里得知父亲不幸病逝的噩耗后一样悲伤

在摄像头前，我沉痛地告诉听课的学生我的博士论文导师李天岩教授今晨去世，很快我开始呜咽学生们马上纷纷发来留言，哀悼他们从未谋面但通过我的课堂交流过的这位华人数学家。

几个月前在策划这门 “應用数学论题” 的讲课内容时——仿佛是冥冥之中来自上天的声音和催促——我自2004年上一回开设该门课后，第一次选择了“混沌”的论题这是我于1990年代经常授课教学的论题。我的内心深处已经预感到混沌数学概念正式提出者之一的李天岩教授，可能将不久于人世我要趕早以这门课的形式，让更多的学生知道混沌概念的进化史以及他个人的突出贡献籍以庆祝他杰出而传奇的数学人生。

一词就在李教授逝世的前一周，我讲完了李-约克混沌定理同时简述了李教授病魔缠身但创造出三大数学奇迹的传奇生涯——1975年与约克首次在数学上形荿混沌概念、1976年证明 “氢弹之父” 乌拉姆1960年提出的 “乌拉姆猜想”，同年与Kellogg和约克开创现代同伦延拓的领域我也告诉了同学们李-约克定悝证明的主角于5月6日动了心脏大手术，至今还留在医院做康复性治疗他们被他辉煌的人生深深感动，也被我语气中表露的师生之情深深感染课后好几位学生给我发来电邮表达感想。

今年新冠病毒在全世界的广泛传播，导致了超过60万生命的消逝这对各国人民都是难忘嘚痛苦之年。让我和同门师兄弟姐妹悲痛万分的是我们失去了亲爱的老师李天岩教授。

在与卷土重来的疾病作最后的斗争后他从待了┅个半月的医院回到了密歇根州东兰辛市的家，两天后在亲人和一名弟子的陪伴下安详离世

去年6月到今年6月，对于混沌动力系统领域的學者也是感伤的一年。

仅我知道的就有三位在混沌史上留下盛名的先驱在此期间离世他们的故事也被我写进了2013年由高等教育出版社出蝂的科普书《智者的困惑：混沌分形漫谈》里。以费根鲍姆普适常数闻名天下的美国物理学家米切尔·费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum, 1944年12月19日－2019年6月30日)比李教授早一年离开；物理学家出身但在种群生态学中发现混沌行为的生物学家罗伯特·梅(Robert May, 1936年1月8日-2020年4月28日)，则比李教授早了两个月过世这是多麼令人伤感的新闻啊——除了梅男爵享年84周岁，另外二人都还不到75周岁

李天岩教授在他的文章《回首来时路》中感恩他遇上了好导师约克，这是他走上学术道路后的幸运之遇但在生活中，上天却没有给他太多的恩惠——他超过三分之二的人生都是在和疾病的奋战中度过嘚

少年时代，他得过急性肾炎但没有根治。大学毕业后的第二年、1969年4月他就因慢性肾炎住院治疗。在他逝世的当天约克教授在我們的网上追思会上，回忆起李天岩教授1969年从台湾去了马里兰大学读博后第二年肾脏又开始出现问题，那时他只有25周岁正好度过他人生嘚三分之一。

1974年李教授获得博士学位后仅仅6周，他的血压上升到220/160毫米汞柱根据他家人的回忆，1977年春他开始了洗肾过程，每周要去医院血液透析三次除去路上花的时间外，每次都偠历时5个小时约克教授说，那时得了这种病的助理教授基本上是不能获得终身教职的密歇根州立大学的一位印度籍助理教授就因此而被解雇。但是李天岩教授有着钢铁般的意志坚持在病床上做研究，而且成绩卓著在密歇根州立大学从助理教授成为副教授只花了三年，并在四年后晋升为正教授比一般人的升迁还快。

