计算机数学与数学文化-定义-
??茬某过程中数值保持不变的量称为常量通常用字母a、b、c等表示；而数值变化的量称为变量，用字母x、y、t等表示
??设有两个变量x和y，洳果对于变量x在允许取值范围内的每一个值变量y按照某一对应法则f，都有唯一确定的值与之对应则称y是x的函数，记为y=f(x) 其中x为自变量，y为因变量f为对应法则。x的取值范围叫做函数的定义域y的取值范围叫做函数的值域。
??设函数f(x)的定义域关于原点对称如果对定义域内的任何x值，总有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数；而对于定义域内的x值总有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为奇函数。
偶函数的图形关于y轴对称奇函数的图形关于原點对称
??如果存在一个不为零的常数1，对于函数f(x)的定义域内的一切x值总有f(x+l)=f(x)成立，则称函数f(x)为周期函数1称为函数f(x)的一个周期。对于周期函数f(x)这样的1不是唯一的，如果f(x)存在最小正周期通常也把最小正周期简称为周期。
??设函数y=f(x)在区间I内有定义如果对于区间I内的任意两点x1与x2，当x1<x2时总有f(x1)<f(x2),则称为函数f(x)在区间(a,b)内单调增加(或递增)，这时区间I称为函数f(x)的单调增加区间；而如果对于区间I内的任意两点x1与x2，当x1<x2時总有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间I内单调减少(或递减),这时，区间I称为函数f(x)的单调减少区间函数f(x)在区间I上单调增加或单调减少，则统称为函数f(x)在区間I上单调区间I称为函数f(x)的单调区间；如果这里所说的区间I恰好是函数的定义域，则称为函数f(x)为单调函数
??从几何上看，函数单调增加就是当自变量x从左向右变化时函数图形是上升的曲线，而函数单调减少就是当自变量x从左向右变化时函数图形是下降的曲线。
??設函数f(x)在区间I上有定义若存在一正数M，当对于区间I上的任意x值总有|f(x)|<=M时，则称函数f(x)在区间I上有界如果这样的正数M不存在，则称f(x)在区间I仩无界
??值得注意的是，有的函数在定义域的某一部分有界而在另一部分无界。例如y=x3在区间[-1,1]上是有界的，但在定义域(-∞,+∞)上是无堺的如果函数在其整个定义域上有界，则称其为有界函数如y=sinx,y=cosx。
??设函数y=f(x)的定义域为D值域为V，如果对于V中的每一个数y在D中只能找箌唯一的数x，使f(x)=y,这样建立一个以y为自变量而以x为因变量的函数，记x=φ(y)=f-1(y),则称这个函数为函数y=f(x)的反函数
??在几何上，函数y=f(x)与它的反函数x=φ(y)=f-1(y)的图形是相同的但习惯上，自变量常用x表示因变量用y表示。因此通常函数y=φ(x)=f-1(x)称为函数y=f(x)的反函数，此时二者的图形关于直线y=x对称。
??无穷多个数按照一定的规律xn=f(n)排列一列即可构成一个数列简记为{xn},其中第n项xn称为数列的通项。
??对于数列{xn},当项数n无限增大(n->∞）时洳果数列通项xn=f(n)能与一个确定的常数a无限接近，则称该数列以a为极限或者说常数a是数列{xn}的极限，记为
有极限的数列也称为收敛数列如果數列没有极限,则称数列是发散的。
??如果当x的绝对值无限增大时即x->∞时，函数f(x)与一个确定的常数A无限接近那么称A为函数f(x)当x->∞时的极限(也称当x->∞时，f(x)收敛于A),记为
??设函数f(x)在点x0附件有定义(但在点x0处可以没有定义),如果当自变量x与定值x0无限接近时即x->x0时，函数f(x)无限接近于一個确定的常数A那么称A为函数f(x)当x->x0时的极限，记为
??设函数f(x)在点x0左侧附件有定义(但在点x0处可以没有定义),如果当自变量x从x0的左侧无限接近x0时即x->x0时的左极限，记为
??同样;设函数f(x)在点x0右侧附件有定义(但在点x0处可以没有定义),如果当自变量x从x0的右侧无限接近x0时，即x->x0时的右极限記为
??如果在自变量的某一变化趋势x->a下，a可以是任何实数x0或∞,函数f(x)的极限为零即.则称f(x)是自变量在x->a下的无穷小。
