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（在下面两题中任选一题）（1）如图，双曲线y=经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是______．（2）如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为______．
创未回忆163
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（1）过A点作AC⊥x轴于点C，如图：则AC∥NM，∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，∴OM=a，NM=b，∴N点坐标为（a，b），∴点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，∵点A与点B都在y=图象上，∴k=ab=aoy，∴y=b，即B点坐标为（a，b），∵OA=2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为，∴△ONB的面积=5+=，∴NBoOM=，即×（b-b）×a=，∴ab=12，∴k=12．故答案为12．（2）过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线y=上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3-1=2．故答案为：2．
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（1）过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（ a，b），由点A与点B都在y=图象上，根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（ a，b），由OA=2AN，△OAB的面积为5，△NAB的面积为 则△ONB的面积=5+=根据三角形面积公式得 NBoOM=即 ×（ b-b）×a=，化简得ab=12，即可得到k的值．（2）根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．
本题考点：
反比例函数系数k的几何意义．
考点点评：
本题主要考查了反比例函数 y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
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（2014o汉阳区二模）如图，双曲线y=经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为10，则k的值是______．
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过A点作AC⊥x轴于点C，如图，则AC∥NM，∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，∴OM=a，NM=b，∴N点坐标为（a，b），∴点B的横坐标为a，设B点的纵坐标为y，∵点A与点B都在y=图象上，∴k=ab=aoy，∴y=b，即B点坐标为（a，b），∵OA=2AN，△OAB的面积为10，∴△NAB的面积为5，∴△ONB的面积=10+5=15，∴NBoOM=15，即×（b-b）×a=15，∴ab=24，∴k=24．故答案为24．
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过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（a，b），由点A与点B都在y=的图象上，根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（a，b），由OA=2AN，△OAB的面积为10，△NAB的面积为5，则△ONB的面积=10+5=15，根据三角形面积公式得NBoOM=15，即×（b-b）×a=15，化简得ab=24，即可得到k的值．
本题考点：
反比例函数系数k的几何意义．
考点点评：
本题考查了比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
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2012年江苏省函数的图象与性质中考数学题分类解析_试题
本资料为WORD文档，请点击下载地址下载全 江苏13市2012年中考数学试题分类解析汇编专题6：函数的图象与性质一、选择题1. （2012江苏常州2分）已知二次函数 ，当自变量x分别取 ，3，0时，对应的值分别为 ，则 的大小关系正确的是【&&& 】A.&&&&&&& B.&&&&&&& C.&&&&&&& D.& 【答案】 B。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】由二次函数 知，它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示。根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等。由于二次函数 在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜ ，因此， 。故选B。2. （2012江苏淮安3分）已知反比例函数 的图象如图所示，则实数m的取值范围是【&&& 】&A、m&1&& B、m&0&& C、m&1&&&& D、m&0【答案】A。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数 的性质：当图象分别位于第一、三象限时， ；当图象分别位于第二、四象限时， ：∵图象两个分支分别位于第一、三象限，∴反比例函数 的系数 ，即m&1。故选A。3. （2012江苏南京2分）若反比例函数 与一次函数 的图像没有交点，则 的值可以是【&&& 】A. -2&&B. -1&&C. 1&&D. 2【答案】A。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程的判别式。【分析】把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k的取值范围，找出符合条件的k的值即可：∵反比例函数 与一次函数y=x+2的图象没有交点，∴ 无解，即 无解，整理得x2+2x-k=0，∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件。故选A。4. （2012江苏南通3分）已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝ 3＋2m x上，且y1＞y2，则m的取值范围是【&&& 】A．m＜0&&&&&&&&&&& B．m＞0&&&&&&&&&&& C．m＞－ 3 2&&&&&&&&&&& D．m＜－ 3 2【答案】D。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。【分析】将A（－1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y= 3＋2m x，求出 y1与y2的表达式：&&&&&& 。&由y1＞y2得， ，解得m＜－ 3 2。故选D。