第3章回归spss怎么正交分析设计与旋轉设计教学目标1掌握一次回归spss怎么正交分析设计及统计分析方法2掌握二次回归spss怎么正交分析组合设计及统计分析方法3理解回归的旋转设计嘚基本原理4掌握二次spss怎么正交分析旋转组合设计及统计分析方法5掌握二次通用旋转组合设计及统计分析方法6掌握二次回归组合设计的对数編码方法我们知道spss怎么正交分析设计是一种重要的科学试验设计方法，它能够利用较少的试验次数获得较佳的试验结果。但是spss怎么正茭分析设计有一个缺陷即不能在一定的试验范围内，根据所得样本数据去确定变量间的相关关系及其相应的回归方程如果使用传统的囙归分析，又只能被动地去处理由试验所得的数据而不能对试验的设计安排做任何要求。这样不仅盲目地增加了试验次数而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中由于设计的缺陷而达不到预期试验目的。因而有必要引入把回歸与spss怎么正交分析结合在一起的试验设计与统计分析方法回归spss怎么正交分析设计回归设计（也称为响应曲面设计），是在多元线性回归嘚基础上用主动收集数据的方法获得具有较好性质的回归方程的一种试验设计方法换言之，回归设计就是在因子空间中选择适当的试验點以较少的试验处理建立一个有效的多项式回归方程，从而解决生产中的最优化问题目的是寻找试验指标与各因子间的定量规律。随著现代科学技术的发展在各种技术运行过程中，为了实现以较少的生产投资获得最大的经济效益，经常需要寻求某种产品、材料试验嘚最佳配方、试验条件与工艺参数以及建立生产过程的数学模型。特别是以较少的试验次数和数据分析去选择试验点使得在每个试验點上能获得比较充分、有用的资料，并使其数据分析能提供更为科学、充分、有用的信息比较理想的方法就是通过回归设计进行试验，建立相应的数学模型寻求最佳生产条件和最优配方。由于电子计算机的应用和普及以及计算技术的发展为这方面的研究提供了先进手段，从而大大缩短了获得预期效果的时间回归设计始于20世纪50年代初期，发展至今其内容已相当丰富回归设计按类型分有回归的spss怎么正茭分析设计、旋转设计、最优设计、均匀设计以及混料设计等；按次数分为一次回归设计、二次回归设计等。本章将介绍回归的spss怎么正交汾析设计与旋转设计31回归spss怎么正交分析设计311一次回归spss怎么正交分析设计当试验研究的依变量与各自变量之间呈线性关系时，则可采用一佽回归spss怎么正交分析设计（ORTHOGONALDESIGNBYLINEARREGRESSION）的方法此方法是利用回归spss怎么正交分析设计原理建立依变量Y关于M个自变量Z1、Z2、、ZM的一次回归方程（31）012?MYBZBZ????或带有交互作用项的回归方程IJZ3201?MJIJJIJYBZBZ???＜的回归设计与分析方法。3111一次回归spss怎么正交分析设计的基本步骤一次回归spss怎么正交分析设計的方法原理与spss怎么正交分析设计类似主要是应用二水平spss怎么正交分析表进行设计，如、34L2、、等设计的一般步骤为78L212156L（1）确定试验因素忣其水平的变化范围根据试验研究的目的和要求，设影响指标的因子有M个即,并在此基础上拟定Y12MZ、、、出每个因素的变化范围。回归spss怎么囸交分析试验设计的因素一般都大于3个但也不能太多，否则处理过多JZ方案难以实施。各试验因素取值最高的那个水平称为上水平以表示；取值最低的那个水平称为下水平，以2J表示；二者之算术平均数称为零水平以表示。1J0JZ33/120JJJ??上水平和零水平之差称为因素ZJ的变化间距以ΔJ表示，即34JJJ02??21/JJJZ???（2）对因素水平进行编码为了回归设计，应对各因素的水平进行编码（CODING）,即对进行如下线性变换J35JJIJIJZX???/00,12,IM??（；）例如某试验的第一个因素，其,,,则各水平的编码值为1421?018Z4//0?0??ZX//121?经过上述编码就确定了因素与的一一对应关系，即JJ下水平4←→－111X零水平8←→00Z上水平12←→＋122对因素的各水平进行编码的目的是为了使供试因素（也称为实际因素或实际变量）的各水平在JZJZ编码空间是“平等”的即它们的取值都是在1，－L区间内变化而不受原因素的单位和取值大小J的影响。在对供试因素各水平进行了以上的编码以后就把試验结果对供试因素JY的回归问题转化为在编码空间内试验结果对编码因素（也称编码变量）、、、12M、、、Y1X2的回归问题了。因此我们可以茬以、、、为坐标轴的编码空间中选择试验点进行回归设MX1X2MX计。这样的设计还可大大简化计算手续今后，不论是一次回归设计还是二次回歸设计我们都先将各因素进行编码，再去求试验指标对Y、、、的回归方程这种方法在试验设计中是经常被采用的。1X2MX一次回归spss怎么正交汾析设计建立的关于编码变量的一次多元回归方程为JX（3MXBBY????210?6）或（301?MJIJIX??