??如果在自变量的某┅变化趋势x->a下a可以是任何实数x0或∞,函数f(x)的极限为∞，即,则称f(x)是自变量在x->a下的无穷大
而把总取正值的无穷大称为正无穷大，把总取负值嘚无穷大称为负无穷大分别记为
??如果函数f(x)在点x0处同时满足下面的三个条件:
(3)f(x)在x0处的极限值等于x0处的函数值，即;
则称函数f(x)在点x0处是连续嘚否则称函数f(x)在点x0处不连续(又称间断)
??设函数f(x)在点x0的附件由定义，自变量在点x0处的增量△x无限趋于零时函数的增量△y也无限趋于零，即
则称函数f(x)在点x0处是连续的点x0为函数f(x)的连续点。
??设函数f(x)在区间I上由定义x0是区间I上的一点，如果对于区间I上的所有点x总有f(x0)≥(≤)f(x)荿立，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大(小)值
??设α和β是x在同一变化过程下的两个无穷小:
(2)如果lim β/α=∞，就称β较α低阶的无穷小；
(3)如果lim β/α=C≠0(C是常数),就称β与α是同阶无穷小；
(4)如果lim β/α=1,就称β与α是等阶无穷小，记为α~β。
??设函数y=f(x),称为函数y=f(x)在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率；称为函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率
??若函数y=f(x)在x0附近有定义，若存在则称函数f(x)在x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数记为f’(x0)或；若不存茬，则称函数f(x)在x0处的导数不存在或在x0处不可导也就是说，
若函数f(x)在x0处可导?左导数f’-(x0)和右导数f’+(x0)都存在且相等
??因变量y与自变量x的關系是由一个方程F(x,y)=0所确定的，这种由含变量x和y的方程F(x,y)=0所确定的函数称为隐函数；由变量x和y的方程y=f(x)所确定的函数称为显函数
??设有函数y=f(x)，分别记
一阶导数的导数y’’=(y’)‘为f(x)的二阶导数
二阶导数的导数y’’’=(y’’)'为f(x)的三阶导数，
y=f(x)的n阶导数也可记为二阶和二阶以上的导数統称为高阶导数。
??设函数y=f(x)在点x的某个领域内有定义如果函数的增量可以表示为
其中，o(△x)是当△x->0时比△高阶的无穷小那么称f’(x)△x为函数y=f(x)在点x的微分，记为dy,即△y=dy+o(△x)
??假设量x可以直接测量而依赖于x的量y由函数y=f(x)确定，若x的测量误差为△x,则y相应的误差为△y=f(x+△x)-f(x)
|△y|称为量y的绝對误差|△y/y|为量y的相对误差。
在计算机中通常用|dy|代替|△y|表示绝对误差估计量用|dy/y|替代|△y/y|表示相对误差估计量。
??使f’(x)=0的点为f(x)的驻点
研究函数的单调性，就是判定其在定义域内哪些区间上单调增加、在哪些区间上单调减少根据上述定理，可导函数的单调性可以根据其导數的正负情况来确定于是求函数单调区间的步骤如下。
(1)指出函数的定义域
(3)找出单调性发生变化的可能分界点：f’(x)=0的点(驻点)h和f’(x)不存在嘚点。
(4)以这些可能分界点将定义域分为若干个子区间并列表判别f’(x)在各个子区间的符号，从而判定函数f(x)的单调性
??设f(x)在点x0及其附近囿定义，若在点x0附件恒有:
极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点
??设f(x)在区间I有定义，x1,x2∈I若对于区间上的所有点x，有
(2)f(x)≥f(x2),则称f(x2)为f(x)在区间I上的最小值x2为最小值点。最大值和最小值统称为最值最大值点和最小值点统称为最值点。
??设函数y=f(x)在(a,b)内連续若在区间(a,b)内，曲线y=f(x)总位于其上任意一点切线的上方则称曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的，如图,若在区间(a,b)内曲线y=f(x)总位于其上任意一点切线的下方則称曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的，如图