5. （2012江苏苏州3分）若点（m，n）在函数y=2x+1的图象上，则2m-n的值是【&&& 】A.2&&&&&&&&&&&&&&& B.-2&&&&&&&&&&&&&& C.1&&&&&&&&&&&&&&&&& D. -1【答案】D。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将点（m，n）代入函数y=2x+1，得到m和n的关系式：n=2m+1，即2m－n=－1。故选D。6. （2012江苏无锡3分）若双曲线 与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为1，则k的值为【&&& 】　&A．&1&B．&1&C．&2&D．&2【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，将x=1代入直线y=2x+1，求出该点纵坐标：y=2+1=1，从而，将该交点坐标代入 即可求出k的值：k=1×（1）=1。故选B。7. （2012江苏徐州3分）一次函数y=x－2的图象不经过【&&& 】A．第一象限&&& B．第二象限&&&& C．第三象限&&&& D．第一象限【答案】B。【考点】一次函数图象与系数的关系。【分析】一次函数 的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0时，函数 的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数 的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数 的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数 的图象经过第二、三、四象限。&&&&&& 因此，函数y=x－2的k＞0，b＜0，故它的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。故选B。8. （2012江苏镇江3分）关于x的二次函数 ，其图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是【&&& 】A.&&&&&&& B.&&&&&&& C.&&&&&&& D.& 【答案】D。【考点】二次函数的性质。【分析】∵ ，∴它的对称轴为 。&&&&&&& 又∵对称轴在y轴的右侧，∴ 。故选D。二、填空题1. （2012江苏常州2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0），⊙P是以点P为圆心，2为半径的圆。若一次函数 的图象过点A（－1，0）且与⊙P相切，则 的值为&&& ▲&&& 。【答案】 或 。【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。【分析】如图，设一次函数 与y轴交于点C，与⊙P相切于点P。&&&&&&& 则OA=1，OC=ObO，OP=3，BP=2，AP=4。&&&&&&& ∴ 。&&&&&&& 由△AOC∽△ABP，得 ，即 ，解得 。&&&&&&& ∴ 。&&&&&&& 由图和一次函数的性质可知，k，b同号，∴ 或 。2. （2012江苏常州2分）如图，已知反比例函数 和 。点A在y轴的正半轴上，过点A作直线BC∥x轴，且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C，连接OC、OB。若△BOC的面积为 ，AC：AB=2：3，则 =&&& ▲&&& ， =&&& ▲&&& 。&【答案】2，－3。【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设点A（0，a）（∵点A在y轴的正半轴上，∴a＞0），则点B（ ），点C（ ）。&&&&&&& ∴OA= a，AB= （∵ ），AC= （∵ ），AB= 。&&&&&&& ∵△BOC的面积为 ，∴ ，即 ①。&&&&&&& 又∵AC：AB=2：3，∴ ，即 ②。&&&&&&& 联立①②，解得 =2， =－3。3. （2012江苏淮安3分）如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差&&& ▲&&& km/h。&【答案】4。【考点】一次函数的图象和应用。【分析】要求这两人骑自行车的速度相差，只要由图象求出两人5 h行驶的距离即可：&&&&&&& 甲5 h行驶的距离为100 km，故速度为100÷5=20 km/h；乙5 h行驶的距离为100 km－20km =80 km，故速度为80÷5=16 km/h。∴这两人骑自行车的速度相差20－16=4 km/h。4. （2012江苏连云港3分）已知反比例函数y＝ 的图象经过点A(m，1)，则m的值为　▲　．【答案】2。【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵反比例函数y＝ 的图象经过点A(m，1)，∴2＝ ，即m＝2。5. （2012江苏连云港3分）如图，直线y＝k1x＋b与双曲线 交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＜ ＋b的解集是　▲　．&【答案】－5＜x＜－1或x＞0。【考点】不等式的图象解法，平移的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，对称的性质。【分析】不等式k1x＜ ＋b的解集即k1x－b＜ 的解集，根据不等式与直线和双曲线解析式的关系，可以理解为直线y＝k1x－b在双曲线 下方的自变量x的取值范围即可。而直线y＝k1x－b的图象可以由y＝k1x＋b向下平移2b个单位得到，如图所示。根据函数 图象的对称性可得：直线y＝k1x－b和y＝k1x＋b与双曲线 的交点坐标关于原点对称。由关于原点对称的坐标点性质，直线y＝k1x－b图象与双曲线 图象交点A′、B′的横坐标为A、B两点横坐标的相反数，即为－1，－5。∴由图知，当－5＜x＜－1或x＞0时，直线y＝k1x－b图象在双曲线 图象下方。∴不等式k1x＜ ＋b的解集是－5＜x＜－1或x＞0。6. （2012江苏南京2分）已知一次函数 的图像经过点（2，3），则 的值为&& ▲&& 【答案】2。【考点】直线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（2，3）代入 ，得&&&&&&&& ，解得，k=2。7. （2012江苏苏州3分）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x－1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1&& ▲&& y2.【答案】&。【考点】二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质。【分析】由二次函数y=（x－1）2+1知，其对称轴为x=1。∵x1＞x2＞1，∴两点均在对称轴的右侧。∵此函数图象开口向上，∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大。∵x1＞x2＞1，∴y1＞y2。8. （2012江苏苏州3分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数 图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数 图象的一个分支，在 轴上方有一条平行于 轴的直线与它们分别交于点A、B，过点A、B作 轴的垂线，垂足分别为C、D.若四边形ACDB的周长为8且AB&AC，则点A的坐标是&& ▲&& .