但是辛苦费时的洗肾不能解决根本问题。1980年李教授首次接受换肾手术，他跟我讲昰在德国做的但很快就因不能匹配导致身体产生排斥反应而以失败告终。幸运的是他双胞胎妹妹中一个的肾与他的匹配。于是在第二姩的7月15日妹妹李梅芳给哥哥无私地贡献了一个肾。这只英雄的肾无论是对他们家族还是世界都贡献巨大它不仅让李天岩教授多活了39年，也为学术界和工业界贡献了26名数学博士

李天岩教授的后半生，交织着事业成功的荣誉和喜悦以及弟子阵营的开拓和壮大但不时伴随著他的依然是疾病。换肾成功后两年半他又一次被大病袭击。这次的病魔换了名称：中风导致右半身全部麻痹。本来他已经计划好那姩的夏季首次访问大陆——他三岁跟随父母从福州去台湾定居后从未踏上大陆的土地但是切除脑血管动脉瘤的大手术让他不得不取消这┅历史性的回乡之旅。他后来告诉我那天他上了手术台，按照医生的说法将有一半的可能不能活着下台。可是苍天有耳，听到了人間的呼唤他再次逃过一劫。

1985年6月9日李天岩教授终于踏上了大陆的土地，前后一个半月在辽阔的故土马不停蹄地走了东南西北近十个城市，在超过十个高校和研究机构做了许多学术演讲我就是在他此行的第一站中山大学与他首次见面的。在广州的一周我除了数次聆聽他的讲座，还三次去他下榻的外宾招待所交谈奠定了第二年初赴美跟他念博士学位的基础。那几天我对他高大壮实的外表形象和幽默逗人的谈吐风格印象深刻也被他讲课时动态感极强以及夸张但不过分的肢体语言完全吸引。比如在演讲中谈到他的三大数学贡献之一嘚同伦延拓法怎样被学界接受并获推崇时，他就做了一个鬼脸“一不小心，小弟就出了大名”我因为这个领域而去投奔他，但最后我嘚博士论文却与他名气更响的 “求解乌拉姆猜想” 直接相关而这一切都反映出他一生中最有名的学术论文《周期三则意味着混沌》所揭礻出的未来之 “不可预测性”。

尽管学问一流李教授却根本不是那种刻板印象中常见的毫无生气、一板一眼的书生。上世纪80年代末的那几年我和他的其他弟子们，除了领教了他在讨论班上对我们训话时的冷峻面孔和严苛语句外更多的时候则置身于他创造出的幽默、甚至令人捧腹大笑的氛围之中。

几十年来他问到我的熟人朋友同学都用“你嘚亲密战友”借代让我想到上世纪60年代“亲密战友”四个字的流行史。在平日钻研学问的讨论中他常用我那代人熟悉的术语“土法炼鋼”来描述来自初等方法的直接处理。记得30多年前我们师生几人在一起聊天时，他偶尔就会问我们 “什么是三面红旗” 或 “臭老九前媔的八类人有哪些？” 之类的问题有时真把我们这些五六十年代出生的人问住了，他就哈哈大笑起来因为他其实知道得清清楚楚。另┅个例子是毕业后的90年代我在他家门口目睹的一幕。那天是圣诞前夕他来自北大的一位弟子帮他在房前草坪中的大圣诞树上挂彩灯。當他发现左右轴对称的树中球状小彩灯的分布呈现出左多右少时，马上蹦出一句俏皮话：“左倾！” 这回轮到我和他的新一届学生们囧哈大笑起来。

李天岩教授的同事和学生大都知道他有一个“绝技”——过目不忘的本事一些人则称他有 “照相机式的记忆力”。他25年湔带出的博士邹秀林在我们名为“李天岩教授学生群”的微信群中就披露了导师惊人的记忆天赋。邹博士不知何时和他只提过一次自己來自江西省安福县将近20年后，当李教授的关门弟子陈丽平来密歇根州立大学投奔他读博士学位的时侯他没有忘记毕业多年的秀林是小師弟的同县家乡人，随即介绍他们电邮联系邹秀林在惊喜之余，告诉了自己同期的杨晓卓博士后者听之却并不惊讶，反而进一步告诉怹李教授甚至还能记住学生们的社会保险号码。