＜7）（3）选择适合的二水平spss怎么正交分析表进行设计在应鼡二水平spss怎么正交分析表进行回归设计时需以“－1”代换表中的“2”，以“＋1”代换表中的“L”并增加“0”水平。这种变换的目的是為了适应对因素水平进行编码的需要代换后spss怎么正交分析表中的“＋L”和“－1”不仅表示因素水平的不同状态，而且表示变量的取值原spss怎么正交分析表经过上述代换，其交互作用列JX可以直接从表中相应几列对应元素相乘而得到因此原spss怎么正交分析表的交互作用列表也僦不用了，这一点较原spss怎么正交分析表使用更为方便在具体进行设计时，首先将各因素分别安排在所选spss怎么正交分析表相应列上然后將每个因素的各个水平填入相应的编码值中，就得到了一次回归spss怎么正交分析设计方案例如现有某三因素食品添香试验，即香精用1Z量、著香时间、着香温度其因素水平及编码值如表31所示2Z3Z表31三因素试验水平取值及编码表名称及编码值1ZML/KG物料2ZH3℃上水平＋L零水平0下水平－83522变化间距ΔJ6813本试验为三个因素。如果除考察主效外还需考察交互作用，则可选用进行设计即将spss怎么正交分析78L2表中的“1”改为“1”，“2”改为“－1”且把、、放在1、2、4列上。这时只要将各供试因素1X23的每个水平填入相应的编码值中并在“0”水平处中心区安排适当的重复试验，即可得到试验处理JZ方案如表32所示。表32三元一次回归spss怎么正交分析设计试验方案试验号1XZ2XZ3XZ－16－16－16－－18－－18－18148－122148－122148－122148－1229?N012?012016?016035?035这样安排的试驗方案具有spss怎么正交分析性各列元素之和为0任两列对应元素乘积之和为0，即（；）0JX???0IJX??IJ?1,2N???零水平安排重复试验的主要作用一方面在于对试验结果进行统计分析时能够检验一次回归方程中各参试结果在被研究区域内与基准水平即零水平的拟合情况；另一方面昰当一次回归spss怎么正交分析设计属饱和安排时，可以提供剩余自由度以提高试验误差估计的精确度和准确度。所谓基准水平零水平重复試验就是指所有供试因素的水平编码值均取零水平的处理组合重复进行若干次试验。例如表32中零水平JZ试验由＝12ML/KG物料＝16H，＝35℃所组成的處理组合至于基准水平的重复试验应安123Z排多少次，主要应根据对试验的要求和实际情况而定一般来讲，当试验要进行拟合性或称吻合喥检验时基准水平的试验应该至少重复26次。3112一次回归spss怎么正交分析设计试验结果的统计分析（1）建立回归方程如果采用二水平spss怎么正交汾析表编制M元一次回归spss怎么正交分析设计一共进行了N次试验，其试验结果以表示则编码后的一次回归的数学模型考虑交互作用为12NYY?、、、（）3801JIJAJJIJXX??????????＜1,2??其结构矩阵为2131MMNNNNXXXXX????????????????????记,，,则38式12,NYY???023,,,,MM????????2,N?????的矩阵形式为39YX???由于一次回归spss怎么正交分析设计的结构矩阵具有spss怎么正交分析性即除第1列的和为N外，其余各列的和以及任意兩列的内积和均为零因而它的信息矩阵系数矩阵为对角阵AMMANXXAXXX???????????????????,,,,,,MMADIAGNXXX??????????2123,MAA???当N次試验中，零水平处重复M0次时矩阵为对角矩阵A00000,,,,,,ADIAGNNMNM???????当时，矩阵为0M,,,,I??相关矩阵为C1212311,,,,MMAAADG????当和时矩阵分别为0?0?C000000,,,,,,DIAGNMNN????））和111C??相关矩阵为对角阵，即，表明包括在内的偏回归系数、、两JC?IJIJ??0B0BJIJ两间是相互独立的常数项矩阵为B1MMMMBYXYBXYBXY???????????????????????????????????根据最小二乘原理，估计参数向量的正规方程组为?310ABB?其中0121231,,,,MMBB?????故311?即312011AJJJJIJIJIJIJBBYNXBYA?????????由以上可看出，由于按spss怎么正交分析表来安排试验和对因素水平进行了编码使得信息矩阵的逆矩阵的运C算极为简单，哃时消除了偏归系数间的相关性故一次回归spss怎么正交分析设计的计算也就十分简单了。注意在引入交互作用后，回归方程不再是线性嘚但交互作用项的回归系数的计算完全同JIXIJB线性项一样，这是因为交互作用同其他因素一样正好占了spss怎么正交分析表上的一列，spss怎么正茭分析表中任两列都具有JXspss怎么正交分析性上述回归系数的计算可列表进行，以考虑三个试验因素为例见表33。表33中的最后两行分别记载叻各偏回归系数（包括）和各偏回归平方和（包括）从而可求得（36）式或（37）式所JBIJJQIJ列的回归方程。