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保险精算第二版习题及答案
1 保险精算（第二版） 第一章：利息的基本概念 练 习 题 1．已知 ? ? 2a t at b??， 如果在 0 时投资 100 元，能在时刻 5 积累到 180 元，试确定在时刻 5 投资 300 元，在时刻 8 的积累值。 ( 0 ) 1( 5 ) 2 5 1 . 80 . 8, * 1 0 0( 5 ) 3 0
* 1 0 0 3 0 0 * 1 0 0( 8 ) ( 6 4 ) 5 0 81 8 0 1 8 0a a b??? ? ?? ? ??? ? ? ?? 2． (1)假设 A(t)=100+10t, 试确定1 3 5,,i i i。 1 3 5( 1 ) ( 0 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 5 ) ( 4 )0 . 1 , 0 . 0 8 3 3 , 0 . 0 7 1 4( 0 ) ( 2 ) ( 4 )A A A A A Ai i A? ? ?? ? ? ? ? ? (2)假设 ? ? ? ?1 0 0 1 .1 ?， 试 确 定 1 3 5,,i i i。 1 3 5( 1 ) ( 0 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 5 ) ( 4 )0 . 1 , 0 . 1 , 0 . 1( 0 ) ( 2 ) ( 4 )A A A A A Ai i A? ? ?? ? ? ? ? ? 3． 已知投资 500 元， 3 年后得到 120 元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资 800 元在 5年后的积累值。
0 ( 3 ) 5 0 0 ( 1 3 ) 6 2 0 0 . 0 88 0 0 ( 5 ) 8 0 0 ( 1 5 ) 1 1 2 05 0 0 ( 3 ) 5 0 0 ( 1 ) 6 2 0 0 . 0 7 4 3 3 6 38 0 0 ( 5 ) 8 0 0 ( 1 ) 1 1 4 4 . 9 7a i i ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?4． 已知某笔投资在 3 年后的积累值为 1000 元，第 1 年的利率为 1 10%i ?， 第 2 年的利率为2 8%i ?，第 3 年的利率为 3 6%i ?， 求该笔投资的原始金额。 1 2 3( 3 ) 1 0 0 0 ( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( 0 ) 7 9 4 . 1A A i i ? ? ? ??? 5． 确定 10000 元在第 3 年年末的积累值 : 2 (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率 6%。 (2)名义贴现率为每 4 年计息一次的年名义贴现率 6%。 ( 4 )1 0 0 0 ( 3 ) 1 0 0 0 0 (1 ) 1 1 9 5 6 . 1 841 0 0 0 0 ( 3 ) 1 0 0 0 0 1 1 1 7 5 0 . 0 814? ?????? ? ???????6． 设 m＞ 1，按从大到小的次序排列 ( ) ( )d i i?? ? ? ?。 7． 如果 t? ?， 求 10 000 元在 第 12 年年末的积累值。 、 120 0 . 7 21 0 0 0 0 (1 2 ) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 5 4 4 . 3 3t e e??? ? ? 8． 已知第 1 年的实际利率为 10%，第 2 年的实际贴现率为 8%，第 3 年的每季度计息的年名义利率为 6%，第 4 年的每半年计息的年名义贴现率为 5%，求一常数实际利率，使它等价于这 4 年的投资利率。 ( 4 ) ( 2 )4 1 4 212(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )421 1 6 9 5 6 5 2 2 * 1 1 3 6 3 5 5 1 * 1 . 0 5 0 6 2 5 1 . 3 3 3 2 6 5 8 5 80 . 7 4 5 5 6 3 3 6i ? ? ? ? ?????9． 基金 A 以每月计息一次的年名义利率 12%积累，基金 B 以利息强度6t t? ?积累，在时刻 t (t=0)，两笔基金存入的款项相同，试确定两基金金额相 等的下一时刻。 ? ?? ? 12( ) 1 . 0 1()1 . 0 1 , 1 . 4 3 2 8 4 7 6 4 3t e ???? ? ?10. 基金 X 中的投资以利息强度 0 0 t? ??(0≤ t≤ 20), 基金 Y 中的投资以年实际利率 i 积累；现分别投资 1 元，则基金 X 和基金 Y 在第 20 年年末的积累值相等，求第 3 年年末基金 Y 的积累值。 ? ?? ?? ?20210 . 0 10 . 1220 . 0 1 * 2 00 . 1 * 2 020423( ) 1()11 1 . 8 2 2 1t ia t e ei e ???????? ? ? ???11. 某人 1999 年初借款 3 万元，按每年计息 3 次的年名义利率 6%投资，到 2004 年末的积累值为（ ）万元。 A. B. C. D. 3 ) 3 * 5 1 53 ( 1 ) 3 * 1 . 0 2 4 . 0 3 7 63i? ? ? 3 万元，每年计息两次的名义利率为 6%，甲第 2 年末还款 4000 元，则此次还款后所余本金部分为（ ）元 。 25 13 36 87 ( 2 ) 2 * 2 4( 1 ) 1 . 0 3 1 . 1 2 5 52i? ? ?第二章：年金 练习题 1． 证明 ? ?v i a a? ? ?。 ? ? 11()mn a a i v ? ? ? ? ? 2． 某人购买一处住宅，价值 16 万元，首期付款额为 A，余下的部分自下月起每月月初付 1000 元，共付10 年。年计息 12 次的年名义利率为 。计算购房首期付款额 A。
0 0 1 0 0 0 7 9 9 6 2 . 9 6 ( 8 . 7 % / 1 2 )1 6 0 0 0 0 7 9 9 6 2 . 9 6 8 0 0 3 7 . 0 4 ? ?? ? ?3. 已知7 , 11 , 18 , 计算 i 。 71 8 7 1 1110 . 0 8 2 9 9a a ?????????4． 某人从 50 岁时起，每年年初在银行存入 5000 元，共存 10 年，自 60 岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取 10 年。年利率为 10%，计算其每年生活费用。 101 0 1