&【答案】（ ，3）。【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，解分式方程。【分析】∵点A在反比例函数 图象上，∴可设A点坐标为（ ）。&∵AB平行于x轴，∴点B的纵坐标为 。∵点B在反比例函数 图象上，∴B点的横坐标 ，即B点坐标为（& ）。∴AB=a－（－2a）=3a，AC= 。∵四边形ABCD的周长为8，而四边形ABCD为矩形，∴AB＋AC=4，即3a＋ =4，整理得，3a2－4a＋1=0，即（3a－1）（a－1）=0。∴a1=& ，a2=1。∵AB＜AC，∴a= 。∴A点坐标为（ ，3）。9. （2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线 和 于A，B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于&&& ▲&&& .【答案】4。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设平行于x轴的直线l为y=m（m≠0），则它与双曲线 和 的交点坐标为A（ ，m），B（ ，m）。∴AB= 。∴△ABP的面积 。10. （2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为　 ▲ 　．【答案】y=x2+4x3。【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x2）2+1。&&&&&&& 又∵抛物线y=a（x2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x2）2+1。&&&&&&& ∴将点B（1，0）代入y=a（x2）2得，0=a（12）2即a=1。&&&&&&& ∴抛物线的函数关系式为y=（x2）2+1，即y=x2+4x3。11. （2012江苏徐州2分）正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点（1，2），则 &&& ▲&&& 。【答案】4。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，2）分别代入 和 ，得 ， ，则 。12. （2012江苏徐州2分）函数 的图象如图所示，关于该函数，下列结论正确的是&&& ▲&&& （填序号）。①函数图象是轴对称图形；②函数图象是中心对称图形；③当x&0时，函数有最小值；④点（1，4）在函数图象上；⑤当x＜1或x＞3时，y＞4。&&13. （2012江苏盐城3分）若反比例函数的图象经过点 ,则它的函数关系式是&&& ▲&&& .【答案】 。【考点】待定系数法，反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设函数解析式为& ，将 代入解析式得 。故函数解析式为 。14. （2012江苏扬州3分）如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是　▲　．&【答案】1。【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，平角定义，勾股定理，二次函数的最值。【分析】设AC＝x，则BC＝2－x，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝ ，CE＝& 。∴∠DCE＝90°。∴DE2＝DC2＋CE2＝（ ）2＋[ ]2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1。∴当x＝1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1。15. （2012江苏扬州3分）如图，双曲线 经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为5，则k的值是　▲　．&【答案】12。【考点】反比例函数综合题。【分析】如图，过A点作AC⊥x轴于点C，则AC∥NM，&∴△OAC∽△ONM，∴OC：OM＝AC：NM＝OA：ON。又∵OA＝2AN，∴OA：ON＝2：3。设A点坐标为(x0，y0)，则OC＝x0，AC＝y0。∴OM＝ ，NM＝ 。∴N点坐标为( ， )。∴点B的横坐标为 ，设B点的纵坐标为yB，∵点A与点B都在 图象上，∴k＝x0 •y0＝ •yB。∴ 。∴B点坐标为( )。∵OA＝2AN，△OAB的面积为5，∴△NAB的面积为 。∴△ONB的面积＝ 。∴ ，即 。∴ 。∴k＝12。16. （2012江苏镇江2分）写出一个你喜欢的实数k的值&&& ▲&&& ，使得反比例函数 的图象在第一象限内，y随x的增大而增大。【答案】1（答案不唯一）。【考点】反比例函数的性质。【分析】根据反比例函数 的性质：当 时函数图象的每一支上，y随x的增大而减小；当 时，函数图象的每一支上，y随x的增大而增大。因此，&&&&&&& 若反比例函数 的图象在第一象限内，y随x的增大而增大，则 ，即 。&&&&&&& ∴只要取 的任一实数即可，如 （答案不唯一）。三、解答题1. （2012江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400&&&&&&&&&&& ∴当 时，函数Z取得最大值。∵x为正整数，且 ， ∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3&#&#=533。答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。2. （2012江苏淮安10分）国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元，种粮大户老王今年种了150亩地，计划明年再承租50~150亩土地种粮以增加收入，考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y（元）与种粮面积x（亩）之间的函数关系如图所示：（1）今年老王种粮可获得补贴多少元？（2）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（3）若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种粮总收入W（元）与种粮面积x（亩）之间的函数关系式，当种粮面积为多少亩时，总收入最高？并求出最高总收入。&&3. （2012江苏连云港10分）如图，⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，直线y＝x＋b(b＞0)与⊙O交于A、B两点，点O关于直线y＝x＋b的对称点O′，(1)求证：四边形OAO′B是菱形；(2)当点O′落在⊙O上时，求b的值．&【答案】(1)证明：∵点O、O′关于直线y＝x＋b的对称，∴直线y＝x＋b是线段OO′的垂直平分线，∴AO＝AO′，BO＝BO′。又∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB。∴AO＝AO′＝BO＝BO′。∴四边形OAO′B是菱形．(2)解：如图，设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，AB与OO′相交于点M。则△ONP为等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°。∵四边形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN。∴△OMP为等腰直角三角形。当点O′落在圆上时，OM＝ OO′＝1。在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝ ，即b＝ 。【考点】一次函数综合题，线段中垂线的判定和性质，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】(1)根据轴对称得出直线y＝x＋b是线段OO′D的垂直平分线，根据线段中垂线上的点到比下有余两端的距离相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，从而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案。(2)设直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点坐标分别是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根据勾股定理求出即可。4. （2012江苏连云港10分）我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，(1)请分别写出邮车、火车运输的总费用y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式；(2)你认为选用哪种运输方式较好，为什么？【答案】解：(1)由题意得：y1＝4x＋400；y2＝2x＋820。(2)令4x＋400＝2x＋820，解得x＝210。∴当运输路程小于210千米时，y1＜y2，，选择邮车运输较好；当运输路程小于210千米时，y1＝y2，，两种方式一样；当运输路程大于210千米时，y1＞y2，选择火车运输较好。【考点】一次函数的应用。【分析】(1)根据方式一、二的收费标准即可得出y1(元)、y2(元)与运输路程x(公里)之间的函数关系式。(2)比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同，选择合适的运输方式。5. （2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．&【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得&，解得 。∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。∴AB＝3－(－1)＝4。∴△ABD的面积＝ ×4×4＝8。(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，∵点A对应点G的坐标为(3，2)。∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，∴点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。6. （2012江苏南通9分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：(1)线段CD表示轿车在途中停留了&&&&& h；(2)求线段DE对应的函数解析式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．&【答案】解：（1）0.5。 （2）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），&&&&&&&& ∵D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300），∴代入y=kx+b，得：& ，解得： 。∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x－195（2.5≤x≤4.5）。（3）设线段OA对应的函数解析式为y=mx（0≤x≤5），∵A点坐标为（5，300），代入解析式y=mx得，300=5m，解得：m=60。∴线段OA对应的函数解析式为y=60x（0≤x≤5）由60x=110x－195，解得：x=3.9。∴货车从甲地出发经过3.9小时与轿车相遇，即轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车。答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5，得出答案即可。（2）由D点坐标（2.5，80），E点坐标（4.5，300），用待定系数法求出线段DE对应的函数解析式。（3）用待定系数法求出OA的解析式，列60x=110x－195时，求解减去1小时即为轿车追上货车的时间。7. （2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝ 1 2x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y＝ 1 2x2＋bx＋c向上平移 7 2个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长． &【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y= 1 2x2+bx+c中，得：& ，解得， 。 ∴抛物线的解析式：y= 1 2x2－x－4。源:]（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为： ，即： 。它的顶点坐标P（1－m，－1）。由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m= ；当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；又∵m＞0，∴当点P在△ABC内时，0＜m＜& 。（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB。如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20，又AN=OA－ON=4－2=2，∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。综上，AM的长为6或2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。8. （2012江苏苏州10分）如图，已知抛物线 （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.&&& ⑴点B的坐标为& ▲& ，点C的坐标为& ▲& （用含b的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.&【答案】解：（1）B（b，0），C（0， ）。（2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形。&&& 设点P坐标（x，y），连接OP，&&&& 则 ∴ 。过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°。∴四边形PEOD是矩形。∴∠EPD=90°。∵△PBC是等腰直角三角形，∴PC=PB，∠BPC=90°。∴∠EPC=∠BPD。∴△PEC≌△PDB（AAS）。∴PE=PD，即x=y。由& 解得， 。由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ，解得 符合题意。∴点P坐标为（ ， ）。