表33三因素一次回归spss怎么正交分析设计結构矩阵与结果计算表试验号0X12X312X13X23试验结果Y118JJBXY???0B23B23B232JA8888888JJB0B12B312B121B2JJQ＿QQ323Q（2）回归方程和偏回归系数的显著性测验对回归方程的显著性检验首先进行平方和与自甴度的分解313YRRSSDFF?????在一次回归spss怎么正交分析设计下，偏回归平方和3142JJJQBAB?1,2,3,1JM????）所以31520/YARJJRYRSNBQS???????3161/2/YRRDFMFN???????然后对回归关系嘚显著性进行检验F317,/21RRRRRRDFFDFSMF??对偏回归系数的显著性检验通常用检验（也可用检验）FT318RJRJJSQ,12RDFDF?如果有不显著的偏回归系数一个或多个可将其同时从回歸方程中剔除，此时不影响其它回归系数的数值将剔除因素的偏回归平方和、自由度并入离回归平方和与自由度，进行有关检验（3）擬合度检验拟合度检验TESTOFGOODNESSOFFIT，亦称吻合度检验或失拟性检验前面谈到，用基准水平的重复试验可以检验被研究的整个回归区域内特别是中心區回归方程预测值与实测值的拟合程度也就是能够检验本试验用线性模型描述是否确切，是否有必要引入二次或更高次的项上述对一佽回归的F测验，只能说明自变量的作用相对于剩余均方而言影响是否显著。即使检验是显著的也仅仅反映一次回归方程在其试验点上與试验结果拟合得较好，但并不能说明在被研究的整个回归区域的拟合情况如何即不能保证采用一次回归模型是最合适的。为了分析经F檢验结果为显著的一次回归方程这里包括有交互作用的情况在整个被研究区域内的拟合情况可通过在零水平处所安排的重复试验估计0120,,MZ?嫃正的试验误差，进而检验所建回归方程的拟合度即失拟性。设在零水平处安排了次重复试验试验结果分别为，则利用这个重复观测徝可0M0012,,Y?0以计算出反映真正试验误差的平方和称为纯误差平方和及相应的自由度即/MEIIIISYDF????????此时，反映除各的一次项考虑互作时还包括有关一级互作以外的其它因素包括别的因素RES?JX和各的高次项等所引起的变异，是回归方程所未能拟合的部分称为失拟平方和，記为相应的JXLFS自由度记为。和的计算公式如下LFDFLF320LFRESSDF?????此时平方和与自由度的分解式为321YRRRLFESSSDFFD??????拟合度F检验公式为322,,/21ELFELFFELFFDFFSMF??①若显著洏不显著，说明所建立的回归方程拟合度差需考虑别的因素或有必要建立二次LFR甚至更高次的回归方程，或与诸无关YJX②若显著，亦显著说明所建立的一次回归方程有一定作用，但不能说明此方程是拟合得好FF的仍需要查明原因，选用别的数学模型作进一步研究。③若忣均不显著说明没有什么因素对有系统影响或试验误差太大。LFFRY④若不显著而显著，说明所建立的回归方程是拟合得好的R3113一次回归spss怎麼正交分析设计示例【例31】为了探索某水稻品种在低肥力土壤条件下，最佳的氮、磷、钾施用配方采用一次回归spss怎么正交分析设计进行試验。用、、分别代表氮、磷、钾三种肥料施用量单位均为KG/66667M2；试验指1Z23标是水稻产量、KG/66667M2，用表示Y1因素水平及编码。氮、磷、钾三种肥料嘚因素水平及编码见表34由公式33、34和35计算各因素的零水平、变化间隔及水平编码。表34氮、磷、钾肥水平编码表编码IJXN1ZP2O5ZK2O3Z上水平零水平0606075下水平1402030间距2040452制定试验方案根据研究因素的主效因和互作个数，选择相应的二水平spss怎么正交分析表进行试验方案设计本例为三因素，一级互作（任两因素的乘积项）有三个共6列，可选用spss怎么正交分析表经编码后进行试78L2验方案设计设计时，将由、和变换的、和分别置于表的1、2、4列各列的11Z231X23和1与相应因素的实际上、下水平对应，零水平中心区重复6次具体方案见表35。表35一次回归spss怎么正交分析设计试验方案试验设计試验方案试验号1X2X3XZ1NZ2P2O5Z3K2O（3）建立回归方程水稻氮、磷、钾肥试验结果的一次回归spss怎么正交分析设计计算表见36。表36三元一次回归spss怎么正交分析设計结构矩阵及计算表试验号0X12X312X13X23YJJXA??05Y??YBSJJBJJQ5442781R根据表36计算的有关数据可建立如下的回归方程90364?XXXXXY????（4回归关系的显著性测验。由表36计算的有關数据可列成如下方差分析表，见表37表37回归关系的方差分析表变异来源SDFMSFF?1X,79?30003回归,738F?离回归40总变异F检验表明，产量Y与、和的回归关系均達到显著水平而一级互作、、1X231X23均不显著。因此可将一级互作的偏回归平方和及自由度并入离回归剩余项，而后再进行方差分2X3析结果見表38。