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如图Ⅰ,△ABC是边长为4的等边三角形,点D在BC上,沿直线AD将△ABC剪开,将△ABD的边AB与AC重合,拼在△ACE位置得四边形ADCE(如图Ⅱ),连结DE交AC于F。
(1)你还能拼出哪些与图Ⅱ所示的不一样的四边形?试画出示意图进行说明。(2)在图Ⅱ中,当BD长为1时,求AD的长。(3)在图Ⅱ中,设BD=x,CF=y,求y与x的关系。
题型:解答题难度:中档来源:同步题
解:(1)如图:;(2)过A点作AG⊥BC交BC于G∴BG=BC=2在Rt△ABG中,AG==∵BD=1∴DG=1 在Rt△ADG中,AD=;(3)∵∠BAD=∠CAE ∴∠DAE=60°又AD=AE∴∠ADE=∠AED=60°∵∠ADE+∠CDE=∠BAD+∠B,∠B=60°∴∠EDC=∠BAD=∠CAE∵∠AFE=∠DFC∴∠DCF=∠AED=60°∴△ABD∽△DCF∴即∴y=。
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据魔方格专家权威分析,试题“如图Ⅰ,△ABC是边长为4的等边三角形,点D在BC上,沿直线AD将△ABC剪..”主要考查你对&&等边三角形,求二次函数的解析式及二次函数的应用,勾股定理,相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下:
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等边三角形求二次函数的解析式及二次函数的应用勾股定理相似三角形的性质
等边三角形定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,“等边三角形”也被称为“正三角形”。是特殊的等腰三角形。 如果一个三角形满足下列任意一条,则它必满足另一条,三边相等或三角相等的三角形叫做等边三角形:1.三边长度相等;2.三个内角度数均为60度;3.一个内角为60度的等腰三角形。性质:①等边三角形是锐角三角形,等边三角形的内角都相等,且均为60°。②等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合(三线合一)③等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,对称轴是每条边上的中线、高线 或对角的平分线所在的直线。④等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点,称为等边三角形的中心。(四心合一)⑤等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)判定方法:①三边相等的三角形是等边三角形(定义)②三个内角都相等(为60度)的三角形是等边三角形③有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形④&两个内角为60度的三角形是等边三角形说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。等边三角形的性质与判定理解:首先,明确等边三角形定义。三边相等的三角形叫做等边三角形,也称正三角形。其次,明确等边三角形与等腰三角形的关系。等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形。
等比三角形的尺规做法:可以利用尺规作图的方式画出正三角形,其作法相当简单:先用尺画出一条任意长度的线段(这条线段的长度决定等边三角形的边长),再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆,二圆汇交于二点,任选一点,和原来线段的两个端点画线段,则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。求二次函数的解析式:最常用的方法是待定系数法,根据题目的特点,选择恰当的形式,一般,有如下几种情况: (1)已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式; (2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式; (3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标,一般选用两点式; (4)已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式。 二次函数的应用:(1)应用二次函数才解决实际问题的一般思路: 理解题意;建立数学模型;解决题目提出的问题。 (2)应用二次函数求实际问题中的最值: 即解二次函数最值应用题,设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题,然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时,要注意求得答案要符合实际问题。 二次函数的三种表达形式:①一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为 [,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。
②顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h&0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。具体可分为下面几种情况:当h&0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;当h&0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;当h&0,k&0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;当h&0,k&0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h&0,k&0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h&0,k&0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] .已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和 B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤:二次函数∵x1+x2=-b/a, x1?x2=c/a(由韦达定理得),∴y=ax2+bx+c=a(x2+b/ax+c/a)=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]=a(x-x1)(x-x2).