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已知任意三角形△ABC，顺次连接△ABC各边中点得到△A1B1C1再顺次连接△A1B1C1各边中点得△A2B2C2，若△ABC周长为4cm，则△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2周长之和为______cm．
题型：填空题难度：中档来源：不详
根据三角形中位线定理，△A1B1C1的周长是2cm，△A2B2C2的周长是1cm．所以△ABC、△A1B1C1、△A2B2C2周长之和为=4+2+1=7cm．故答案为7．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知任意三角形△ABC，顺次连接△ABC各边中点得到△A1B1C1再顺次连接..”主要考查你对&&三角形中位线定理&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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三角形中位线定理
三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。一个三角形共有三条中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。如图已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。则DE平行于BC且等于BC/2三角形中位线逆定理：逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。如图DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。如图D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2区分三角形的中位线和中线：三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段；三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段。
发现相似题
与“已知任意三角形△ABC，顺次连接△ABC各边中点得到△A1B1C1再顺次连接..”考查相似的试题有：
371283166886365923343849390025157408解：（1）由题意可知：M点的坐标为（，），即M（，）；（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a（x-0）（x-3），则有：2=a×（2-0）×（2-3），解得a=-1，因此过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=-x2+3x，可求得A1、B1、C1的坐标分别为A1（，1），B1（1，1），C1（，0），设过这三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：解得：即A1，B1，C1三点的抛物线解析式为y=2x2-7x+6；（3）根据题意有：2x2-7x+6=-x2+3x即3x2-10x+6=0解得x=，x=由于E在F点左侧，因此E（，），F（，）由题意可知C2的坐标为（，1）然后将C2的坐标代入△EFC1三边所在的直线中，可得出C2在△EFC1外；（4）A，A2，C，C2四点的坐标分别为：（0，0），（，0）（2，2）（，1），设过A、A2、C三点的抛物线的解析式为y=m（x-0）（x-），则有2=m×（2-0）×（2-），m=，因此抛物线的解析式为：y=x2-x…①将C2点的坐标代入①中可得：×-×=≠1因此：A，A2，C，C2四点不可能在同一条抛物线上．分析：（1）由图可知点M应该是△ABC的重心，可依据平面直角坐标系中，三角形重心的坐标是三角形三顶点的算术平均数来求出重心M的坐标；（2）可先根据A、B、C三点的坐标和中位线定理求出A1、B1、C1三点坐标，然后用待定系数法分别求出两条抛物线的解析式；（3）由于抛物线同时过E、F两点，可联立（2）中两个抛物线的解析式，然后得出一个关于x的一元二次方程，求出的两个解便是E、F点的坐标．然后求出C2的坐标，如果C2的横坐标大于或小于△EFC1的所有顶点横坐标，则说明C2在△EFC1外，如果不是这样，则E、F和C1坐标都知道了，则根据两点式方程求出△EFC1三边所在直线的方程，将C2的横坐标分别代入这三个直线方程，①如果求出的结果全大于或小于C2的纵坐标，则说明C2在△EFC1外；②如果求出的结果中有一至两个等于C2的纵坐标，则说明C2在△EFC1的边上，甚至顶点上；③如果求出的结果不全大于或小于C2的纵坐标，则说明C2在△EFC1内．（4）先用三点的坐标确定一个抛物线的解析式，然后将剩下的一点代入抛物线中即可判断出四点是否在同一抛物线上．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、中位线定理、三角形重心等知识点，综合性强．能力要求高．考查学生数形结合的数学思想方法．
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科目：初中数学
如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．（1）求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标；（2）如图2，分别求出经过A，B，C三点的抛物线解析式和经过A1，B1，C1三点的抛物线解析式；（3）设两抛物线的交点分别为E、F，连接EF、EC1、FC1、EC2、FC2、C1C2，问：C2与△EC1F的关系是什么？（4）如图3，问：A，A2，C，C2四点可不可能在同一条抛物线上，试说明理由．
科目：初中数学
如图，顺次连接△ABC各边中点D，E，F，则图中共有（　　）个平行四边形．A．1B．2C．3D．4
科目：初中数学
来源：第27章《二次函数》中考题集（44）：27.3 实践与探索（解析版）
题型：解答题
如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．（1）求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标；（2）如图2，分别求出经过A，B，C三点的抛物线解析式和经过A1，B1，C1三点的抛物线解析式；（3）设两抛物线的交点分别为E、F，连接EF、EC1、FC1、EC2、FC2、C1C2，问：C2与△EC1F的关系是什么？（4）如图3，问：A，A2，C，C2四点可不可能在同一条抛物线上，试说明理由．
科目：初中数学