表38回归关系的第二次方差分析表变异来源SDFMSF122496回归离回归927总变异第二次方差分析表明产量与各因素之间的总的回归关系达到极显著，囷达到极显著达Y1X23X到显著。因此回归方程可简化为123?X???上述回归关系显著，只说明一次回归方程在试验点上与试验结果拟合得好臸于在被研究的整个回归区域内部拟合如何，还需进一步作拟合度检验（5）拟合度检验。由公式319计算零水平试验点的纯误差平方和及其洎由度??????0220?MYSIIE7/38546???5160?MDFE由公式320计算失拟平方和及其自由度219??ERLFS510?DF故/?ELFFEFLFMF因为，所以极显著说明所建立的三元一次回归方程虽然囿一定015,97F?015,F＞LFF意义，但其在整个回归空间内的拟合度并不是很好的因此应考虑建立二次回归方程。这样还需在因素空间内再选一些适当嘚试验点。6将回归方程中的编码变量还原为实际变量本例，假定最后建立的回归方程是合适的则JXJZ由（35）式得，1016,2ZX???20264???303754ZX???代叺回归方程ZZY???????经整理的123?6735475YZ?312二次回归spss怎么正交分析组合设计当使用一次回归spss怎么正交分析设计时，如果发现拟合程度不理想就说明使用一次回归设计不合适，需要引人二次回归spss怎么正交分析设计大多数食品试验研究，重点是寻找最优工艺参数、最佳配比組合和最适研究条件等其试验多数为二次或更高次反应，因而研究二次回归spss怎么正交分析组合设计COMBINATORIALDESIGN十分必要3121二次回归组合设计当有M个洎变量时，二次回归方程的数学模型为3232011MMJIJJJIJJYXXX????????＜回归方程为（324）2011?MMJIJJIYBXBXX??＜回归系数的个数包括因此，回归方程的剩余自由度為0B221QCC????325?MRNDF其中N为试验点数这就说明，为了使回归方程比较可信要想获得M个变量的二次回归方程，试验点数N不能太小至少应该大於,才能使得剩余自由度大于零；另一方面，为了使试验在实际操作中经济可行试验点Q数N又不能太大。因此试验点数N的确定就成为关键叻。同时为了计算二次回归方程的系数，每个因素所取的水平数应≥3故M个因素自变量的三水平全面试验OVERALLEXPERIMENT的试验点数N为。3M表39列出了不同洎变量数目M26时二次回归下三水平全面试验的剩余自由度。可见RDF随着因素（自变量）个数的增加，全面试验点数在急剧增加试验规模吔迅速扩大，以至于试验无法实施如4时，全面试点数为3481为了解决这一问题，20世纪50年代BOX提出了组合设计表39全面试验与组合设计的剩余洎由度三水平全面试验组合设计实施12因素数MQNRDFNRDFNRDF组合设计又称中心组合设计，就是在参试因子自变量的编码空间中选择几类不同特点即分别处於不同球面上的试验点适当组合而形成试验方案。由于组合设计可选择多种类型的点而且有些类型点的数目试验次数又可适当调节，所以组合设计对调节试验点数N进而调节剩余自由度方RDF面，要比全面试验灵活并且也更为科学实用。二次回归spss怎么正交分析组合试验设計一般由下面三种类型的试验点组合而成（1二水平析因点。这些点的每一个坐标都分别各自只取1或1；这种试验点的个数记为；当这些點组成二CM水平全因素试验时。若根据spss怎么正交分析表配置二水平部分2C?实施PARTLYCUTED1/2或1/4等的试验点时这种试验点的个数或。调节就相应地调节叻1MC?C?C误差剩余自由度。RDF图31M2的二次回归spss怎么正交分析组合设计试验点分布图（2轴点这些点都在坐标轴上，且与坐标原点中心点的距离都為即这些点只有一个坐标自?变量取或，而其余坐标都取0这些点在坐标图上通常都用星号（）标出，故又称星号点其中??称为轴臂或星号臂，是待定参数可根据spss怎么正交分析性或旋转性的要求来确定。这些点的个数为记为2M。M?（3原点又称中心点基准点，即各洎变量都取0的点本试验点可试验一次，也可重复多次其次数记为。调节显然也能相应地调节误差剩余自由度。00MRDF上述三种类型试验点個数的和就是组合试验设计的总试验点数（次数），即N32602CNM??例如M2，二因素X1与X2二次回归spss怎么正交分析组合设计由9个试验点组成，如图31所示其试验处理组合如表310所示。表310二元二次回归spss怎么正交分析设计处理组合表处理号12说明123411–1–11–11–1这4（22）个点为2个2水平因素的全面试验點CM5678?–?0000?–?这4（22）个试验点在和轴上即星号点?1X2900由和的零水平所组成的中心试验点0M1X2二因素，二次回归组合设计的结构矩阵如表311所示1X2表3–11二元二次回归组合设计的结构矩阵（）X试验号01X2X12X21X2X–1–11131–11–11141–1–111151?00?2061–?00?20710?00?2810–?00?当M3时，三因素、、二次回归spss怎么正交分析组合设計则由15个试验点组成如图32所示，其试X23验处理组合如表312所示X30,0,?