（3）假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.& ∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴。∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°。由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA。∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°。（Ⅰ）当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC，∴AQ=CO= 。& 由& 得： ，解得： 。∵b＞2，∴ 。∴点Q坐标为（1， ）.（Ⅱ）当∠OQC=90°时，△QOA∽△OCQ，∴ ，即 。又 ，∴ ，即 ，解得：AQ=4此时b=17＞2符合题意。∴点Q坐标为（1，4）。综上可知：存在点Q（1， ）或（1，4），使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）令y=0，即 ，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标。（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标。（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，由条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°。再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可。9. （2012江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知直线l1:y= x与直线l2：y=－x+6相交于点M，直线l2与x轴相较于点N.（1）&求M，N的坐标；（2）&在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，边AB在x轴上，矩形ABCD沿x轴自左向右以每秒1个单位长度的速度移动.设矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为S.移动的时间为t（从点B与点O重合时开始计时，到点A与点N重合时计时结束）。直接写出S与自变量t之间的函数关系式（不需要给出解答过程）；（3）&在（2）的条件下，当t为何值时，S的值最大？并求出最大值.&【答案】解：（1）解 得 。∴M的坐标为（4，2）。&&&&&&&&&&&&&&&& 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐标为（6，0）。&&&&&&&&&&& （2）S与自变量t之间的函数关系式为：& &&&&&&&&&&& （3）当0≤t≤1时，S的最大值为 ，此时t=1。&&&&&&&&&&&&&&&& 当1＜t≤4时，S的最大值为 ，此时t=4。&&&&&&&&&&&&&&&& 当4＜t≤5时，∵ ，∴S的最大值为 ，此时t= 。&&&&&&&&&&&&&&&& 当5＜t≤6时，S随t的增大而减小，最大值不超过 。&&&&&&&&&&&&&&&& 当6＜t≤7时，S随t的增大而减小，最大值不超过 。&&&&&&&&&&&&&&&& 综上所述，当t= 时，S的值最大，最大值为 。【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。【分析】（1）联立两直线方程即可求得M的坐标，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐标。（2）先求各关键位置，自变量t的情况：起始位置时，t=0；当点A与点O重合时，如图1，t=1；当点C与点M重合时，如图2，t=4；当点D与点M重合时，如图3，t=5；当点B与点N重合时，如图4，t=6；结束位置时，点A与点N重合，t=7。&①当0≤t≤1时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=0），三角形的底为t，高为 ，∴ 。②当1＜t≤4时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为 ，下底为 ，高为1。∴ 。③当4＜t≤5时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为 ，下底为2，高为 ；第二个梯形的上底为－t +6，下底为2，高为 。∴ 。④当5＜t≤6时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为6－t ，下底为7－t，高为1。∴ 。⑤当6＜t≤7时，矩形ABCD与△OMN的重叠部分的面积为一三角形面积（不含t=7），三角形的底为7－t，高为7－t，∴ 。（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。10. （2012江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数 的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y&0时x的取值范围．&【答案】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），&&&&&&&&&&&&&&&& 将点B、C的坐标分别代入 得& ，解得 。∴二次函数的解析式为 。（2）令y=0，则 ，整理得，x2－2x－3=0，解得x1=－1，x2=3。∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（－1，0）（3，0）。∴当y＞0时，二次函数图象在x轴的上方，x的取值范围是－1＜x＜3。【考点】二次函数综合题，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数图象与x轴的交点问题。【分析】（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答。（2）令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出c的取值范围即可。 11. （2012江苏泰州12分） 如图，已知一次函数 的图象与x轴相交于点A，与反比例函数 的图象相交于B（－1，5）、C（ ，d）两点．点P（m，n）是一次函数 的图象上的动点．（1）求k、b的值；（2）设 ，过点P作x轴的平行线与函数 的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设 ，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．&【答案】解：（1）将点B 的坐标代入 ，得& ，解得 。&&&&&&&&&&&&&&&& ∴反比例函数解析式为 。&&&&&&&&&&&&&&&& 将点C（ ，d）的坐标代入 ，得 。∴C（ ，－2）。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∵一次函数 的图象经过B（－1，5）、C（ ，－2）两点，&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴ ，解得 。（2）存在。&&&& 令 ，即 ，解得 。