重要概念:a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a&0时,开口方向向上;a&0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式:①牛顿插值公式:f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距) 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。双根式y=a(x-x1)*(x-x2)若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2,则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。③三点式已知二次函数上三个点,(x1,f(x1))(x2,f(x2))(x3,f(x3))则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)与X轴交点的情况当△=b2-4ac&0时,函数图像与x轴有两个交点。(x1,0), (x2,0);当△=b2-4ac=0时,函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a,0)。Δ=b2-4ac&0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)二次函数解释式的求法:就一般式y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,且a≠0)而言,其中含有三个待定的系数a ,b ,c.求二次函数的一般式时,必须要有三个独立的定量条件,来建立关于a ,b ,c 的方程,联立求解,再把求出的a ,b ,c 的值反代回原函数解析式,即可得到所求的二次函数解析式。
1.巧取交点式法:知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1,x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时,用交点式比较简便。①典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标,和第三个点,可求出函数的交点式。例:已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式。点拨:解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1),∵过点(2,8),∴8=a(2+2)(2-1)。解得a=2,∴抛物线的解析式为:y=2(x+2)(x-1),即y=2x2+2x-4。②典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴,可利用抛物线的对称性求解。例:已知二次函数的顶点坐标为(3,-2),并且图象与x轴两交点间的距离为4,求二次函数的解析式。点拨:在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下,问题比较容易解决.由顶点坐标为(3,-2)的条件,易知其对称轴为x=3,再利用抛物线的对称性,可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1,0)和(5,0)。此时,可使用二次函数的交点式,得出函数解析式。
2.巧用顶点式:顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0),其中(h,k)是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴,或能够先求出抛物线顶点时,设顶点式解题十分简洁,因为其中只有一个未知数a。在此类问题中,常和对称轴,最大值或最小值结合起来命题。在应用题中,涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时,一般用顶点式方便.①典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标,直接可以解出函数顶点式。例:已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式。点拨:解∵顶点坐标为(-1,-2),故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0)。把点(1,10)代入上式,得10=a·(1+1)2-2。∴a=3。∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2,即y=3x2+6x+1。②典型例题二:如果a&0,那么当 时,y有最小值且y最小=;如果a&0,那么,当时,y有最大值,且y最大=。告诉最大值或最小值,实际上也是告诉了顶点坐标,同样也可以求出顶点式。例:已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴两交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式。点拨:析解∵二次函数当x=4时有最小值-3,∴顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上。由于图象与x轴两交点间的距离为6,根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1,0)和(7,0)。∴抛物线的顶点为(4,-3)且过点(1,0)。故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3。将(1,0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.∴y=13(x-4)2-3,即y=13x2-83x+73。③典型例题三:告诉对称轴,相当于告诉了顶点的横坐标,综合其他条件,也可解出。例如:(1)已知二次函数的图象经过点A(3,-2)和B(1,0),且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式. (2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交y轴于点(0,2),且过点(-1,0),求这个二次函数的解析式. (3)已知抛物线的对称轴为直线x=2,且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式. (4)二次函数的图象的对称轴x=-4,且过原点,它的顶点到x轴的距离为4,求此函数的解析式.④典型例题四:利用函数的顶点式,解图像的平移等问题非常方便。例:把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______。点拨:解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114。∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的,∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7。