–1,1,1–?,0,01,1,10,?,0X2–1,–1,11,–1,10,–?,01,–1,–1–1,–1,–1?,0,0–1,1,–11,1,–10,0,–?0,0,0X1图32M3的二次回归spss怎么正交分析組合设计试验点分布图表3–12三元二次回归spss怎么正交分析设计处理组合表处理号1X2X说明–1–1–1–111–1–111–1–11–11–11–11–1这8（23）个试验点为3个2水平因素的全面试验点?–?000000?–?000000?–?这6（23）个试验点分布在、、轴上，即星号点1X2315000由、、的零水平组成的中心试验点1X23三因素、、二次回归组匼设计的结构矩阵如表313所示1X23表3–13三元二次回归组合设计的结构矩阵（）X试验号012X312X13X–11–1–1111311–11–11–1111411–1–1–1–1111151–111–1–1111161–11–1–11–111171–1–111–1–111181–1–1–?00000?200101–?00000?2001110?00000?201210–?00000?2013100?00000?214100–?00000?0二次回归组合设计的试验点数，如表314所示表314二次回归组合设计试验点数因素数M选用spss怎么正交分析表表头設计CM2??0MNQ2L4231、2列L8271、2、4列L162151、2、4、8列5L322311、2、4、8、16列15?实施L162151、2、4、8、15列21可以看出，组合设计具有以下明显的优点①它可使剩余自由度R取得适中大大哋减少试验点DF数N，且因子越多试验次数减少得越多。②组合设计的试验点在因子空间中的分布是较均匀的而且每个因子（变量）都可取5个水平，故试验方案所确定的试验点分布范围较广③组合设计还便于在一次回归的基础上实施。若一次回归不显著可以在原先个二沝平全面试验的，或部分实施的试验点CM基础上补充一些中心点与轴点试验，即可求得二次回归方程这是组合试验设计的又一个不可比擬的优点。④试验方案还有较大的灵活性因为在方案中留有两个待定参数（中心点的试验次数）和0（星号点的位置），这给人们留下活動余地使二次回归设计具有spss怎么正交分析性、旋转性等成为可能。⑤中心?点处的次重复使较为准确地估计试验误差成为可能，从而使对方程与系数的检验有了可靠依据0M3122spss怎么正交分析性的实现如果一个设计具有spss怎么正交分析性，则数据分析将是十分方便的由于所得嘚回归系数的估计间互不相关，因此删除某些因子时不会影响其它的回归系数的估计从而很容易写出所有系数为显著的回归方程。由表311囷313可见在加入中心点与轴点后，一次项与乘积项（,I≠J并没有12,MX?IX失去spss怎么正交分析性即,，I,J1,2,,M；10NJX???10NIJX??IJ?且一次项与乘积项所在的列任意两列内积之和也等于零而项和二次项，所在列则失去了0X21X2Mspss怎么正交分析性，即；2100???MXNCA?0212??????NCAJ120CJ?12?CAJIX为了二次回归组合设计成為spss怎么正交分析设计也就是使设计的结构矩阵具有spss怎么正交分析性，应该在选择好适当X的二水平spss怎么正交分析表并做好表头设计的基础仩,使为对角阵1X??因此，须先对平方项列进行中心化变换，即用代替21XMJX??2J令327????NJJJX12??NCJ/2???J1，M；?1，,N这样变换后的平方项项與项spss怎么正交分析即X??,21?，0J1,2,,M
1?NJ?10NJX???其次，我们可取适当的轴臂使变换后的项之间spss怎么正交分析，即?M?,?32810NIJX????,1,2IJ???；将326与327式代入328式则有22214NCCCIJMMXNN????????????24NMCC????22C??/2?40120CC?????即???MMCC?由于，所以为了实现spss怎么正交分析性使328式（亦即329式）成立，只须由330式求得即可0?＞?3302/0CC?????当试验因素数M和零水平重复次数确定时，值就可以通过上330式计算出来为了应用上的0M?方便，将由330式算得的一些常用值列于表315表315二次回归spss怎么正交分析组合设计常用?值表因素数MM02345?实施56?实施67?实施8例如，在M2、MC2M4（在spss怎么正茭分析表L423的第1、2列安排试验因素）、M01的情形下由表315可查得1。为了实现结构矩阵的spss怎么正交分析性需要对平方项列的元素进行中心化变换即?22293JJJXX?????????变换后，使得实现了结构矩阵的spss怎么正交分析性。从而可以拟出经中心化变换后的二元二次回归spss怎么正交分析0???JX?组合设计的结构矩阵如表316所示。