∴A（ ，0）。&&&& 由题意，点P（m，n）是一次函数 的图象上的动点，且 &&&& ∴点P在线段AB 上运动（不含A、B）。设P（ ）。&&&& ∵DP∥x轴，且点D在 的图象上，&&&& ∴ ，即D（ ）。&&&& ∴△PAD的面积为 。&&&& ∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值。&&&& 又∵n= ， ，得 ，而 。&&&& ∴当 时，即P（ ）时，△PAD的面积S最大，为 。&（3）由已知，P（ ）。&&&&& 易知m≠n，即 ，即 。&&&&& 若 ，则 。&&&&& 由题设， ，解出不等式组的解为 。&&&&& 若 ，则 。&&&&& 由题设， ，解出不等式组的解为 。&&&&&&&&&&&&&& 综上所述，数a的取值范围为 ， 。【考点】反比例函数和一次函数综合问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行的性质，二次函数的性质，不等式组的应用。【分析】（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，由B 的坐标求得 ，从而得到 ；由点C在 上求得 ，即得点C的坐标；由点B、C在 上，得方程组，解出即可求得k、b的值。 &&&&&& （2）求出△PAD的面积S关于n的二次函数（也可求出关于m），应用二次函数的最值原理即可求得面积的最大值及此时点P的坐标。（3）由m≠n得到 。分 和 两种情况求解。12. （2012江苏无锡8分）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？&【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a= x，EF= a=2x，∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6 ，∴V=a3=（6 ）3=432 （cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=& x， ，∴S=4ah+a2= 。∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a= x，EF= a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。13. （2012江苏徐州8分）二次函数 的图象经过点（4，3），（3，0）。&& （1）求b、c的值；&& （2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；&& （3）在所给坐标系中画出二次函数 的图象。&【答案】解：（1）∵二次函数 的图象经过点（4，3），（3，0），&&&&&&&&&&&&&&& ∴ ，解得 。&&&&&&&&&& （2）∵该二次函数为 。&&&&&&&&&&&&&&& ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，－1），对称轴为x=1。&&&&&&&&&& （3）列表如下：x&••&#&2&3&4&•••y&••&#&1&0&3&•••&&&&&&&&&&&&&&& 描点作图如下：&【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，描点作图。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（4，3），（3，0）代入 得关于b、c的方程组，解之即得。&&&&& （2）求出二次函数的顶点式（或用公式法）即可求得该二次函数图象的顶点坐标和对称轴。&&&&& （3）描点作图。14. （2012江苏徐州8分）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交 元。某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元。（1）求a的值；（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？【答案】解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，&&&&&&&&&&&&&&&& ，即 。&&&&&&&&&&&&&&& 解得a=30或a=50。&&&&&&&&&&&&&&& 由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45。&&&&&&&&&&&&&&& ∴a=50。（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元。则&&&&& &&&&&&&&&&&&&&& ∵5月份交电费45元，∴5月份用电量超过50千瓦时。∴45=20＋0.5（x－50），解得x=100。&&&&&&&&&&&&&&& 答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时。【考点】一元二次方程和一次函数的应用。【分析】（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元列出方程求解，结合4月份用电45千瓦时，交电费20元，确定a的范围，从而得出结果。（2）列出电费y元与用电量x千瓦时的函数关系式，根据5月份交电费45元，代入即可。15. （2012江苏盐城12分）&&& 知识迁移： 当 且 时，因为 ≥ ,所以 ≥ ,从而 ≥ (当&时取等号).记函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 .&&& 直接应用：已知函数 与函数 , 则当 _________时, 取得最小值为_________.&&& 变形应用：已知函数 与函数 ,求 的最小值,并指出取得该最小值时相应的 的值.&&& 实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共 元；二是燃油费,每千米为 元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为 .设该汽车一次运输的路程为 千米,求当 为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？【答案】解：直接应用：1；2 。变形应用：∵& ，∴ 有最小值为 。当 ，即 时取得该最小值。实际应用：设该汽车平均每千米的运输成本为 元，则&， ∴当 (千米)时, 该汽车平均每千米的运输成本 最低，最低成本为 元。【考点】二次函数的应用，几何不等式。【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：∵函数 ,由上述结论可知：当 时,该函数有最小值为 ，∴函数 与函数 ，则当 时， 取得最小值为 。变形运用：先得出 的表达式，然后将 看做一个整体，再运用所给结论即可。实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为 元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案。16. （2012江苏盐城12分）在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象经过点 和点 ，直线 经过抛物线的顶点且与 轴垂直，垂足为 .