9 6 8 . 7 1 2 3a x ? ????????? ?? 5． 年金 A 的给付情况是： 1～ 10 年，每年年末给付 1000 元； 11～ 20 年，每年年末给付 2000 元； 21～ 30年，每年年末给付 1000 元。年金 B 在 1～ 10 年，每年给付额为 K 元； 11～ 20 年给付额为 0； 21～ 30 年，每年年末给付 K 元，若 A 与 B 的现值相等，已知 10 12v ?，计算 K。 1 0 2 01 0 1 0 1
0 2 0 0 0 1 0 0 0111800A a a a K ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ????? ????????6． 化简 ? ?1 0 2 010 1a v v??， 并解释该式意义。 ? ?1 0 2 01 0 3 01a v v a? ? ? 4 7. 某人计划在第 5 年年末从银行取出 17 000 元，这 5 年中他每半年末在银行存入一笔款项，前 5 次存款每次为 1000 元，后 5 次存款每次为 2000 元，计算每年计息 2 次的年 名义利率。 5 1
0 0 2 0 0 0 1 7 0 0 03 . 3 5 5 %aa ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???8. 某期初付年金每次付款额为 1 元，共付 20 次，第 k 年的实际利率为 18 k?，计算 V(2)。 1 1 2 1 1 91 1 1( 2 ) 11 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )9 9 911 0 1 1 2 8Vi i i i i? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????9. 某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第 1 到 n 年每年末平分所领取的年金， n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值相等 ,那么 v=( ) A. 113n??????B. 13n C. 13n??????1211213v ???11. 延期 5 年连续变化的年金共付款 6 年，在时刻 t 时的年付款率为 ? ?21t? ,t 时刻的利息强度为 1/(1+t),该年金的现值为（ ） 01125 | 6 51125 | 6 5( ) ( 1 )1 1 1()( ) 11( 1 ) 5 41tt v t t d t t d ?? ? ???? ? ? ????第三章：生命表基础 练习题 1． 给出生存函数 ? ? 22500xs x e?? ，求： (1)人在 50 岁～ 60 岁之间死亡的概率。 (2)50 岁的人在 60 岁以前死亡的概率。 (3)人能活到 70 岁的概率。 (4)50 岁的人能活到 70 岁的概率。 5 ? ?? ?? ?1 0 5 02 0 5 0( 5 0 6 0 ) 5 0 ( 6 0 )5 0 ( 6 0 )( 5 0 )( 7 0 ) ( 7 0 )70( 5 0 )P X s ? ? ??????2. 已知 5＜ T(60)≤ 6］ =T(60)＞ 5］ =60q。 ? ? ? ?? ?5 | 6 0 5 6 0656 5 ( 6 6 ) 6 50 . 1 8 9 5 , 0 . 9 2 0 9 4( 6 0 ) ( 6 0 )6 5 ( 6 6 )0 . 2 0 5 8( 6 5 )s s ? ? ??? ? ?3. 已知80 ，80 3129d ?，求81l。 8 0 8 0 8
00 . 0 7d l lq ? ? 4. 设某群体的初始人数为 3 000 人， 20 年 内的预期死亡人数为 240 人，第 21 年和第 22 年的死亡人数分别为 15 人和 18 人。求生存函数 s(x)在 20 岁、 21 岁和 22 岁的值。 1 2 0 1 2 1 1 2 20 0 0( 2 0 ) 0 . 9 2 , ( 2 1 ) 0 . 9 1 5 , ( 2 2 ) 0 . 9 0 9dd d d d ds s sl l l?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? 5. 如果 221 1 0 0x ????,0≤ x≤ 100, 求0l=10 000 时，在该生命表中 1 岁到 4 岁之间的死亡人数为（ ）。 4
00100()1( (1 ) ( 4 ) ) 2 0 8 1 . 6 1xx xs x e s s? ??? ?? ?????? ? ????????6. 已知 20 岁的生存人数为 1 000 人， 21 岁的生存人数为 998 人， 22 岁的生存人数为 992 人，则| 201 ）。 A. B. . D. 2 2 11 | 2 0200 . 0 0 6l??? 第四章： 人寿保险的精算现值 练 习 题 6 1. 设生存函数为 ? ? 1100(0≤ x≤ 100)，年利率 i =算 (保险金额为 1 元 )： (1)趸缴纯保费 130:10?的值。 (2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量 Z 的方差 )。 1 0 1 013 0 : 1 0 001 0 1 02 1 1 2 2 2 23 0 : 1 0 3 0 : 1 0 00( ) 1( ) 11 0 0 ( ) 1 0 0110 . 0 9 21 . 1 7 011( ) ( ) 0 . 0 9 2 0 . 0 9 2 0 . 0 5 51 . 2 1 7 0t x x x x x x tx s x ts x ps x xA v p d t d tV a r Z A A v p d t d t??????? ?? ? ? ? ? ????? ? ???????? ? ? ? ? ? ????????????2． 设年龄为 35 岁的人，购买一张保险金额为 1 000 元的 5 年定期寿险保单，保险金于被保险人死 亡的保单年度末给付，年利率 i=计算： (1)该保单的趸缴纯保费。 (2)该保单自 35 岁～ 39 岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与 (2)的结果为何不同？为什么？ （ 1）法一： 411 3 5 3 6 3 7 3 8 3
0 ( )1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6k k x x d d d dA v p ??? ? ? ? ? ??查生命表3 5 3 5 3 6 3 7 3 8 3 99 7 9 7 3 8 , 1 1 7 0 , 1 2 4 8 , 1 3 3 6 , 1 4 3 7 , 1 5 4 9l d d d d d? ? ? ? ? ?代入计算： 411 3 5 3 6 3 7 3 8 3
0 ( ) 5 . 7 4 71 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6 1 . 0 6k k x x d d d dA v p ??? ? ? ? ? ? ??法二：1 3 5 4 03 5 :
0 1 0 0 0 ?? 查换算表1 3 5 4 03 5 :