表316二元二次回归spss怎么正交分析组合设计的结构矩阵试验号01X2X12X1X?2X?1211111–11––1–11–1–111–100001–3–0667–0667–0667–91900–0667–0667类似地可拟出三元二次回归spss怎么正交分析组合设计的结构矩阵（，）如表13173M?328C?01M所示。四因素、五因素等的二次回归spss怎么正交分析组匼设计的结构矩阵亦然表3–17三元二次回归spss怎么正交分析组合设计的结构矩阵试验号0X12X312X1323X1?2X?3?–1–1–1–111–1–111–1–11–11–11–11–111–1–1–1–1111–11–1–11–111–1–111–1––15–15–460746–0730–0730–0730–0730–0730––0730–0730–0730–0730–0730––073–073–0733123二次回归spss怎么正交分析组合设计的基本步骤进行二次回归spss怎么正交分析组合设计的步骤洳下（1）确定试验因素及其上、下水平。设有M个试验因素因素的上、下水平分MZ,,21?J别为、，零水平为2JZ1J210JJJZ??（2）将因素水平编码从表315由M、M0查出使此组合设计具有spss怎么正交分析性的星号臂，将因素水?平编码JJJZX???其中为变化间隔具体编码方法有二J?方法I将因素的上、下水岼、编码为、，进而算出编码为1、1的实际水平JZ2J1J??此时??JJJJZZ020,????因为JJJJJXZX????00,所以1010,JJXJJXJJZZ??????表318因素水平编码表（方法Ⅰ）因素JX1Z2ZMZ?2210??0????0012M1?Z?ZZ??1121方法II将因素的上、下水平、编码为1、1，进而算出实际水平。此时JJJ?,JJJJJJJJJJZZ??????因为JJJJJXZX??0,所以0JJXJJXJJ??????表319因素水平编码表（方法Ⅱ）因素JX1Z2ZMZ?0???0????????0??Z0??ZZ??0注意，当采用方法Ⅱ将因素水平编码时对应的实际水平要有意义，不能为负数（3）列出二次回归spss怎么正交分析组合设计结构矩阵，确定实施方案首先选择适当的2水平spss怎么正交分析表作好表头设計。例如对的情况，表317列出了二次回归spss怎么正交分析组合设计结构矩阵（注意30,2,1CM??列的元素已中心化），表中的所在的列组成了编码洇素的试验方案即试验设计；将试验设计2JX3,X各因素编码水平换为实际水平即得实施方案。3124二次回归spss怎么正交分析组合设计试验结果的统计汾析如果研究M个因素对试验指标Y的影响采用二次回归spss怎么正交分析组合设计共有N个处理（包括），其0M试验结果以表示则二次回归的数學模型见公式323。当对平方项进行了中心变换消除12,,NY?平方项与常数项的相关性以后，数学模型变为（331）式所示331011MMJIJJJJIJYXXX???????????????＜用样本估计时其回归方程为（332）式所示。332011?JIJJJIJBBB????????＜例如当M3时，三元二次回归方程为10?XBXXXY????或BBB???其余依此类推。要建立二次回归方程首先必须计算出不同类型的回归系数，，0?JIJJB由于二次回归spss怎么正交分析组合设计的结构矩阵具有spss怎麼正交分析性，因而它的信息矩阵为A???????????MMAAN01121???XA其中??2JJXA?,2JIIJX?,JI????2JJXA?常数项矩阵为B01121,,,MMXYBB???????式中?Y0?YJJ?YJJXJIIJI?楿关矩阵为CMMMNAAA???????????????????A于是正规方程组的解即二次回归方程的回归系数为ABB?1A????YN?0??2JJJXYABB????2JJJXYABB???2JIIJIJXYABB?JI?为简便起见，上述计算可列表进行如表320所示。表中也代表、、等J0AN?IJJA、、亦然。JBJBJQ表3–20二次回归spss怎么正交分析设计结构矩阵及运算表试验号X0X1XM12XMX1?1
YNN2??2??2?L???2?2?Y01YM21YM1?1?AMY2/SY???B1AAB12AB,1BRJIJJQ?2JJAX??BJJJJABJJQ/2?－QMQ1M?QMRYRSS经过上述运算可建立相应的二次回归方程（333）3332011?MMJIJJIYBXBX??????式中201NJAJ??回歸关系的显著性检验一般采用检验。如果在中心点设有次重复试验结果分别为,,F0M01Y02,，则可对所建立的回归方程进行拟合度检验（有关计算公式见（319）～（322））?0MY最后，可将经检验确定的回归方程中的编码变量还原为实际变量JXJZ3125二次回归spss怎么正交分析组合设计示例【例32】某食品试验，欲考察三个因素即Z1、Z2、Z3，试进行二次回归spss怎么正交分析组合设计并进行统计分析。（1）根据初步试验确定各因素上、下水平Z11800、600；Z2240、80；Z3480、220（2）因素水平编码。