(1)&求该二次函数的表达式；(2)&设抛物线上有一动点 从点 处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标 随时间&≥ )的变化规律为 .现以线段 为直径作 .①当点 在起始位置点 处时，试判断直线 与 的位置关系，并说明理由；在点 运动的过程中，直线 与 是否始终保持这种位置关系? 请说明你的理由；②若在点 开始运动的同时，直线 也向上平行移动，且垂足 的纵坐标 随时间 的变化规律为&，则当 在什么范围内变化时，直线 与 相交? 此时，若直线 被 所截得的弦长为 ,试求 的最大值.&【答案】解：（1）将点 和点 的坐标代入 ,得&，解得 。∴二次函数的表达式为 。（2）①当点 在点 处时，直线 与 相切。理由如下：∵点 ，∴圆心的坐标为 ， 的半径为 。又抛物线的顶点坐标为（0，－1），即直线 上所有点的巫坐标均为－1，从而圆心 到直线 的距离为 。∴直线 与 相切。&在点 运动的过程中，直线 与 始终保持相切的位置关系。理由如下：设点 ，则圆心的坐标为 ，∴圆心 到直线 的距离为 。又∵ ，∴ 。则 的半径为 。∴直线 与 始终相切。& ②由①知 的半径为 ，& 又∵圆心 的纵坐标为 ，直线 上的点的纵坐标为 ，& ∴()当 ≥ ,即 ≤ 时，圆心 到直线 的距离为&。则由 ，得 ，解得 , ∴此时 ≤ 。()当 ＜ ,即 ＞ 时, 圆心 到直线 的距离为&。则由 ,得 ，解得 。∴此时 ＜ 。综上所述，当 时,直线 与 相交。∵当 时，圆心 到直线 的距离为 ，又半径为 ，∴ 。∴当 时,& 取得最大值为 。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，点到直线的距离，二次函数的性质。【分析】（1）所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将点 和点 坐标代入即可得解。（2）①由于 是 的直径，由 点的纵坐标可表示出 点的纵坐标，从而能表示出 到直线 的距离， 长易得。然后通过比较 的半径和 到直线 的距离，即可判定直线 与 的位置关系。&②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线 与 的位置关系（需要考虑到 到直线 的表达方式）。在第二问中，& 最大，那么求出 关于 的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可求解。17. （2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．&【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。&&&&&&&&&&& （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。&&&&&&&&&&&&&&&& 则此时的点P，使△PAC的周长最小。设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：&，解得： 。∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。（3）存在。点M的坐标为(1， )，(1，－ )，(1，1)，(1，0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。&（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：∵抛物线的对称轴为： x=1，∴设M(1，m)。∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝± 。③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1， )，(1，－ )，(1，1)，(1，0)。18. （2012江苏扬州12分）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．(1)①直接写出点E的坐标：　　．②求证：AG＝CH．(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．&【答案】解：（1）① (1， )。②证明：∵四边形OABC是矩形，∴CE＝AE，BC∥OA。∴∠HCE＝∠GAE。∵在△CHE和△AGE中，∠HCE＝∠GAE， CE＝AE，∠HEC＝∠G EA，∴△CHE≌△AGE（ASA）。∴AG＝CH。（2）连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，&&&& 则由矩形的性质，点E在AC上。∵DD＝OC＝1＝ OA，∴D是OA的中点。∵在△CME和△ADE中，∠MCE＝∠DAE， CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，∴△CME≌△ADE（ASA）。∴CM＝AD＝2－1＝1。∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四边形CMDO是矩形。∴MD⊥OD，MD⊥CB。∴MD切⊙O于D。∵HG切⊙O于F，E(1， )，∴可设CH＝HF＝x，FE＝ED＝ ＝ME。在Rt△MHE中，有MH2＋ME2＝HE2，即(1－x)2＋( )2＝( ＋x)2，解得x＝ 。∴H( ，1)，OG＝2－ 。∴G( ，0)。设直线GH的解析式是：y＝kx＋b，把G、H的坐标代入得： ，解得： 。∴直线GH的函数关系式为 。（3）连接BG，∵在△OCH和△BAG中，CH=AG，∠HCO＝∠GAB，OC=AB，∴△OCH≌△BAG（SAS）。∴∠CHO＝∠AGB。∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F。∴OH平分∠CHF。∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA。∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE。∵在△HOE和△GBE中，HE＝GE，∠HEO＝∠GEB，OE=BE，∴△HOE≌△GBE（SAS）。∴∠OHE＝∠BGE。21世纪教育网∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA。∵⊙P与HG、GA、AB都相切，∴圆心P必在BG上。过P做PN⊥GA，垂足为N，则△GPN∽△GBA。∴ 。设半径为r，则 ，解得 。答：⊙P的半径是 ．【考点】一次函数综合题，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，角平分线的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）)①根据矩形的性质和边长即可求出E的坐标。&②推出CE＝AE，BC∥OA，推出∠HCE＝∠EAG，证出△CHE≌△AGE即可。（2）连接DE并延长DE交CB于M，求出DD＝OC＝ OA，证△CME≌△ADE，推出四边形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，设CH＝HF＝x，推出(1－x)2＋( )2＝( ＋x)2，求出H、G的坐标，设直线GH的解析式是y＝kx＋b，把G、H的坐标代入求出即可。（3）连接BG，证△OCH≌△BAG，求出∠CHO＝∠AGB，证△HOE≌△GBE，求出∠OHE＝∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圆心P必在BG上，过P做PN⊥GA，垂足为N，根据△GPN∽△GBA，得出 ，设半径为r，代入求出即可。