9 0 . 2 2 1 2 8 5 7 . 6 11 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 5 . 7 4 71 2 7 4 6 9 . 0 3 ? ?? ? ?? （ 2）1
. 5 81 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 1 2 61 2 7 4 6 9 . 0 31 4 4 . 4 71 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 2 0 31 2 0 1 1 0 . 2 21 4 5 . 9 41 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 2 91 1 3 1 6 7 . 0 61 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ????1
6 3 7 3 8 3 91 4 8 . 0 50 1 . 3 8 91 0 6 6 1 5 . 4 31 5 0 . 5 51 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . 4 9 91 0 0 4 3 2 . 5 41 0 0 0 ( ) 6 . 4 5 7p p p p?? ? ? ?? ? ? ? ??? 7 （ 3） 1 1 1 2 1 3 1 4 13 5 2 3 5 3 3 5 4 3 53 5 : 5 3 5 : 1 3 6 : 1 3 7 : 1 3 8 : 1 3 9 : 113 5 3 6 3 7 3 8 3 93 5 : 5A A v p A v p A v p A v p AA p p p p p? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 3. 设 A, 20 ?A, :20 A, 试计算： （ 1） 1:20 （ 2） 1:10改为求 1:20 120: 2 0 : 2 01 1: 2 0 : 2 0 : 2 01 1: 2 0 : 2 01 1: 2 0 : 2 01: 2 01: 2 00 . 2 5 0 . 40 . 5 50 . 0 50 . 5x A ????????? ???? ?????? ??? ??????4． 试证在 设条件下： (1) 1 1: :xn (2) 11:::xx n n x ?? 5． (x)购买了一份 2 年定期寿险保险单，据保单规定，若 (x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金 1 元， ? ?0 . 5 , 0 , 0 . 1 7 7 1xq i V a r z? ? ?，试 求1 6． ? 已知 ，7 6 7 6 7 7 7 70 . 8 , 4 0 0 , 3 6 0 , 0 . 0 3 ,D D i? ? ? ? 求 7． 现年 30 岁的人，付趸缴纯保费 5 000 元，购买一张 20 年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：113 0 : 2 03 0 : 2
R A ? ?其中 191 1 1 13 0 3 03 0 3 0 3 03 0 : 2 00 0 03 0 3 0 3 03 0 3 1 3 2 4 92 3 2
1 1( )1 . 0 6 ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )k k k kk k v p q v v dl l ld d d ? ? ?????? ? ??? ? ?? ? ? ? ???? ? ??查（ 2000性或者女性非养老金业务生命表中数据3 0 3 0 3 1 3 2 4 9, , ,l d d d d?带入计算即可，或者 i=2000性或者女性非养老金业务生命表换算表3 0 5 0 3 0,,M M 例查（ 2000性非养老金业务生命表中数据 8 12 3 2 03 0 : 2 01 1 1 1 1( 8 6 7 9 1 7 9 7 7 3 1 4 4 )9 8 4 6 3 5 1 . 0 6 ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )0 7 7 8 5 5 9 62 8 1 1 2 6 . 3 7 2 7? ? ? ????8． 考虑在被保险人死亡时的那个 1 个单位的终身寿险，设 k 是自保单生效起存活的完整年数， j 是死亡那年存活的完整 1 (1) 求该保险的趸缴纯保费 () (2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明 ()()A 。 9． 现年 35 岁的人购买了一份 终身寿险保单，保单规定：被保险人在 10 年内死亡，给付金额为 15 000元； 10 年后死亡，给付金额为 20 000 元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为 111 0 | 3 53 5 :1 01 5 0 0 0 2 0 0 0 0中 991 1 1 13 5 3 53 5 3 5 3 53 5 : 1 00 0 03 5 3 5 3 53 5 3 6 3 7 4 42 3 1
1 1( )1 . 0 6 ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )1 3 5 9 0 . 2 2 1 2 0 7 7 . 3 10 1 8 71 2 7 4 6 9 . 0 3k k k kk k v p q v v dl l ld d d ? ?????? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??7 0 7 0 7 01 1 1 13 5 3 51 0 | 3 5 3 5 3 5 3 51 0 1 0 1 03 5 3 5 3 54 5 4 6 4 7 1 0 51 1 1 2 1 3 7
1 1 1( )( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )1 2 0 7 7 . 3 10 4 7 51 2 7 4 6 9 . 0 3k k k kk k v p q v v dl l ld d d ? ?????? ? ??? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ??所以趸交纯保费为 111 0 | 3 53 5 :1 01 5 0 0 0 2 0 0 0 0 1 7 8 . 0 5 1 8 9 5 2 0 7 3 . 0 5? ? ?10． 年龄为 40 岁的人，以现金 10 000 元购买一 份 寿险保单。保单规定：被保险人在 5 年内死亡，则在其死亡的年末给付金额 30 00 元；如在 5 年后死亡，则在其死亡的年末给付数额 R 元。试求 R 值。 11． 设年龄为 50 岁的人购买一 份 寿险保单，保单规定：被保险人在 70 岁以前死亡，给付数额为 3 000元；如至 70 岁时仍生存，给付金额为 1 500 元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为： 1 15 0 : 2 0 5 0 : 2 03 0 0 0 1 5 0 0中 9 1 9 1 9 1 91 1 1 15 0 5 05 0 5 0 5 05 0 : 2 00 0 05 0 5 0 5 05 0 5 1 5 2 6 92 3 2 0