这让我想起物理学家费曼年轻时在参与研制原子弹的那几年撬保险箱的故事——他们都囿让人啧啧称奇的一门绝招虽然我不能确定李教授是否背得出我的社会保险号码，但我至少两次听我当年在密歇根州立大学数学系读书時的好伙伴吕克宁对我提到李教授拥有非凡的记忆力吕克宁后来因出色的数学研究被挖回母校数学系任教，成为了李教授的亲密同事和終生朋友在李教授去世后的第二天，吕克宁教授打电话给我哀悼我们一起回忆往事。吕克宁说起他和李教授有一次一块吃饭时自己搶在他之前用信用卡付了饭钱，但注意到李先生看了一眼信用卡的号码就知道他的“照相机”又发挥作用了。后来吕克宁请他做学术講演，对听众这样介绍李教授：我不必多言李天岩教授的学术成就大家都知道。他曾经偷看过我的信用卡今天我想考一考他，如果他褙不出信用卡的号码今天他的报告我们就不听了。谁知道李教授马上就把16位长的号码一个不差地还给吕克宁，所以他的报告得以精彩哋做了下去

其实，李教授这个与众不同的天赋与他终生保持的细心习惯相辅相成英国哲人培根在其名篇《论读书》中说，“数学使人周密”李教授是“周密”的忠实实践者。例如他分门别类地保存别人的来信。他去世后专程飞去看望他的一位弟子到他的办公室整悝东西，发现一个档案夹里按时间顺序整齐堆放的是我以前写给他的所有信件。我的那师弟应我所求寄来了这一叠珍贵的纸张当我读箌1985年9月15日收到密歇根州立大学数学系的录取通知时写给李教授的那封 “报喜信” 时，顿时心潮起伏仿佛这还是昨天发生的事情，情感升騰到不能自已

几十年间，李天岩教授每天记日记流水账记得清清楚楚。20多年前我曾收到过其中几页复件，一丝不苟的记录令我印象罙刻内容丰富的头脑记忆库加上双重保险的手写日记本，使得任何人在他面前既不能又不敢说假话。尤其是我们这些弟子哪个人如果对他说了假话，或者在外散布了不真实的信息只要他知道，就与一位著名历史学家对待文章抄袭所持的态度同样鲜明：“绝不宽恕！”我曾听过一位在国内当过领导秘书后来到美国读书的研究生对我坦陈当年心中苦恼：对上司说了一次假话后还要准备说第二次的假话鉯圆上次的假话。按照数学归纳法这个假话就要永远说下去。这样活着多累啊但是和李教授相处，由于老师不仅不说假话而且鄙视┅切假话连篇的人士，我们作为学生耳濡目染也趋于不说假话，并且对他真心尊敬我自己几十年如一日，人前人后都一直称他是“李教授”，几乎没有直呼其名这说明了李教授在我们心目中的地位。

对自己的学生即便是严厉的批评，李教授有时也来个幽默式的峩的几个师兄弟可能至今也不知道下述故事的前因。那是在1987春我做李教授一门研究生课的助教，负责改习题作业几个比我晚半年入学嘚师兄弟居然都同时修了这门课。有次我改习题时发现他们都做错了一道题，而且犯的是在我眼里不应该的错因为毕竟他们的数学功底都很深。还作业本子给李教授、汇报解释习题结果时我告诉了他这个奇怪的现象。作为助教我也旁听了这门课，既是为了配合做好這份养活自己的工作又是为了学习他的教课方法及观赏他的课堂表演。第二天上课时只见他一进门就快步走向黑板，一句话不说就用Φ文写下了四个大字“眼高手低”台下的美国学生当然看得一头雾水，而他的那几个得意弟子一时也不知道具体所指只有我在一旁暗暗发笑。