19. （2012江苏镇江6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线 在第一象限交于点C（1，m）。（1）求m和n的值；（2）过x轴上的点D（3，0）作平行于y轴的直线l，分别与直线AB和双曲 线交于点P、Q，求△APQ的面积。&【答案】解：（1）∵点C（1，m）在双曲线 上，∴ 。&&&&&&&&&&&&&&& 将点C（1，4）代入 ，得 ，解得 。&&&&&&&&&& （2）在 中，令 ，得 ，∴A（－1，0）。&&&&&&&&&&&&&&& 将 分别代入 和 ，得P（3，8）。Q（3， ）。&&&&&&&&&&&&&&& ∴AD=3－（－1）=4，PQ= 。&&&&&&&&&&&&&&& ∴△APQ的面积= 。【考点】反比例函数和一次函数交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由已知条件，根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先将点C的坐标代入 ，求出m的值，再将C（1，4）代入 即可求出n的值。&&&&&& （2）求出点A、P、Q的坐标即可得到△APQ的边PQ和PQ上的高AD的长，即可求得△APQ的面积。20. （2012江苏镇江8分）甲、乙两车从A地将一批物品匀速运往B地，甲出发0.5小时后乙开始出发，结果比甲早1小时到达B地。如图，线段OP、MN分别表示甲、乙两车离A地的距离s（千米）与时间t（小时）的关系，a表示A、B两地间的距离。请结合图象中的信息解决如下问题：（1）分别计算甲、乙两车的速度及a的值；（2）乙车到达B地后以原速度立即返回，请问甲车到达B地后以多大的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地？并在图中画出甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。&【答案】解：（1）由图知，甲车的速度为 （千米/小时），乙车的速度为 （千米/小时）。&&&&&&&&&&&&&&& 根据题意，得 ，解得a=180（千米）。（2）设甲车返回的速度为x千米/小时，则 ，解得x=90。&&&& 经检验，x=90是方程的解并符合题意，&&&& ∴甲车到达B地后以90千米/小时的速度立即匀速返回，才能与乙车同时回到A地。&&&& 甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象如图：&【考点】一次函数和方程的应用。【分析】（1）由图结合已知甲出发0.5小时后乙开始出发，可求出甲、乙两车的速度。&&&&&&&&&&& 根据时间列出方程求解即可得a的值（也可用路程相等列出方程求解）。&&&&&&&&&&& 应用函数求解如下：由题意知M（0.5，0），&&&&&&&&&&& 由点O、P、M的坐标用待定系数法求得线段OP、MN表示的函数关系式分别为：&&&&&&&&&&&& 。&&&&&&&&&&& 设N（t，a），P（t＋1，a）），代入函数关系式，得&&&&&&&&&&&& ，解得 。（2）根据时间列出方程求解即可求解（也可用路程相等列出方程 求解）。&&&&&&&&&&&& 应用函数求解如下：如图，线段PE、NE分别表示甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数关系，点E的横坐标为 。&&&&&&&&&&&& 若两车同时返回A地，则甲车返回时需用的时间为 （小时）。&&&&&&&&&&&& ∴甲车返回时的速度为180÷2=90（千米/小时）。&&&&&&&&&&&& 根据E点的坐标，连接PE、NE即可得甲、乙两车在返回过程中离地的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象。21. （2012江苏镇江9分）对于二次函数 和一次函数 ，把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线 的顶点坐标为&&& ▲&&& 。（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为&&& ▲&&& 。【应用1】二次函数 是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。&【答案】解：【尝试】（1）（1，－2）。&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）点A在抛物线E上，理由如下：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 将x=2代入 得y=0。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ∴点A在抛物线E上。（3）将（－1，n）代入 得&&&&& 。【发现】A（2，0）和B（－1，6）。【应用1】不是。&&&&&&&& ∵将x=－1代入 ，得 ，&&&&&&&& ∴二次函数 的图象不经过点B。&&&&&&&& ∴二次函数 不是二次函数 和一次函数 的一个“再生二次函数”。【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过点D1作D1G⊥x轴于点G，过点C2作C2H⊥y轴于点H，过点B作BM⊥x轴于点M，C2H与BM相交于点T。易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△NBA，则 ，即 ，得 。∴C1（0， ）。易得△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1= 。∴D1（3， ）。易得△OAD2∽GAD1，则 ，由AG=1，OA=2，GD1= 得 ，得OD2=1。∴D2（0，－1）。易得△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT==OD2=1。∴C2（－3，5）。∵抛物线E总过定点A、B，∴符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。当抛物线经过A、B、C1时，将C1（0， ）代入 得 ；当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3， ）代入 得 ；当抛物线经过A、B、C2时，将C2（－3，5）代入 得 ；当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，－1）代入 得 。∴满足条件的所有t值为 ， ， ， 。【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为 ，∴抛物线的顶点坐标为（1，－2）。&&&&&&&&&&&&& （2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。&&&&&&&&&&&&& （3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（－1，n）代入函数关系式 即可求得n的值。【发现】由（1）可得。【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用2】根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。
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