1 1( )1 . 0 6 ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )k k k kk k v p q v v dl l ld d d ? ?????? ? ??? ? ?? ? ? ? ???? ? ??1 7 0 7 0 707 0 5 05 0 : 2 0507050lA v p ?查生命表或者相应的换算表带入计算即可。 12． 设某 30 岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若 (30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付 5000 元，此后保额每年增加 1000 元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：3 0 3 03 0 3 03 0 3 04 0 0 0 1 0 0 0 ( ) 4 0 0 0 1 0 0 0 A ? ? 其中 7 5 7 5 7 51 1 13 0 3 03 0 3 0 3 0 3 00 0 03 0 3 0 3 03 0 3 1 3 2 1 0 52 3 7
1 1 1( )1 . 0 6 ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )k k k kk k v p q v v dl l ld d d ? ?????? ? ??? ? ?? ? ? ? ??? ? ??7 5 7 5 7 51 1 13 0 3 03 0 3 0 3 0 3 00 0 03 0 3 0 3 03 0 3 1 3 2 1 0 52 3 7 ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 3 7 6( )1 . 0 6 ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )k k k kk k k v p q k v k v dl l ld d d ? ?????? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ??查生命表或者相应的换算表带入计算即可。 13． 某一年龄支付下列保费将获得一个 n 年期储蓄寿险保单： (1)1 000 元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为 750 元。 (2)1 000 元储蓄寿险，被保险人生存 n 年时给付保险金额的 2 倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为 800 元。 若现有 1 700 元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。 10 解：保单 1)精算式为 1 1 1: : : :1 0 0 0 7 5 0 1 7 5 0 1 0 0 0 7 5 0x n x n x n x A A? ? ? ?保单 2)精算式为 1 1 1 1: : : : :1 0 0 0 8 0 0 1 0 0 0 1 8 0 0 2 0 0 0 8 0 0x n x n x n x n x A A A? ? ? ? ?求解得 1 1::7 / 1 7 , 1 / 3 4x n x ，即 1 1: : :1 7 0 0 1 7 0 0 1 7 0 0 7 5 0x n x n x A? ? ? 14． 设年龄为 30 岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度内死亡，则给 付 10 000 元；在第二个保单年度内死亡，则给付 9700 元；在第三个保单年度内死亡，则给付 9400元；每年递减 300 元，直至减到 4000 元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。 15. 某人在 40 岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付 1 元保险金。其中，给定 110,0≤ x≤ 110。利息力 δ =Z 表示保险人给付额的现值，则密度 ? ? ） A. B. C. D. Z v t v? ? ?() 1() 70()1 1 / 1 2( ) ( ( ) ) ( )7 0 l n 7 0 7( 0 . 8 ) 0 . 3 6t x x x tf t pS x z f g z g zv z ??? ???? ? ? ??? ? ? ? ??16. 已知在每一年龄年 设成立，表示式 ? ? ? ? I ?( ) A. 2i ??? B. ? ?21 i?? C. 11d ??D. 1???????解： ? ?1010( 1 ) ( )( ) ( ) ( (1 ) )()( ) ( )(1 )( (1 ) ) 1 1() v E T I A E S v E vs v d vE v dv d s ?????? ?? ? ? ???? ? ? ??? 11 17. 在 x 岁投保的一年期两全保险，在个体（ x）死亡的保单年度末给付 b 元，生存保险金为 e 元。保险人给付额现值记为 Z, 则 )=( ) A. ? ?22q v b e?B. ? ?22q v b e?C. ? ?2 2 2q v b e?D. ? ?2 2 2b q e p?解： ? ? ? ?2 2 2 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2( ) , ( )( ) , ( )()()( ) ( ) ( ) ( )x x x x b v q P Z e v b v q P Z e v b v q e v b v q e v pV a r Z E Z E Z b v q e v p b v q e v p v q p b e? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?第五章：年金的精算现值 练 习 题 1． 设随机变量 T＝ T(x)的概率密度函数为 0 . 0 1 5( ) 0 . 0 1 5 tf t e ???(t≥ 0)，利息强度为 δ ＝ 试计算精算现值 。 0 . 0 5 0 . 0 1 50011( ) 0 . 0 1 5 1 5 . 3 80 . 0 5tt f t d t e d t? ?? ? ? ? ???? ? ? ??? 2． 设 10 , 2 , ? ? 50a ?。试求：（ 1） ? ；（ 2） ? ?