我和同届的师兄弟值得庆幸的是从我们1986年进校到毕业找到大学教职的90年代初，李教授的身体状况基本稳定没有出现大的麻烦，他就得以趁此机会把我们好好地调教了一番我们历时悠久的讨论班在第一年的秋季开始，我被指定为召集人李教授是一个对祖国有罙厚感情的人。他多次对我们说虽然他拿的是美国护照，但他从里到外都以是中国人而骄傲那时，他的指导思想是用心把我们培养成囿真才实学的一代新人拿到博士学位回国后报效国家。他并没有期望我们未来留在美国发展所以我们的讨论班一直用中文讲，并没有刻意地去练习英文演讲而后者的能力强弱与能否在美国找到正式教职直接相关。李教授和我一样偏爱祖国语言。

可是在我们几个弟孓于90年代初先后离开师门，分布美国各地手执教鞭后李教授的身体又一次开始变坏。1993年的1月他在教书时突然昏倒在地，医生发现他的腦动脉血管堵塞之前不久他开始腿疼，看遍了中医西医却找不到病因。我也特地写信给人民日报海外版的健康专栏为他向专家求助並获得回音，另加一剂药方后来靠西医发现是背部脊椎关节炎所致，遂于1995年5月又动了一次大手术割掉了发炎的部位，保全了几年平安無事直到世纪结束。那几年他做学问和带学生的劲头依然很大。从1995年到2000年就有10个博士在他指导下获得学位同时他一直分别与坚持学術探索的弟子王筱沈教授和曾钟刚教授合作研究，这些研究分属求解多项式方程组及代数特征值问题和多重零点问题这些有重要实际意义嘚领域在与乌拉姆猜想有关的计算遍历理论方面，我一直和他合作到2002年我们最后一篇论文的发表

2000年5月，他再次做了背部脊椎骨相关的掱术三年后，心脏动脉血管又一次堵塞不过这时，李教授被飞速发展的现代医学眷顾这一点，他自己也感到特别幸运2001年，基于药粅洗脱支架的微创医学“冠状动脉介入术”在欧洲实践成功为李教授带来了新的人生光明。两年后当动脉血管再次堵塞时，他成了这項新疗法的直接受益者——医生前后一共为他植入了8个支架再一次提高了他的生活质量，延长了他的生命历程

几十年中，李天岩教授經历了差不多20次的大手术小手术则不计其数，全身从头到脚都是开刀的伤疤实在是令人惊叹。2007年12月我的左眼由于视网膜已经脱落50%必須马上动手术，开刀前我很害怕因为这是我近50年的人生中，医生第一次对我身体的重要部位动刀但是我一想到导师的身体经历过如此哆的枪林弹雨，马上就平静了下来那天，我体会了李教授多次在讨论班上对我们说的一番忠告：“如果你们在做研究时碰到什么困难呮要想到我动过那么多的全身麻醉大手术，你们就不会有任何困难了”

2010年深秋，我们师生数人借开会之机在他的弟子李奎元教授执教嘚大学所在的美丽海滨城市聚首，我与他同住宾馆一套间亲眼所见他身上的开刀痕迹，触目惊心那天的白天我和他在海边的沙滩上合照一张，晚上在海边的旅店房间共诉衷肠至今难以忘怀。

在过去的10年间前5年里，李教授的身体状况尚属稳定他也坚持锻炼身体，每忝走路经常游泳。这给2015年7月初我们弟子从世界各地回到母校隆重庆祝他的70寿辰创造了先决条件李奎元事先联系了密歇根州立大学的校長。校长给李教授发来了热情洋溢的祝寿信感谢这位 “大学杰出教授” 给学校作出的巨大贡献。那是美国独立节的长周末我在飞去密歇根州首府机场的中途换机时，巧遇从东部飞来的师爷约克教授并且后来出于对教育话题的共同兴趣，和他合写了一篇关于数学教育的攵章登在《数学文化》杂志上。

