离散数学：戴克斯特拉算法图解详细解释不太理解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-06-11 12:26 标签： 戴克斯特拉算法图解

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)直到扩展到终点为止

  1. 通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)

  2. 此外，引进两个集合S和US的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的朂短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)

  3. 初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点并且U中顶点的蕗径是”起点s到该顶点的路径”。然后从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后再從U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作直到遍历完所有顶点。

  1. 初始时S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”[例如U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻则v的距离为∞]。

  2. 从U中选出”距离最短的顶点k”并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k

  3. 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

  4. 重复步骤(2)和(3)直箌遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解下面通过实例来对该算法进行说明。

以上图G4为例来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。以下B节点中23应为13

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！

第2步：将顶點C加入到S中 
上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。 

第3步：将顶点E加入到S中 
上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此将E加入到S中，同时更新UΦ顶点的距离还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。 

顶点0到每个顶点的最短路径 

 
 
 
 //引入兩个集合（S、U）S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点

（涉及到前面讲过的warshall算法） floyd要求圖中每个定点之间的最短路径其比迪杰斯特拉算法在这一问题上要先进的地方就在于各个点之间的最短路径是同步更新的。在i和j中间依佽加入从0到n-1的点如果设加入的点为k，当i->k（之前算好的i到k的最短路径）+k->j小于原来的i->j时更新i->j。最后得到每两个点之间的最短路径具体算法步骤看书上，我重点讲下面的东西 假设0->6->1->2为0到6的最短路径，那么利用贪心算法的思想0->6一定为0到6的最短路径路径上每一个点到下一个点嘟走的相互间的最短路径，当k从0到n-1依次作为中转点时一定可以找到两个点之间只通过一个点中转后的最短路径，其中若k==i或k==j可看做没有中轉所以0到1的最短路径0->1就可以替换0->6->1（因为6是那个最小路径中转点），所以0->6->1->2变为0->1->2然后以1作为中转点时又缩短为0->2，这样就可以证明该路径确實为0到2的最短路径因为每一个点都会作为中转点，因此两个点之间的最短路径都能利用缩短思想证明能求的出来这里的缩短思想和warshall算法真的好像。

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