01 2 1 1 4 . 7 511( ( ) ) 5 0 ( ( ) )0 . 0 3 50 . 6 50 . 4 8 3 7 5x x a A AV a r a A A A ???????????? ??? ? ? ? ?????? ? ? ????????????3． 某人现 年 50 岁，以 10000 元购买于 51 岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。 12 4． 某人现年 23 岁，约定于 36 年内每年年初缴付 2 000 元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到 60 岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。 解：2 3 : 3 63 7 | 2 32 3 : 3 6 3 7 | 2
a ? ????? ????其中 3 5 3 5 3
32 3 : 3 60 0 02 3 2 32 3 2 4 2 5 2 6 5 82 3 3
| 2 3 2 3 3 7 2 3 6 0 3 7 2 3 6 02 3 : 3 711 1 1 1 1( )1 . 0 6 (1 . 0 6 ) (1 . 0 6 ) (1 . 0 6 )k k k v p v v l l l a a v p a E a??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ?????? ?? ?? ?? ??8 2 8 2 8
33 7 3 7 3 72 3 2 36 0 6 0 6 2 6 3 1 0 52 3 5
1 1 1( )1 . 0 6 (1 . 0 6 ) (1 . 0 6 ) (1 . 0 6 )k k k p v v l l l ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ??查生命表或者相应的换算表带入计算即可。 习题 5 将 参考课本 年 35 岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付 1000 元，设年利率 i=6%，求下列年金的精算现值。 （ 1） 终身生存年金。 ( 1 2 )3 5 3 51 0 0 0 * 1 2 1 2 0 0 0 [ (1 2 ) (1 2 ) ]???? ?? 其中 12( 1 2 )( 1 2 )12( 1 2 )( 1 2 )( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )0 . 0 5 6 6 0 3 7 7 411 1 0 . 0 5 8 4 1 0 6 0
. 0 5 8 1 2 7 6 6 712(1 2 ) 1 . 0 0 0 2 8 1 0 3 3 , (1 2 ) 0 . 4 6 8 1 1 9 7 5d i ii d i d???????? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? ? ? ? 13 7 1 7 1 7
5 2 30 0 03 5 2 33 5 3 6 3 7 3 8 1 0 52 3 7
1 1 1( )1 . 0 6 ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 ) ( 1 . 0 6 )k k k v p v v l l l ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ????若查 90生命表换算表则 2 1 5 . 6 9 5 4 5 81 2 6 5 1 3 . 8? ? ??? 5． 某人现年 55 岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额 250 元，试在 设 和利率6%下，计算其精算现值。 解： ( 1 2 ) ( 1 2 )5 5 5 5 5
* 1 2 2 5 0 * 1 2 ( ) 2 5 0 * 1 2 [ ( 1 2 ) ( 1 2 ) ]1 2 1 2a a a??? ? ? ? ??? ??其中 12( 1 2 )( 1 2 )12( 1 2 )( 1 2 )( 1 2 )( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 )0 . 0 5 6 6 0 3 7 7 411 1 0 . 0 5 8 4 1 0 6 0
. 0 5 8 1 2 7 6 6 712(1 2 ) 1 . 0 0 0 2 8 1 0 3 3 , (1 2 ) 0 . 4 6 8 1 1 9 7 5d i ii d i d???????? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? ? ? ?7 1 7 1 7
5 2 30 0 03 5 2 33 5 3 6 3 7 3 8 1 0 52 3 7 035
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第四章 人寿保险趸缴纯保费人寿保险精算现值引言?本章主要讨论各种人寿保险趸缴纯保 险费的计算。将建立一系列的寿险模 型,在这些模型中保险金支付的数量是 确定的，给付时间是不确定。我们把 保险金支付的时间和数量看成只依赖 于被保险人死亡的时间，模型是利用 T(x)和K(x)的定义建立的。人寿保险的分类根据不同的标准，人寿保险有不同的分类： （1）以被保险人的受益金额是否恒定进行划分， 可分为：定额受益保险，变额受益保险。 （2）以保障期是否有限进行划分，可分为：定 期寿险和终身寿险。 （3）以保单签约日和保障期是否同时进行划分， 可分为：非延期保险和延期保险。 （4）以保障标的进行划分，可分为：人寿保险 （狭义）、生存保险和两全保险。保险金给付采用的形式??死亡即付的形式在保险期限内，被保险人在保险责任范围内一 旦发生死亡，由保险人立即给付保险金。??死亡年度末给付的形式在保险期限内，被保险人在保险责任范围内发 生死亡，由保险人在死亡的保单年度末给付保 险金。本章的基本思路（平衡原理）确定随机变量T(x)或K(x) ? 写出关于随机变量T或K的给付现值函数ZT或ZK+1 它是一个依赖于赔付时间、赔付金额和贴现函数 的随机变量 . b:代表保险金给付函数，v:代表贴现函数。 Z ? bT vT 定义给付现值函数?Z ? bK ?1vK ?1精算现值=给付现值函数的期望 ? 