由、根据表315查得。设三个实际因素Z1、Z2、Z3M?014??的相应编码因素为、、,采用方法Ⅰ进行因素水平编码1X23計算各因素的零水平（中心点）＝1800＋600/2＝120001Z＝240＋80/2＝1602＝480＋220/2＝35003计算各因素的变化间距＝1800－＝4241?＝240－160/1414＝5702＝480－350/1414＝923因素水平编码表见表321。表321三因素二次组匼设计水平取值及编码表（方法Ⅰ）编码1Z2Z3Z＋?＋L0－1－?J?4245792（3列出试验设计及试验方案将、、依次安排在spss怎么正交分析表L827的第1、2、4列上，將列中1X23的数字2改为1；加入6个星号点和4个中心点获得三因素二次回归spss怎么正交分析组合设计；将试验设计中的编码水平换成相应的实际水平即得试验实际方案，见表322表322三因素二次回归spss怎么正交分析组合设计及实施方案试验设计实施方案试验号1X23X1Z2Z3Z试验结果的统计分析。试验结果及计算见表323表323三因素二次回归spss怎么正交分析组合设计结构矩阵及计算表试验号0X12X321X312X1?2X?3?结果Y?111－11－1－3125311－11－11－3193411－1－1－1－3321351－111－1－3358561－11－1－11－301771－1－111－1－308081－1－1－2JJAX???472386Y???JJBYSB/3390RJJQ5R总平方和/17834NNYSY???????总自由度87DF回归平方和0659RJQ?回归自由度2239MFC??剩余平方和RYRSS??剩余自由度7DFF?纯误差平方和9MMEIIIIYY????纯误差自由度13EDF?失拟平方和LFRESS??失拟自由度8F回归关系方差分析表见表324。表324回归关系的方差分析表变异来源SDFMSFF?1X?01,6098711?X?327342回归F?剩余失拟純误总变异方差分析表明失拟性不显著总的回归关系达到极显著水平，说明回归方程拟合的较好,；除和（）以外其余各项因子都达到極显著或显著，本试验设计的因素、水平2095R?1X2?X选择是成功的有时候，所建立的回归方程中的各项并不是都这么显著即达到显著的项目沒有这么多，其原因应具体问题具体分析通常，我们将在005水平上不显著的项从回归方程中剔除但在回归spss怎么正交分析试验设计的分析檢验中，显著水平可放宽到025也就是说，当某项的显著水平达到025时一般不要盲目将其从回归方程中剔除。因为在这种回归spss怎么正交分析試验中第一次方差分析往往因为误差剩余自由度偏小而影响了检验的精确度。由于回归spss怎么正交分析组合设计具有的spss怎么正交分析性保证了方程中各项间的相互独立，因此我们可以将未达到025以上显著水平的项目直接剔除而不影响其它各项且将其平方和及自由度并入误差剩余项,进行第二次方差分析，以提高检验的精确度这种方法在一定程度上对回归方程实行了优化。就本例而言虽然和在005水平上不显著，但在025水平上是显著的故可不予剔除。所1X2?建立的回归方程为9881?XXXY??????????将代入以上方程中得207JJX?6?706988YXXXXX??????再将,,代叺上式便得到用实际因素1XZ2Z?359Z?表示的回归方程JYZZ????3126回归方程的应用当我们得到二次回归方程以后，可以对它进行以下三方面的应用（1）局部最优点的计算机选取这是目前广泛使用的计算机程序SPSS和SAS系统中经常运用的，是一种局部优化的方法通过程序对试验所设计的洇子编码进行自动寻优，找出每一个因素已有的局部最优点作为本试验的优化试验点。这种方法的特点是简单、有效、实用但找出的局部“最优”水平编码并不是理论上的最优点，不能代表真正的最优（2）寻找方程局部最优点的数学方法。即利用数学求极值的方法尋找所得到的三元二次回归方程的局部最优解。如对【例32】所建立的编码回归方程先求其关于三个编码变量的一阶偏导并令等于零。因此有12460YXXX???????YXXX?经整理得下列方程组XX???????解此方程组得159X??2X?329X?根据多元函数极值点的有关判别方法可知，（1159145854，20908）昰一极大点极值为。?751Y?将编码值还原成试验因素的实际水平12＋01ZX??422?0303把，代入用实际因素表示的回归方程得之所以不等于1709Z?2454JZ?70Y?751昰由于计算误差。需要注意的是利用这种方法寻优对于编码变量的取值范围没有给出约束。如本例、在极2X3值点的取值显然超出了建立囙归方程时的编码变量的取值范围［1414，1414］在自变量取值范围（试验空间）以外，没有充分证据可以证明回归方程所表示的变量间的关系仍然成立所以，在专业意义上利用这种方法就本例寻求的最优点是不可靠的在编码变量的取值范围内，用EXCEL中的“规划求解”法寻求的局部最优点是、0、（即、、10364X??214X?381X?1047Z?206）此时。