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如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，AD=DC=12AB．（1）求证：PA⊥BC（2）试在线段PB上找一点M，使CM∥平面PAD，并说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，AD=DC，所以四边形ADCE是正方形．所以∠ACD=∠ACE=45°因为AE=CD=12AB，所以BE=AE=CE所以∠BCE═45°所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°所以AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC?平面PAC，PC?平面PAC所以BC⊥平面PAC，而PA?平面PAC，所以PA⊥BC．（7分）（2）当M为PB中点时，CM∥平面PAD，（8分）证明：取AP中点为F，连接CM，FM，DF．则FM∥AB，FM=12AB，因为CD∥AB，CD=12AB，所以FM∥CD，FM=CD．（10分）所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，（11分）因为DF?平面PAD，CM?平面PAD，所以，CM∥平面PAD．（13分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，AD=DC=12AB．（1）求..”主要考查你对&&空间中直线与直线的位置关系，直线与平面平行的判定与性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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空间中直线与直线的位置关系直线与平面平行的判定与性质
异面直线：
不同在任何一个平面内的两条直线。
空间中直线与直线的位置关系有且只有三种 ：
异面直线的判定：
过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线。用符号语言可表示为：
异面直线的画法：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理：
空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。异面直线的性质：
既不平行，又不相交； 证明线线平行的常用方法：
①利用定义，证两线共面且无公共点；②利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；③利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行，转化思想在立体几何中贯穿始终，转化的途径是把空间问题转化为平面问题；④三角形的中位线；⑤证两线是平行四边形的对边．线面平行的定义：
若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：
线面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。 线线平行线面平行
符号语言：
&线面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 线面平行线线平行
&符号语言：
&证明直线与平面平行的常用方法：
(l)反证法，即&(2)判定定理法，即&(3)面面平行的性质定理，即&(4)向量法，平面外的直线的方向向量n与平面的法向量n垂直，则直线与平面平行，即
发现相似题
与“如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，BC⊥PC，AD=DC=12AB．（1）求..”考查相似的试题有：
334323338166556571553358334814329832如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD AB⊥AD AC⊥CD ∠ABC=60度 PA=AB=BC E是PC的中点.1求PB和平面PAD所成如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD AB⊥AD AC⊥CD ∠ABC=60度 PA=AB=BC E是PC的中点.1求PB和平面PAD所成的角_作业帮
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如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD AB⊥AD AC⊥CD ∠ABC=60度 PA=AB=BC E是PC的中点.1求PB和平面PAD所成如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD AB⊥AD AC⊥CD ∠ABC=60度 PA=AB=BC E是PC的中点.1求PB和平面PAD所成的角
如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD AB⊥AD AC⊥CD ∠ABC=60度 PA=AB=BC E是PC的中点.1求PB和平面PAD所成如图在四棱锥P-ABCD中PA⊥底面ABCD&AB⊥AD&AC⊥CD&∠ABC=60度&PA=AB=BC&E是PC的中点.1求PB和平面PAD所成的角的大小&2证明AE⊥平面PCD&&3求二面角A-PD-C的正弦值.
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如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC=2，（1）求直线PB与平面PAD所成角;（2）求二面角A-PB-C的大小.
解:（1）∵PA⊥底面ABCD,∴平面PAD⊥底面ABCD.又∵BA⊥AD,∴BA⊥平面PAD.∴PB与平面PAD所成角即为∠BPA.在△PAB中，AB=PA，∴∠BPA=.∴PB与平面PAD所成角即为.（2）如图，建立空间直角坐标系A—xyz.∵DA⊥平面PAB,∴平面PAB的法向量为n=(0,1,0).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(1,,0),∴=(2,0,-2)，=(1,,-2).∴m=(3,,3).cos〈n,m〉=｜｜=｜｜=.∴二面角APBC为arccos.（用几何法也可做或表示成arcsin）.
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如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．
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证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，∴CD⊥PA又CD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?面PAC故CD⊥面PAC又∵AE?面PAC，故CD⊥AE…（4分）又PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC∵CD∩PC=C，CD，PC?面PCD从而AE⊥面PCD，∵PD?面PCD故AE⊥PD易知BA⊥PD，故PD⊥面ABE…（6分）（2）如图建立空间直角坐标系，设AC=a，则A（0，0，0）、P（0，0，a）、B（a，0，0）、D(0，2a3，0)，C(a2，3a2，0)，从而PD=(0，2a3，-a)，DC=(a2，-3a6，0)，…（9分）设n1=(x，y，z)为平面PDC的法向量，则n1oPD=2a3y-az=0n1oDC=a2x-3a6y=0=>可以取n1=(1，3，2)…（11分）又n2=(1，0，0)为平面PAD的法向量，若二面角A-PD-C的平面角为θ则|cosθ|=1|n1|o|n2|=18…（11分）因此sinθ=144．…（12分）
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC..”主要考查你对&&用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
异面直线所成角：&
， （其中为异面直线a，b所成角，分别表示异面直线a，b的方向向量）。
直线AB与平面所成角：
（为平面α的法向量）；
二面角的平面角：
或（，为平面α，β的法向量）。 用向量求异面直线所成角注意：
①求异面直线所成的角常用平移法或向量法，特别是向量法，由于降低了空间想象的要求，所以需引起我们的重视，用向量法时，需注意两异面直线夹角的范围是②两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．
求直线与平面所成的角既可选择传统立体几何的综合推理法，也可选择空间向量的向量法：
①求直线和平面所成角的步骤：作出斜线与其射影所成的角；证明所作的角就是要求的角；常在直角三角形（垂线、斜线、射影所组成的直角三角形）中解出所求角的大小：②在用向量法求直线OP与α所成的角时一般有两种途径：一是直接求其中OP′，为斜线OP在平面α内的射影；二是通过求进而转化求解，其中n为平面α的法向量。
用向量求二面角注意：
①当法向量的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的大小；②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于法向量的夹角的补角的大小．
求二面角，大致有两种基本方法：
(1)传统立体几何的综合推理法：①定义法；②垂面法；③三垂线定理法；④射影面积法．(2)空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过求两个法向量的夹角得出二面角的大小．
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与“如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC..”考查相似的试题有：
250156620857623414276979275250621100如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥面ABCD,PA=AD=DC=1/2AB=1,M为PC的中点,N在AB上且AN=1/3NB（1）证明MN//面PAD（2）求直线MN与面PCD所成角_作业帮
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如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥面ABCD,PA=AD=DC=1/2AB=1,M为PC的中点,N在AB上且AN=1/3NB（1）证明MN//面PAD（2）求直线MN与面PCD所成角
如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,AD⊥DC,PA⊥面ABCD,PA=AD=DC=1/2AB=1,M为PC的中点,N在AB上且AN=1/3NB（1）证明MN//面PAD（2）求直线MN与面PCD所成角
(1)证明:作PD的中点O 连接MO、AO
因为M、O为PC、PD的中点 所以MO//=1/2DC
因为AN=1/3NB 所以AN//=1/2DC 所以AN//=MO 所以ANMO为平行四边形
因为MN属于面ANMO AO属于面PAD MN//AO 所以MN//面PAD（2）因为PA⊥=AD O为PD中点 所以AO⊥PD
因为MN//AO 所以MN⊥PD
因为PA⊥面ABCD 所以PA⊥DC
因为AD⊥DC 所以DC⊥面PAD
因为AO属于面PAD 所以AO⊥DC
所以MN⊥DC
因为DC、PD属于面PC 所以MN⊥面PCD
所以MN与面PCD成90度
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