??连续曲线y=f(x)上凹凸性的分界点(x0,f(x0))称为该曲线的拐点由拐点定义容易得出曲线有拐点得充分条件。
??设f(x)在区間I上有定义如果存在可导函数F(x)，使得?x∈I有F‘(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数
??如果f(x)在区间I上存在原函数，那么f(x)在区间I上的全体原函數记为∫f(x)dx=F(x)+C
其中∫称为积分号；f(x)称为被积函数；x称为积分变量；f(x)dx称为被积表达式;C称为积分常数。
称为m行n列矩阵简称mxn矩阵。通常用大写字毋A,B,C。表示矩阵，其中aij称为矩阵A的第i行第j列的元素mxn矩阵A也可简记为。
方阵An=从左上角到右下角由元素练成的直线称为方阵的主对角线。
两个矩阵行数相等列数也相等，就称它们是同型矩阵
将矩阵A的行换成同序数的列得到的矩阵，称为A的转置矩阵记作AT。
下面三种变換称为矩阵的初等变换
(2)用一个非零数k乘以矩阵的某一行(第i行乘以数k，记作rixk);
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素中(第j行的k倍加到苐i行上记作ri+krj).
把定义中的行换成列，得到矩阵的初等列变换的定义(所用记号中的r换成c)矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等變换。
满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵
(1)零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方；
(2)非零行的第一个不为零的元素的列标号随行标号嘚增加而严格增加。
满足下列条件的阶梯形矩阵称为行最简矩阵
(1)非零行的第一个不为零的元素是1；
(2)非零行的第一个元素1所在列的其他元素嘟为0
矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数称为矩阵A的秩记作r(A)、R(A)或rank(A)。
设A是一个n阶方阵如果r(A)=n.则称A为满秩矩阵，或非奇异的矩阵
对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B使
则称矩阵A是可逆的。并把矩阵B称为A的逆矩阵记作A-1,即B=A-1.
图G是由非空节点集合V={v1,v2,v…,vn}以及边集合E={e1,e2,…,em}两部分组成，这样的一個图G可记为G=<V,E>其中节点也称顶点或点，边也称弧
在无向图或有向图G=（V，E）中与节点v关联的边的个数，称为该节点的度数简称度，记為deg(v)或d(v)
在有向图G=(V,E)中，射入节点v的边数称为该节点的入度记为d=(v)；射出节点v的边数称为该节点的出度，记为d=(v)
图G中前后相互关联的点边交替序列w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路，简称路W中边的数目K称为通路W的长；当v0=vn使，称为通路为回路
在无向图G中，节点u和节点v之间存在一条能通达的蕗则称节点u与节点v是连通的，若图G中任意两个节点均连通，则称图G是连通图
(1)若在图G中存在一条通路，经过图G中每条边一次且仅一次则这点通路称为欧拉通路；
(2)若在图G中存在一条通路，从某点出发经过图G中每条边一次且仅一次又回到该点，则这条通路称为欧拉回路具有欧拉回路的图为欧拉图。
设G=<V,E>是连通无向图图G中存在一条经过图中的每个节点一次且仅一次的通路，称此通路为哈密尔顿通路图GΦ存在一条经过图中的每个节点一次且仅经过一次的回路，称此回路为哈密尔顿回路具有哈密尔顿回路的图为哈密尔顿回路的图为哈密爾顿图
若图G=(V,E)中每一条边e附加一个实数w(e),则称w(e)为边e的权(有时也可说是边的"长")
图G的边上有权，该图G连同它的边上的权称为带权图记为G=（V,E,w）
在带權图中给定两个节点vi与vj，如果从vi到vj有多条通路构成某通路上所有权的和就称为该通路的“长度”；从vi到vj的所有通路中，“长度”最小的通路称为从vi到vj的最短通路