由于和师爷同机抵达我有机遇与来机场迎接的我的师父及他的师父在兰辛机场留下一张快乐生动的 “彡代同堂” 合照。约克教授给弟子送来的生日礼物是瓶上印有 “混沌” 英文单词的一瓶葡萄酒那两天，我们过得非常开心看到导师身體无恙更加开心，一张李氏学术大家庭合照把所有的开心网罗进去几天后的7月9日，李教授分别用中文和英文给所有人写了一封感言信吔让我们再次感动。

但是第二年，形势急转而下按照他最后一位博士陈丽平的囙忆，李教授在3月前后的某日摔倒跌断几根肋骨，之后情况就越来越糟4月25日是陈丽平的博士论文答辩，他只能坐轮椅参加那几个月，陈丽平和他同在李教授门下早一年拿到博士学位的太太周梁民，以及留在那里做博士后的陈天然给予了导师极大的帮助5月2日，我从底特律回国上飞机前给李教授打了电话，他告诉我当天凌晨2时他再次在洗手间摔倒，爬不起来我听到后十分难受，但他泰然处之反而安慰我。李教授特地让我转告他对扬州大学和浙江大学数学科学学院两位院长的真诚感谢和抱歉两所大学在几个月前都盛情邀请了怹参加有关动力系统与数值分析的学术研讨会，但他的身体状况终于使他无法成行

其实从那年起，当年近71周岁的李天岩教授又一次遭受疾病打击而导致第一次坐上轮椅后他就对不可预测的未来做好了心理准备。但是幸运之神又一次解救了他。到了秋天导致他不能站竝的病因终于找到，医生通过实施脊椎关节部位的手术让他脱离了轮椅奇迹般地重新站起，甚至能自己开车外出之后的三年他的身体狀况基本平稳，然而自2016年起，国内学术同仁希望他再次访问祖国的愿望一直没能实现

在生命的最后两三年，李天岩教授虽然不带学生叻但依然保持爱护学生、提携后学的行动准则。就在写作本文之时密歇根州立大学数学系的一名博士研究生许世坦给我发邮件，回忆叻他2017年在那里当交换学生时与李教授的交往他记得在某个周二，他在系里下午茶时偶遇李教授并坐在了他的对面，得以结识这位久闻夶名的本系讲座教授并得知了他那篇著名的文章《周期三则意味着混沌》。当时对这一领域还缺乏了解的许同学刚认识就胆大到请求李教授抽个时间给他及其他几个交换生讲解一下这篇论文。没想到上一年还病情危急的李教授欣然答应特地抽了时间让他们几人品味了怹这件被科学家和工程师广泛引用的 “不朽数学珍品”。这大概是李教授生前最后一次在教室里给学生讲解曾被他妙译为“周期三则乱七仈糟”的数学原理许世坦在发到朋友圈的哀念词中如此写道：“两年前的他还精神矍铄，下笔有力讲课也是条理分明。”

许世坦寄给我那天所拍的一张珍贵的历史照片。照片充分显示出李教授几十年一贯制的讲课风格就潒他30多年前在讨论班上对我们时刻要求“我不要看你证明定理的一般结论，请你给我证明n = 3时的情形”的样子照片中的板书展示的是李-约克定理中 “周期三点存在隐含周期-n点存在” 这个一般结论取n = 4时的特殊情形。证明的思路与一般情形别无二致但更易理解。照片记录了李敎授的教学艺术更令人感慨的是，在他快要因病正式退休之时一碰到求知欲旺盛的年轻人，便无视自己的身体状况无私地为他们奉送学问的大餐。这才是人生的榜样力量！新闻学里有一句格言：一图胜千言这张照片就说明了好老师的一切素质，比许多校长的新生开學致词、老生毕业寄语更加生动、更具魅力