来源：第2章《二次函数》中考题集（46）：2.8 二次函数的应用（解析版）
题型：解答题
如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．（1）求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标；（2）如图2，分别求出经过A，B，C三点的抛物线解析式和经过A1，B1，C1三点的抛物线解析式；（3）设两抛物线的交点分别为E、F，连接EF、EC1、FC1、EC2、FC2、C1C2，问：C2与△EC1F的关系是什么？（4）如图3，问：A，A2，C，C2四点可不可能在同一条抛物线上，试说明理由．
科目：初中数学
来源：2006年全国中考数学试题汇编《二次函数》（07）（解析版）
题型：解答题
（;厦门）如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…已知A（0，0），B（3，0），C（2，2）．（1）求这一系列三角形趋向于一个点M的坐标；（2）如图2，分别求出经过A，B，C三点的抛物线解析式和经过A1，B1，C1三点的抛物线解析式；（3）设两抛物线的交点分别为E、F，连接EF、EC1、FC1、EC2、FC2、C1C2，问：C2与△EC1F的关系是什么？（4）如图3，问：A，A2，C，C2四点可不可能在同一条抛物线上，试说明理由．（2013o黔东南州一模）如图，等边△ABC的面积为，顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，顺次连接△A1B1C1各边的中点得△A2B2C2，…，如此下去得△AnBnCn，则△AnBnCn的周长为n-1．
∵等边△ABC的面积为，∴AB=BC，∠B=60°∴ABoBCsin60°=，则AB=BC=2∴△ABC的周长为6．∵顺次连接△ABC各边的中点得△A1B1C1，∴△A1B1C1的周长=×6=3，同理：△A2B2C2的周长=△A1B1C1的周长=×3=，…以此类推，△AnBnCn的周长=△An-1Bn-1Cn-1的周长=n-1．故答案是：n-1．
为您推荐：
根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，可得后一个三角形的周长等于前一个三角形的周长的一半，根据此规律进行解答．
本题考点：
三角形中位线定理；等边三角形的性质．
考点点评：
本题考查了三角形的中位线定理，推出后一个三角形的周长等于前一个三角形周长的一半是解题的关键．
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＞＞＞如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面..
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF；（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，∴B1F1∥BF，AF1∥C1F．又∵B1F1∩AF1=F1，C1F∩BF=F，∴平面AB1F1∥平面C1BF．（2）在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1．又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1=A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面..”主要考查你对&&平面与平面垂直的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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平面与平面垂直的判定与性质
平面和平面垂直的定义：
如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，面面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直面面垂直）
面面垂直的性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直线面垂直）
性质定理符号表示：
&线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
&证明面面垂直的方法：
证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理，在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利用空间向量．常用结论：
（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，此结论可以作为性质定理用，（2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
发现相似题
与“如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面..”考查相似的试题有：
405634298737400066621623265626246706已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为A.B.C.D._答案网
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&已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为A.B.C.D.分类:&&&【来自ip:&13.191.111.156&的&热心网友&咨询】
&问题补充：
已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为A.B.C.D.
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&网友答案：
C解析分析：根据已知条件，首先可知各三角形都相似，然后根据题意可得规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2n-1，又由△ABC周长为1，即可求得第2012个三角形的周长．解答：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，∵△ABC周长为1，∴第2012个三角形的周长为 1：22011．故选C．点评：此题考查了相似三角形的性质与三角形中位线的性质．此题难度较大，解题的关键是找到规律：第n个三角形与原三角形的相似比为1：2n-1．
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