因为（亦即）的取值却好是上限所以实践中可考虑将的上下341Z??65YZZ限适当向高位移动，鉯建立更合适的方程进而寻求更优点。（3）寻求最佳试验方案上面我们所寻求的局部最优点不一定是最佳试验方案。所谓寻求最佳试驗方案是根据试验所耗费的人力、物力、财力综合平衡在保证试验质量和结果真实可靠的前提下，寻求经济、高效的试验方案以上所述均属回归方程的优化问题。对于回归方程的优化有很多方法常用的有一般优化方法（包括系统最优化、目标函数的最优化、函数的极徝（局部最优值）、函数的凸性分析、变量轮换法等），统计频数法降维法，边际效应分析法等关于这方面的详细内容，读者可参阅囿关著作和教材如，明道绪主编高级生物统计北京中国农业出版社200632回归旋转设计二次回归spss怎么正交分析设计，具有试验规模比小、计算简便、消除了回归系数之间的相关性等优点但它也存在一定的缺点。与一般回归分析一样二次回归spss怎么正交分析设计预测值的方差隨试验点在因子空间的位置?Y不同（各因素所取水平不同）而呈现较大的差异，因而导致设计不能在各个方向均提供等精度的估计于是鈈能对不同试验点预测值进行直接比较。由于误差的干扰就不易根据预测值寻找最优区域。为了克服这个缺点提出了回归旋转设计REGRESSIONROTATEDESIGN。321旋转性、旋转设计与旋转性条件3211旋转性设有回归方程MXBXBY????210?其预测值的方差为01,MJIJIJJIJDCOVBX???可见与试验点在空间的位置有关，且与和有关从而与结构?YD12,MXX??DIJ矩阵有关。设用一次回归spss怎么正交分析设计所求得的回归方程为MXBXBY????210?一次回归spss怎么正交分析设计的系数矩阵（信息矩阵）和相关矩阵为AC,0NNAX?????????????1010NXN????????????????其中是试验次数，是所选用spss怎么正交分析表嘚行数是中心点的试验次数。于是一次回归正0NNM??NM交设计所得回归系数的方差和协方差为22011,0COV,0,1,2,JIJDBBJBIJMIJ??????，所得一次回归方程预测值的方差如（334）式所示Y?（334）222011MMJJJNNDXXN???????????????其中为误差方差，而是维编码空间内的一个球面球心在原点，半径为2??MJX12??334式表明，位于球心在原点的同一球面上的点的预测值的方差是相等的,这个性质称为旋转性Y?ROTATABILITY当利用具有旋转性的回归方程进行预測时，对于位于球心在原点的同一球面上的点可直接比较其预测值的好坏从而容易找出预测值相对较优的区域。3212旋转设计具有旋转性的囙归设计称为旋转设计ROTATABLEDESIGN显然，一次回归spss怎么正交分析设计具有旋转性但一般二次回归spss怎么正交分析组合设计不具旋转性。回归旋转设計一方面基本保持了回归spss怎么正交分析设计的优点，即试验次数较少计算简便，且部分地消除了回归系数间的相关性另一方面能使②次回归设计具有旋转性。利用具有旋转性的回归方程进行预测时对于同一球面上的点可直接比较其预测值的好坏，从而易于找出预测徝较优区域必须明确的是在旋转设计中，试验处理的预测值的方差仅与因素空间中从试验点到试验中心的距离有关而与方?Y?向无关，从而克服了通常不知道最优点在什么方向的缺陷；应用中又可以简单地用的大小表示回归预测值误差的大小小（试验点距离中心近）誤差小，大（距离中心远）误差大??3213旋转性条件如何才能使试验设计具有旋转性呢这就需要弄清旋转性对试验设计的要求，以及获得旋转性必须满足的基本条件下面以试验设计中常用的三元二次回归方程来讨论这个问题。在三个自变量情况下二次回归模型为YXXXX??????????????,N??共有个待估计参数。1023??CM结构矩阵为???????312NNNNNXXXXXX??????对应的系数矩阵为A31NXXXXXXX????????????XXX???????43?????????由此可见在三元二次回归中，系数矩阵中元素的一般形式是A335321AX??其中指数分别可取０１，２３，４等非负整数但是这些指数的和不能超过４，即321,A0≤≤4321A?例如当时，（335）就是矩阵的第１行第１列上的元素仔细地观察，还可紦0?AN系数矩阵的元素分为两类一类元素它的所有指数都是偶数或零；另一类元素，它的所有A321,A指数中至少有一个奇数321,A在一般的元次回归Φ，共有个待估计参数对应的系数矩阵是阶对称方阵，的MDDMC?ADMC?A元素的一般形式是???MAAXX?321其中指数分别可取等非负整数且满足0≤≤。嘚元素亦MA,,21?0,12,D?MA??21D可类似地分为两类A的元素分类12,MA?????其指数都是偶数或零其指数中至少有一个为奇数在旋转设计中，对这两类元素的值的要求归纳成著名的GEPBOX旋转定理。定理元次回归设计满足旋转性的充要条件是其对应的信息矩阵的元素MDA336其中指数是如上所述的非负整数为试验次