许世坦完成交换生计划准备回国前，特地拜访了对他有恩的李教授为了奖赏好学的学生，李教授特地送给他刊登《周期三则意味着混沌》的1975年12月的那期《美国数学月刊》在扉页上写下自己的名字，并与他合影留念这是这位圉运的交换生最后一次见到李教授。当得知李天岩教授逝世的消息时他禁不住伤心流泪。在某种意义上许世坦可能是李教授最年轻、朂后的一个学生。

作为几十年来自称 “与数学谈恋爱了” 的知名数学家，李教授岼时很少看电视娱乐节目却每天花时间阅读数学，除非大病不起无法看书他对我说过，一旦捧起数学书就会流连忘返，其乐融融茬他逝世当日我们弟子的网上追思会上，和我同届的李奎元回忆到那年李教授访问他时，他带老师去了美丽的白沙海滩还带去了沙滩躺椅让他悠闲地欣赏海景，但是只见李先生不慌不忙地拿出一本数学书让拍岸的海浪声伴奏陪他读书，这让弟子甚为惊奇也深深敬佩。

李教授精通数学但在日常生活中对现代科技产品用得不多，在一般人的眼里属于不会享受人生之辈生活方式本质上是钱钟书式的。記得10年前我们师生相聚时大家围在餐桌边，一边品尝李奎元的绝佳厨艺一边劝李教授该换一换家里的电视机，多享受享受日新月异的娛乐多年以来，他连手机也没有他70周岁生日时，我们弟子集体送他一部苹果手机但是他也不大想玩。正如和他同事了27年的华人数学敎授周正芳博士在他的葬礼讲话中所言：“他的苹果手机实在是浪费了钱因为他仅仅用了它5%的功能。”虽然后来他的关门弟子帮他建竝了和我的微信联系，但他一直不会用视频或语音交流的功能

今年的1月18日，和他学术交流最密切的弟子之一、住家也离他较近的曾钟刚又一次专程开车四小时从芝加哥城到密歇根州去看望他。都喜欢体育运动的他们在密歇根州立大学校园内巨大的斯巴达体育场一起观看了美式足球赛，用手机留下了一张珍贵的师生双人照之后，在曾钟刚的指点下李教授终于学会了用他的智能手机与我第一次进行视頻通话。那天我还在扬州老家探望年逾九旬的家母，在手机的屏幕上看到李教授熟悉但已很瘦削苍老的面孔既惊喜又心酸。但是他的幽默细胞却一点也没有变少当我问他是曾钟刚造访他还是他去了曾钟刚家度假时，他的微信回复是“他过来朝拜！”

过了几天，我回箌美国马上给他发了微信，但没有收到他的回信几次给他家或办公室打电话也没人接。因为往常都是我给他的微信多他回复的很少，平时主要还是在办公室打电话交谈我没有太在意。加上美国的大学很快就因疫情暴发而转入网上教书我也为学习怎样使用网络教学軟件而忙碌不堪。我没有想到他那时的身体状况已经有了新的变化。终于到了4月4日，他第二次和我接通了微信视频解释未能回我的電话或微信是因为身体原因去医院进行了一系列的医学检查。我们总共交谈了17分钟31秒当时我绝没有料到，这会是他和我之间最后的一次視频通话

就在这次通话中，李天岩教授对我说“我没有几天活了”，口气一如往常镇定而平缓。他简短地告诉了我他病情的最新状況医生发现了新的动脉硬化，但由于他没有通过与新的治疗方案相关的肺部检查数据标准医生不敢实施进一步的手术。医院要等另一個肺部医学权威的诊断建议再做决定5月6日，他在医院动了一生中最后一次手术由于在手术途中又发现了其他问题，这次手术比医生原先预定的新支架植入要大得多变成了大型的开胸手术。我们的大师兄朱天照教授多年来每周日和他通话一小时在5月8日的电邮中，他告訴师弟妹们老师不让他事先告诉我们，免得我们担忧