趸缴纯保费= EZT 或EZK+1???x=?0zt fT (t )dt=∑zk+1*p主要内容安排? ? ? ???死亡年度末给付的寿险（4.2） 死亡即付的寿险（4.1） 死亡即付和死亡年末给付的寿险 的趸缴纯保费的关系（4.3） 利用转换函数计算趸缴纯保费（补充） 变额寿险趸缴纯保费（4.4） 离散型终身寿险趸缴纯保费的递推公式4.2 离散型的人寿保险模型（P56）死亡年末赔付是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡,保险公司将在死亡 事件发生的当年年末给予保险赔付。 ? 由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年 末，所以死亡年末赔付时刻是一个离散随机变 量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险 人签约时的整值剩余寿命加一。可以使用以整 值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。?设被保险人在投保时的年龄为x岁，其未来寿 命整年数为K（x）， P(K ( x) ? k ) ?k px qx?k ?k| qx ? 保险金在K（x）+1处给付，给付数额为bk+1元， vk+1为给付1个单位在签单时的贴现系数， Z ? bK ?1vK。离散型的人寿保险模型下的 则 ?1 一般表达式是： E ( Z ) ? b v q??k ?1 k ?1k | x思想方法: ? 引入随机变量K ? 写出关于随机变量K的给付现值函数ZK+1 ? 求离散型随机变量的平均值定期寿险的趸缴纯保费表示（x）投保保险期限为n年，保险金额为1 单位元，死亡年度末给付的保险的趸缴纯保费。 （1）随机变量为K. k=0,1,2,…n-1 （2）给付现值函数Z Z= 1× V 0k ?1A1 x:n,k=0,1,2,…n-1 ,其他(3)K、Z的分布律K Z P(K=k)0 v qx1 v2 1|qx2 ... n-1 v3 ... vn 2|qx … n-1|qxA1 x:n? EZ ? v ? qx ? v ?1 | qx ? ...v ?n?1 | qx2 n?v k ?1 k | qx ?k ?0n ?1A1 x:1自然保费，是根据每一保险年度，每一被保险人当年 年龄的预定死亡率计算出来的该年度的死亡保险费。A ? cx ? vqx1 x:1例:25岁的人投保了定期5年的人寿保险, 保险金于死亡年末给付, 按中国保险业 经验生命表（年）和利率6%, 计算： ? (1)保险金额为100,000元的趸缴纯保费。 ? (2)投保时一次缴付1,500元的纯保费的 保险金额。?终身寿险的趸缴纯保费? Ax表示（x）投保保险金额为1元，保险 期限为终身，死亡年末给付的寿险的趸 缴纯保费。Ax ? EZ ? ? v k ?1 k | qxk ?0 ??将上例定期寿险改为终身寿险两全保险的趸缴纯保费Ax:n] 表示（x）投保保险期限为n年，保 险金额为1元的两全保险的精算现值。 ? （1）K ? （2）Z= vk+1 k=0,1,2 …n-1 vn k≥ n?（3）K、Z的分布律 k 0 1 2 … n-1 Z v v2 v3 … vn P(K=k) qx 1|qx 2|qx … n-1|qxEZ ? ＝A1 x:n≥ n vn np xv k ?1 k | q x + v n ?n p x ?k ?0n ?1?A1 x :n?例：设年龄25岁的人购买离散型保额为 5000元的5年期两全保险，试求该保单的 趸缴纯保费。延期寿险的趸缴纯保费延期m年的n年定期人寿保险m|A1 x:n表示（x）投保延期m年,保险期限为n年,保险 金为1元死亡年度末给付的寿险的趸缴纯保费。m|A 1 x:n? vm ? n ?1 k ?m?kvk ?1k|qx ?m ?1 k ?0m ? n ?1?k ?0vk ?1k|qx x ? ? v k ?1 q xk ?0k|m ?1?m ? n ?1?k ?0k ?1px qx ? k ? ? v k ?1 px qx ? kk? A1:m ? n ? A1:m x x延期m年的终身寿险m|单位元死亡年度末给付的延期终身寿险 的精算现值。m|Ax 表示(x)投保延期m年保险金额为1Ax ? ? vk ?m?k ?1 k|qx ? Ax ? A1 x:m?例题：某40岁的人,购买了延期10年的定 期15年的人寿保险,若保险金额为20000 元,求其应付的趸缴纯保费.(i=0.06)?试证：m|A1 x:n?A1 x:m?A1 x ?m:n离散型的人寿保险模型 各种寿险趸缴纯保费计算公式小结定期寿险 ? 终身寿险 ? 两全保险 ? 延期m年的终身 ? 延期m年的定期?4.1连续型的人寿保险模型（P46）如果被保险人在保险期内发生保险责任范围内 的死亡,保险公司将在死亡事件发生之后,立刻 给予保险赔付.在实际应用场合,保险公司通常 采用这种理赔方式. ? 由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意 时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机 变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保 险人签约时的剩余寿命。?连续型的人寿保险模型基本思路: ? 确定随机变量T(x)简写为T ? 写出关于随机变量T的给付现值函数ZT ? 精算现值=给付现值函数的均值 趸缴纯保费= E（ZT）n年定期保险的趸缴纯保费?（x）投保连续型的保额为1单位元的n年定期 寿险，其有关函数:bt= vt=ZT=1(t≤n) 0 (t&n)vt1*vT T≤n 0 T＞n __ 1 ? 趸缴纯保费用 A x:n 表示。__? ? ? ?A x:n =E(ZT)=1?= =n0nzt fT (t )dtvt t pxux ?t dte?? t t pxux ?t dt?0?n0v ? e ???,δ 为利力。复习s (x ? t) fT (t ) ? F (t ) ? ? s( x)&#39; &#39; T &#39;? ? ln(1 ? i )1 ?? ?? ?e 1? is( x ? t ) s ( x ? t ) ? [? ] s( x) s( x ? t ) ?t px ? x ?t例题:设生存函数 (0≤x≤100),年利率为0.1,计算: ?1 ? (1)?x s ( x) ? 