勾股定理:直角三角形两直角边(即“勾”,“股”)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。也就是说,如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么。勾股定理只适用于直角三角形,应用于解决直角三角形中的线段求值问题。定理作用⑴勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。⑵勾股定理导致不可通约量的发现,从而深刻揭示了数与量的区别,即所谓“无理数"与有理数的差别,这就是所谓第一次数学危机。⑶勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。⑷勾股定理中的公式是第一个不定方程,也是最早得出完整解答的不定方程,它一方面引导到各式各样的不定方程,包括著名的费尔马大定理,另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。勾股定理的应用:数学从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等,运用勾股定理数学家还发现了无理数。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛,较早的应用案例有《九章算术》中的一题:“今有池,芳一丈,薛生其中央,出水一尺,引薛赴岸,适与岸齐,问水深几何?答曰:"一十二尺"。生活勾股定理在生活中的应用也较广泛,举例说明如下:1、挑选投影设备时需要选择最佳的投影屏幕尺寸。以教室为例,最佳的屏幕尺寸主要取决于使用空间的面积,从而计划好学生座位的多少和位置的安排。选购的关键则是选择适合学生的屏幕而不是选择适合投影机的屏幕,也就是说要把学生的视觉感受放在第一位。一般来说在选购时可参照三点:第一,屏幕高度大约等于从屏幕到学生最后一排座位的距离的1/6;第二,屏幕到第一排座位的距离应大于2倍屏幕的高度;第三,屏幕底部应离观众席所在地面最少122厘米。屏幕的尺寸是以其对角线的大小来定义的。一般视频图像的宽高比为4:3,教育幕为正方形。如一个72英寸的屏幕,根据勾股定理,很快就能得出屏幕的宽为1.5m,高为1.1m。2、2005年珠峰高度复测行动。测量珠峰的一种方法是传统的经典测量方法,就是把高程引到珠峰脚下,当精确高程传递至珠峰脚下的6个峰顶交会测量点时,通过在峰顶竖立的测量觇标,运用“勾股定理”的基本原理测定珠峰高程,配合水准测量、三角测量、导线测量等方式,获得的数据进行重力、大气等多方面改正计算,最终得到珠峰高程的有效数据。通俗来说,就是分三步走:第一步,先在珠峰脚下选定较容易的、能够架设水准仪器的测量点,先把这些点的精确高程确定下来;第二步,在珠峰峰顶架起觇标,运用三角几何学中“勾股定理”的基本原理,推算出珠峰峰顶相对于这几个点的高程差;第三步,获得的高程数据要进行重力、大气等多方面的改正计算,最终确定珠峰高程测量的有效数据。相似三角形性质定理:(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c,即b2=ac,b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等,对应边成比例.②相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论:推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五:如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。推论六:如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。
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站长:朱建新初三数学 急急急!! 如图,在钝角三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且AD与DC的长度为x?-7x+12=0的两个根(AD<DC),圆O为三角形ABC的外接圆,如果BD得长为6,求△ABC的外界 - 已解决 - 搜狗问问
初三数学 急急急!! 如图,在钝角三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且AD与DC的长度为x?-7x+12=0的两个根(AD<DC),圆O为三角形ABC的外接圆,如果BD得长为6,求△ABC的外界
如图,在钝角三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,且AD与DC的长度为x?-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为三角形ABC的外接圆,如果BD得长为6,求△ABC的外界圆⊙O的面积教会再加分
解:延长AO交圆O于点E,并连接BE则∠ABE=90°由x?-7x+12=0得:(x-3)(x-4)=0∴x1=3,x2=4∴AD=3,CD=4∵AD⊥BC,BD=6∴AB=3根号5,AC=5∵∠ABE=∠ADC=90°∠AEB=∠ACB(同弧所对的圆周角相等)∴△ABE相似于△ADC∴AB:AD=AE:AC∴AE=5根号5∴圆O的面积是75π/4(4分之75π)
其他回答(1)
外界是什么?如图,三角形ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G,下列四个式子中正确的是[]A.∠1=(∠2-∠3)B.∠1=2(∠2-∠3)C.∠G=(∠3-∠2)D.∠G=∠1-数学试题及答案
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1、试题题目:如图,三角形ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,且分别交AB、AD、AC及BC..
发布人:繁体字网() 发布时间: 7:30:00
如图,三角形ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,且分别交AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G,下列四个式子中正确的是[&&&& ]A.∠1=(∠2-∠3)B.∠1=2(∠2-∠3)C.∠G=(∠3-∠2)D.∠G=∠1
&&试题来源:江苏同步题
&&试题题型:单选题
&&试题难度:中档
&&适用学段:初中
&&考察重点:三角形的中线,角平分线,高线,垂直平分线
2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“如图,三角形ABC中,AD平分∠BAC,EG⊥AD,且分别交AB、AD、AC及BC..”的主要目的是检查您对于考点“初中三角形的中线,角平分线,高线,垂直平分线”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“初中三角形的中线,角平分线,高线,垂直平分线”。
4、其他试题:看看身边同学们查询过的数学试题:
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