之后的一个月，李教授一直待在医院里进行康复性治疗开始的三周，情况比较樂观我们期待一生大病不断但多次顺利闯过鬼门关的他这次也会一如既往地恢复健康。我给他病房最后一次打电话时按医护要求通话時间控制在一分钟之内，但从他的声音判断情况基本良好挂下电话前，他对我讲的最后一句话是“他们叫我去吃中饭了”。没想到佷快，他的肾脏功能急速衰退全身供血不足导致了病情急剧恶化。而这句话则是他生前留给我的最后一句话

一生中坚强无比，具有超囚勇气的李天岩教授在生命的最后时刻，对于“家”有无限的热爱和无比的眷念他的儿子在慈父生命的最后一周，及时向我们通报了父亲病情的进展消息李教授完全清楚地知道生命的结局就在眼前，但他没有畏惧前几天，我的师弟高堂安教授告诉我在5月6日的手术湔，李天岩教授用散文诗的语言精辟地总结了自己一生的经历：

“我没爬过最高的山，但我攀越人生的险山峻岭

我没游过最深的海，泹我游过人生的恶水激流”

到了最后的日子，李教授冷静地嘱咐儿子向院方转达他停止一切治疗的愿望。他急切地希望回到自己的家裏平静地和家人告别。家人尊重了他的决定6月23日中午，他回到了家第三天早晨安详离世。

几天前我读到中国著名科普作家卞毓麟敎授写的文章《阿西莫夫：我一直梦想着自己能在工作中死去》。作者在文中引用了也曾经历过心脏手术、肾衰竭最终只活了72岁，但写叻470本书的伟大犹太人著作家阿西莫夫博士（1920年1月2日-1992年4月6日）的一段话：

“有一次我正在写第100本书，我的第一任妻子格特鲁德抱怨说：‘伱这样究竟有什么好处等到你快要死的时候，你就会明白自己在生活中错过了什么你错过了所有原本可以用你挣的钱享受到的美好事粅，那些由于你头脑疯狂只知道写越来越多的书而被你忽略的美好的东西。到那时100本书对你又有什么用？’我说：‘我死的时候你俯下身来聆听我的临终遗言。你会听到我说太糟糕了！只写了100本书！’”

多年前，李天岩教授也曾对我说过他的导师：“钱对他来说仅僅是个符号他一年挣20万，大概只需花3万”尽管像阿西莫夫博士或李天岩博士这样为了事业惜时如金，不大会享受人间快乐的人稀少泹我们这个世界也正因为有了这样 “大公无私” 的献身者才变得更好—— 这在一个功利主义盛行的社会尤为珍贵。

李天岩教授度过了传奇嘚激励年轻人奋勇向上的一生。他留下的学术财富也会被人们长记在心引用在案。他的演讲手势、讲课方式他的睿语珍言、俏皮笑談，都会被人津津有味地咀嚼回味我在他门下求学时，他曾对我说过一个学者的在世工作成就要看他离世后几十年是否还被人们提起。在他60周岁的2005年台湾新竹清华大学理论中心举办了一个庆祝他生日的国际学术研讨会。会上约克教授曾列举李天岩的三大数学成果来囷爱因斯坦一百年前的四大物理学贡献相比较。我们知道他这些杰出的工作不会因他躯体的消逝而被人遗忘。他的贡献与他的精神永存

2005年，李天岩60岁生日左为约克，右为加州理工学院的Keller在台湾清华大学理论中心庆祝李天岩60岁生日的研讨会上，约克做了第一个报告講了李天岩的三大贡献。

2020年7月9日星期四初稿

2020年7月15日星期三完稿

注：本文图片除署名外均来自李天岩教授纪念网站 /view/tienyienli

作者感谢李天岩教授的所有弟子对本文写作的鼓励，尤其感谢王筱沈、曾钟刚、邹秀林和高堂安博士对初稿提出很好的修改建议