1 ? 100A25:10??(2)A30:151终身寿险?额为1元，死亡时立即给付保险金的保险趸缴 纯保费。 T ? Z ? bT vT ? v T≥0?A x表示（x）投保保险期限为终身，保险金?Ax =??0zt fT (t )dt=??0e?? t tpxux ?t dt例题 ? 设（x）投保连续型的保险金额为1元的终 身寿险，签单时其未来寿命T的密度函数 ? f (t ) = 1/80 0&t&80 ， 利力为δ。 T ? 0 其他 ? 求趸缴纯保费。?两全保险的趸缴纯保费?? A x:n:表示（x）投保n年期两全保险。若在n年内 死亡保险人立即给付1元，若生存满n年则在第n 年末支付满期保险金1元的趸缴纯保费。 ? 则：ZT= 1*vT T≤n vn T＞n?Ax:n = E(ZT)= ? zt fT (t )dt ? v ?n p xn 0?n= Ax:n ] ? Ax:n1?1延期寿险的趸缴纯保费?? m |险金额为1元，保险金在死亡时立即给付的寿 险趸缴纯保费，则： ? ZT= 0 T≤m ? 1*vT T＞mAx ? ? zt fT (t )dt ? ? e?? t t pxu x ?t dt m|m m ? ? ?A x :表示（x）投保延期m年的终身寿险，保?? e0 ???? tpxux ?t dt ? ? e?? t t pxu x ?t dt t0m? Ax ? Ax:m?1P53:4.1.4?若（x）投保延期m年的n年定期寿险，保险金 额为1元，保险金在死亡时立即给付。趸缴纯 保费用 ? 表示。 Am|1x:n? m|1 Ax:n ] ? ?m?nmzt fT (t )dtm 0??m? n01e?? tpx u x ?t dt ? ? e ?? t t px u x ?t dt t?1 ? Ax:m ? n ? Ax:m??若（x）投保延期m年的n年期两全保险，保险 金额为1元，死亡保险金在死亡时立即给付。 ? 趸缴纯保费用 表示。m|Ax:n]?m|A x:n ] ? m| A x:n ] ? m| A x:n ]1 ? Ax:m?n ? Ax:m ? m| Ax: 1 n 1??11??死亡即付寿险的 趸缴纯保费计算公式小结定期寿险 ? 终身寿险 ? 两全保险 ? 延期m年的终身 ? 延期m年的定期 ? 延期m年的两全?4.3 死亡即期给付和死亡年度末给付的 寿险的关系死亡即期给付模型符合实际，但必须在知 道连续型随机变量的生存函数时才可求得。 死亡年度末给付的寿险计算简便，可直接 利用生命表求，但不符实际。 ? 本节通过适当的假设寻找死亡即期给付和 死亡年度末给付的关系。?Ax ? E ( Z ) ? E (v )T?? E (v k ? s ) ? E (v k ?1 * v s ?1 ) ? E (v k ?1 ) * E (v s ?1 ) ? Ax ? v0 1 s ?1ds? Ax (v s ?1 / ln v ) |1 0 i i ? Ax ( ? )? Ax ln v ??UDD假设下，死亡即期给付和死亡年度末给付 的寿险趸缴纯保费的关系：Ax ??1?i?Ax i1A x:n ????1Ax:n1 x:nA x:n ? A x:n ? A?i?Ax:n ? Ax:1 n1?例题:(25)投保25年期两全保险,保险金 额为1万元,在死亡或满期时立即给付.用 中国人寿保险业经验生命表及年利率 i=6%,在死亡服从均匀分布假设下，计算 该保单的趸缴纯保费。补充：利用转换函数计算趸缴纯保费? ? ?令：Dx= vx* lx Nx=Dx+Dx+1+…=?Dt ?0?x ?tSx=Nx+Nx+1+Nx+2+… =?Nt ?0?x ?t?令：Cx= vx+1* dx?Mx=Cx+Cx+1+Cx+2+…= ? C x ?tt ?0???Rx=Mx+Mx+1+Mx+2+…= ? M x?t t ?0?利用转换函数可得：v k ?1d x ? k Ax ? ? v k ?1 k | qx ? ? lx k ?0 k ?0? ?v x ? k ?1d x ? k 1 ?? ? x v lx Dx k ?0??Ck ?0?x?kMx ? DxA ? ?1 x:n ??v k ?1 ?k ?0 kn ?1k |qx? k |v k ?1 ?k ?0 ?q x ? ? v k ?1 |k ?nqx?k ?0? v k ?1d x ? k v k ?1d x ? k ?? lx lx k ?n? ? 1 ? (? C x ? k ? ? C x ? k ) Dx k ? 0 k ?nM x ? M x?n ? DxAx:1 nlx? n v x ?nlx? n Dx? n ? v n n px ? v n ? x ? lx v lx DxAx:nM x ? M x ?n Dx ?n M x ? M x ?n ? Dx ?n ? ? ? Dx Dx DxM x?m m | Ax ? Dxm|m|A1 x:nM x?m ? M x?n?m ? DxAx:nM x ? m ? M x ? n? m ? Dx ? n? m ? Dx例题： ? 计算保险金额为1元的下列保单，在20岁 签发时的趸缴纯保费。设死亡给付发生 在保单年度末，利率为6%。 ? （1）终身寿险 ? （2）25年定期寿险 ? （3）30年两全保险?4.4 变额寿险（离散型寿险模型）?变额寿险指保险金额随保险时期不同而变 动的寿险，通常可以被看成几个定额寿险 的组合。例如:假定（x）在投保10年内死 亡，给付20000元；投保10年后死亡，给付 10000元的终身寿险，可以看成…变额寿险一般情况假设（x）购买一终身寿险保单，约定死 亡年度末给付bk+1,则该保单的趸缴纯保 费为多少？ ? 基本方法 ? 险种组合??（1）K?（2） Z= b v k ?1 k ?1（3） EZ=bk ?1v k ?1k | qx ???(30)投保5年期的定期保险，该保单规定， 如果在第一个保单年度死亡年末给付保 险金额10000元，在第二、三个保单年度 死亡给付20000元，在第四、五个保单年 度死亡给付50000元。计算该保单的精算 现值。递增型终身寿险?设（x）自投保之日起,在第一个保单年度死 亡,则年末给付1单位元，…在第k+1个保单 年度死亡则年末给付k+1单位元.如此直至被 保险人死亡为止。用 ( IA) x 表示该险种的趸 缴纯保费。(1)k 0,1,2… k+1 (2) bk+1 =k+1 ; Z=bk+1v ? (3) ( IA) x ? EZ ? ? (k ? 1)v k ?1k px qx ? kk ?0?? ? x ?1?k ?0(k ? 1)v k ?1k px qx ? kP64:例4.4.2?换个角度:( IA) x ? Ax ? 1| Ax ?引入 ? 从而?? t ?02|Ax? ...Rx ? ? M x ?tRx ( IA) x ? Dx按算术数列递增的终身寿险,实际上是一系 列延期终身寿险所构成的.保额递增的n年定期寿险?设（x）自投保之日起，在第一个保单年度死 亡则年末给付1单位元，在第二个保单年度死 亡则年末给付2单位元，...在第n个保单年度 死亡则年末给付n单位元。用 ( IA)1 :n] 表示该险 x 种的趸缴纯保费。(1)k ? (2) b?0,1,2..n-1k+1=k+1 ; Z=bk+1vn ?1 k ?0k+1( IA)1 :n ] ? EZ ? ? (k ? 1)v k ?1k px qx ? k ? (3) x?换个角度:1 1 1 ( IA)1 :n ? Ax:n ?1| Ax:n ?1 ? ... ? n ?1| Ax:1 xM x ? M x ? n M x ?1 ? M x ? n M x ? n ?1 ? M x ? n ? ? ? ... ? Dx Dx Dx( IA)1 x:nRx ? Rx ? n ? nM x ? n ? Dx?例:设（25）购买离散型的递增的30年期 定期保险,保险利益是:被保险人在第一 个保单年度内死亡,则年末给付1000元, 在第二个保单年度内死亡,则给付1100元, 依次下去,在第三十个保单年度内死亡, 则给付3900元,计算该保单的趸缴纯保费.递减的n年定期寿险(DA)1x:n 表示(x)投保保额递减的n年定期保险的趸 ?缴纯保费。被保险人在投保第一年内死亡在死 亡年末给付保险金n单位元,在投保第k+1年内死 亡在死亡年末给付保险金n-k单位元,在投保第n 年内死亡在死亡年末给付保险金1单位元。(1) bk ?1 ? n ? k , (k ? 0,1,..., n ? 1) vk ?1 ? v k ?1 (2) Z ? bk ?1vk ?1 ? (n ? k )v k ?1 , (k ? 0,1,..., n ? 1) (3)( DA)1 :n ] ? EZ ? ? (n ? k )v k ?1 | qx xk ?0 k n ?1?设年龄30岁的人投保离散型的递减的20年定期 保险.保险利益是:被保险人在第一个保单年内 死亡,年末给付保险金5000元,在第二个保单年 内死亡,给付保险金4900元,…,直到在第二十 个保单年内死亡,给付保险金3100元,试求该保 单的趸缴纯保费.4.5 递推公式 不同年龄的趸缴纯保费，是否存在相互 关系？ ? 本节以终身寿险为例，推导其趸缴纯保 费在离散型下递推公式。?离散型终身寿险趸缴纯保费的 递推公式?对于保险金额为1元的终身寿险Ax ? vqx ? vpx Ax?1?因为 px=1-qxAx ? vAx?1 ? vqx (1 ? Ax?1 )已知 :A76=0.8, D76=400, D77=360, i=0.05. ? 求:A77?练 习计算下列保单在45岁签发时的趸缴纯保费 (1)保险金额为500元，死亡年度末给付的 终身寿险。 (2)保险金额为1500元，死亡年度末给付的 15年定期寿险。 (3)保险金额为2000元，死亡年度末给付的 20年两全保险。(4)保险金额为2500元，死亡即期给付的终 身寿险。 (5)保险金额为3000元，死亡即期或满期给 付的10年期两全保险。 (6)保险金额为3500元，延期5年定期10年 死亡年末给付的寿险。?(30)购买一寿险保单，保单约定若该人 在60岁以前死亡，则在死亡时立即给付 10000元。若该人至60岁时仍生存，则给 付生存保险金20000元，用中国人寿保险 业经验生命表及年利率i=6%,在UDD假设 下，计算该保单的趸缴纯保费。?(35)购买10年期寿险，保单规定该人在 第一年死亡，年末给付5000元，第二年 死亡年末给付6000元…在第十年死亡年 末给付14000元，利用附表计算该保单精 算现值。?(40)购买了一份递减的5年定期寿险保单， 被保险人在投保第一年内死亡在死亡年 末给付保险金50000元，被保险人在投保 第二年内死亡在死亡年末给付保险金 40000元，…利用附表计算趸缴纯保费。P67-68 ? 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 9 ? 10 ? 11 ? 12
5.某人现年 55 岁,在人寿保险公司购有终身生存年金,每月末给付年金额 250 元, 试在 UDD 假设和利率 6%下,计算其精算现值。 6.在 UDD 假设下,试证: (1)...《保险精算(1) 》第 5 周习题 1、 分别在死亡均匀分布和死亡力恒定的假设下,用 304 页附表(男女混合概率 表)给出的生命表计算: (1) 1 q25 ;(2) 1 ...0.5 0.4 0 0 qx 0.1 0.17 0.2 0.5 0.6 1 0 1、生存保险是...其精算现值以 n ax:m 来表示(√)| 8、保单费用与保险金额或保险费无关(√...保险精算 第五章 年金的精算现值-练习题答案_理学_高等教育_教育专区。第五章 年金的精算现值 1、 a x ? ? ? 0 vt t px dt ? ? e ?? t 0 ? ??...寿险精算现值的递推方程式 5. 利用换算函数计算寿险精算现值 C、生命年金的精算现值(分数比例约为 5%) 、生命年金的精算现值 分数比例约为 1. 离散型与连续型的...保险精算习题及答案 - 第一章:利息的基本概念 练习题 1.已知 a ? t ? ? at 2 ? b ,如果在 0 时投资 100 元,能在时刻 5 积累到 180 元,试确定在...资产评估专家指引第5号――寿险公司内部精算报告及价值评估中的利用_财务管理_经管营销_专业资料。《资产评估专家指引第5号――寿险公司内部精算报告及价值评估中的...保险从业资格考试第五套(含答案)_财会/金融考试_资格考试/认证_教育专区。保险...保险公司的精算等相关部门每年都要计算盈余中可作为红利分配的数额, 并由公司...依据日中国保监会颁布的《人身保险新型产品精算规定》,分红保险不适用于下列哪种产品形式?() A.终身寿险 B.年金保险 C.健康保险 D.两全保险_答案...保险考试试题五 - 是非题(第 1 题) ,请判断题目描述是否正确。该题分值:1 根据我国《保险法》的规定,保险人不得兼营财产保险业务和人身保险业务。但是,经营财...
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